5.2.1 第2课时 等差数列的性质（教师版）
文档属性
| 名称 | 5.2.1 第2课时 等差数列的性质（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 212.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
第2课时 等差数列的性质
|1.能理解等差中项的概念． 2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质．
3．能运用等差数列的性质简化计算． 4.能运用等差数列解决实际问题．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
同学们，前面我们学习了等差数列的概念，在学习过程中，我们发现了一件非常有意思的事情，比如说an＝n，这是一个正整数数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2，4，6，8，10…容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质．
思考1 如果x，A，y是等差数列，根据等差数列的定义，你能求出A的值吗？
提示：因为x，A，y是等差数列，所以A－x＝y－A，即A＝.
思考2 设数列{an}的通项公式为an＝3n－1，求出a2＋a7，a3＋a6，并比较它们的大小．
提示：a2＋a7＝3×2－1＋3×7－1＝25，
a3＋a6＝3×3－1＋3×6－1＝25，
所以a2＋a7＝a3＋a6.
一 等差中项
如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项．根据等差中项与等差数列的定义可知A－x＝y－A，因此A＝.
点拨 (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一．
(2)利用等差中项可以判定给定数列是否为等差数列，即若2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)，则{an}为等差数列．
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)已知a，m∈R，m是a和10－a的等差中项，则m的值为________．
(2)已知数列满足2an＋an－1＝nan＋a1，证明：数列为等差数列．
【解】 (1)因为m是a和10－a的等差中项，故2m＝a＋(10－a)＝10，则m＝5.答案为5.
(2)证明：依题意，2an＋an－1
＝nan＋a1，
以n＋1替换n得2an＋1＋nan＝an＋1＋a1，
两式相减并整理得an＋1－an
＝an－an－1，
由于n≥2，所以an＋1－an＝an－an－1，
即2an＝an＋1＋an－1，
所以数列为等差数列．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
等差中项法证明等差数列
在等差数列{an}中，有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．
[跟踪训练1] (1)已知数列{an}是等差数列，且a2＋1是a1和a4的等差中项，则{an}的公差为________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，
由已知条件，得a1＋a4＝2(a2＋1)，
即a1＋(a1＋3d)＝2(a1＋d＋1)，解得d＝2.
答案：2
(2)若，，成等差数列，求证：，，也成等差数列．
证明：因为，，成等差数列，所以＝＋，
因此2·－－
＝(＋)(a＋c)－－－－
＝2－b(＋)＝0，
所以，，也成等差数列．
二 等差数列的性质
一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝__________．特别地，如果2s＝p＋q，则2as＝________________________________________________________.
点拨 (1)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同，可以推广为：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az.
(2)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝…(n∈N＋).
[答案自填] ap＋aq ap＋aq
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)已知在等差数列中，a2＋a10＝16，a5＝4，则a7＝( )
A．6 B．8
C．10 D．12
(2)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝( )
A．32 B．27
C．24 D．16
(3)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________．
【解析】 (1)方法一：设等差数列{an}的公差为d，则解得
所以a7＝a1＋6d＝12.
方法二：在等差数列中，a5＋a7＝a2＋a10＝16，得a7＝12，
故选D．
(2)方法一：设等差数列{an}的公差为d，
则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，
所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24.
方法二：在等差数列中，m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq，
所以a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
所以5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7.
又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5.
所以5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24.
(3)设a，b为方程x2－2x＋m＝0的两根，则a＋b＝2，c，d为方程x2－2x＋n＝0的两根，则c＋d＝2，而四个根可组成一个首项为的等差数列，
现假定a＝，则b＝2－＝.
根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和，
所以这个等差数列为，c，d，，则c＝，d＝，
所以m＝ab＝，n＝cd＝.
所以|m－n|＝＝.
【答案】 (1)D (2)C (3)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
等差数列运算的两种常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
[跟踪训练2] (1)已知数列{an}是等差数列，且a2＋2a3＋a8＝32，则a4＝( )
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：选C．由题设a2＋2a3＋a8＝2a3＋2a5＝4a4＝32，故a4＝8.故选C．
(2)在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________．
解析：在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，
所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log2(2a1＋a2＋…＋a10)＝(a1＋a2＋…＋a10)log22＝4×5＝20.
答案：20
三 等差数列的实际应用问题
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例7)在通常情况下，从海平面到10 km高空，海拔每增加1 km，气温就下降一固定数值．如果海拔1 km高空的气温是9 ℃，海拔5 km高空的气温是－15 ℃，那么海拔8 km高空的气温是多少？
【解】 设海拔n km高空的气温为an(1≤n≤10)，则{an}成等差数列，且a1＝9，a5＝－15，设公差为d，
则d＝＝＝－6，所以an＝－6n＋15，
所以a8＝－6×8＋15＝－33，
所以海拔8 km高空的气温是－33 ℃.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
解答等差数列实际问题的基本步骤
INCLUDEPICTURE "FH3.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/FH3.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练3] 在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为( )
A．9.5尺 B．10.5尺
C．11.5尺 D．12.5尺
解析：选D．由题意得，设日影长为等差数列{an}，公差为d，则a1＝18.5，a4＝15.5，则a4－a1＝3d＝－3，解得d＝－1，则a7＝a1＋6d＝18.5－6＝12.5，故春分的日影长为12.5尺．故选D．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
1．在等差数列中，若a7＋a17＝12，则a12＝( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析：选B．在等差数列中，2a12＝a7＋a17＝12，
所以a12＝6.故选B．
2．(多选)已知在等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则( )
A．公差d＝－4
B．a2＝7
C．数列{an}为递增数列
D．a3＋a4＋a5＝84
解析：选BC．因为a1＋a2＋a3＝21，所以3a2＝21，所以a2＝7.因为a1＝3，所以d＝4.所以数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15.所以a3＋a4＋a5＝3a4＝45.故选BC．
3．(教材P21T2改编)若2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，则实数a的值为________．
解析：由题意知，2(2a＋1)＝a－1＋4a－2，则a＝5.
答案：5
4．(教材P22练习BT4改编)假设体育场一角看台的座位从第2排起每一排都比前一排多相等数目的座位．若第3排有10个座位，第9排有28个座位，则第12排有多少个座位？
解：由题意可知，体育场该角看台的座位数成等差数列，设为{an}，则a3＝10，a9＝28.
由通项公式可得解得
所以a12＝4＋(12－1)×3＝37.
故体育场该角看台的第12排有37个座位．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：等差中项的概念，等差数列的性质及实际应用．
2．须贯通：灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量，该思路运用了整体代换的思想．
3．应注意：(1)对等差数列的性质不理解而致错；
(2)忽略基本方法如方程(组)法的应用，过分强调性质的作用．
|1.能理解等差中项的概念． 2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质．
3．能运用等差数列的性质简化计算． 4.能运用等差数列解决实际问题．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
同学们，前面我们学习了等差数列的概念，在学习过程中，我们发现了一件非常有意思的事情，比如说an＝n，这是一个正整数数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2，4，6，8，10…容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质．
思考1 如果x，A，y是等差数列，根据等差数列的定义，你能求出A的值吗？
提示：因为x，A，y是等差数列，所以A－x＝y－A，即A＝.
思考2 设数列{an}的通项公式为an＝3n－1，求出a2＋a7，a3＋a6，并比较它们的大小．
提示：a2＋a7＝3×2－1＋3×7－1＝25，
a3＋a6＝3×3－1＋3×6－1＝25，
所以a2＋a7＝a3＋a6.
一 等差中项
如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项．根据等差中项与等差数列的定义可知A－x＝y－A，因此A＝.
点拨 (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一．
(2)利用等差中项可以判定给定数列是否为等差数列，即若2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)，则{an}为等差数列．
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)已知a，m∈R，m是a和10－a的等差中项，则m的值为________．
(2)已知数列满足2an＋an－1＝nan＋a1，证明：数列为等差数列．
【解】 (1)因为m是a和10－a的等差中项，故2m＝a＋(10－a)＝10，则m＝5.答案为5.
(2)证明：依题意，2an＋an－1
＝nan＋a1，
以n＋1替换n得2an＋1＋nan＝an＋1＋a1，
两式相减并整理得an＋1－an
＝an－an－1，
由于n≥2，所以an＋1－an＝an－an－1，
即2an＝an＋1＋an－1，
所以数列为等差数列．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
等差中项法证明等差数列
在等差数列{an}中，有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．
[跟踪训练1] (1)已知数列{an}是等差数列，且a2＋1是a1和a4的等差中项，则{an}的公差为________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，
由已知条件，得a1＋a4＝2(a2＋1)，
即a1＋(a1＋3d)＝2(a1＋d＋1)，解得d＝2.
答案：2
(2)若，，成等差数列，求证：，，也成等差数列．
证明：因为，，成等差数列，所以＝＋，
因此2·－－
＝(＋)(a＋c)－－－－
＝2－b(＋)＝0，
所以，，也成等差数列．
二 等差数列的性质
一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝__________．特别地，如果2s＝p＋q，则2as＝________________________________________________________.
点拨 (1)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同，可以推广为：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az.
(2)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝…(n∈N＋).
[答案自填] ap＋aq ap＋aq
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)已知在等差数列中，a2＋a10＝16，a5＝4，则a7＝( )
A．6 B．8
C．10 D．12
(2)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝( )
A．32 B．27
C．24 D．16
(3)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________．
【解析】 (1)方法一：设等差数列{an}的公差为d，则解得
所以a7＝a1＋6d＝12.
方法二：在等差数列中，a5＋a7＝a2＋a10＝16，得a7＝12，
故选D．
(2)方法一：设等差数列{an}的公差为d，
则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，
所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24.
方法二：在等差数列中，m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq，
所以a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
所以5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7.
又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5.
所以5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24.
(3)设a，b为方程x2－2x＋m＝0的两根，则a＋b＝2，c，d为方程x2－2x＋n＝0的两根，则c＋d＝2，而四个根可组成一个首项为的等差数列，
现假定a＝，则b＝2－＝.
根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和，
所以这个等差数列为，c，d，，则c＝，d＝，
所以m＝ab＝，n＝cd＝.
所以|m－n|＝＝.
【答案】 (1)D (2)C (3)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
等差数列运算的两种常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
[跟踪训练2] (1)已知数列{an}是等差数列，且a2＋2a3＋a8＝32，则a4＝( )
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：选C．由题设a2＋2a3＋a8＝2a3＋2a5＝4a4＝32，故a4＝8.故选C．
(2)在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________．
解析：在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，
所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log2(2a1＋a2＋…＋a10)＝(a1＋a2＋…＋a10)log22＝4×5＝20.
答案：20
三 等差数列的实际应用问题
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例7)在通常情况下，从海平面到10 km高空，海拔每增加1 km，气温就下降一固定数值．如果海拔1 km高空的气温是9 ℃，海拔5 km高空的气温是－15 ℃，那么海拔8 km高空的气温是多少？
【解】 设海拔n km高空的气温为an(1≤n≤10)，则{an}成等差数列，且a1＝9，a5＝－15，设公差为d，
则d＝＝＝－6，所以an＝－6n＋15，
所以a8＝－6×8＋15＝－33，
所以海拔8 km高空的气温是－33 ℃.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
解答等差数列实际问题的基本步骤
INCLUDEPICTURE "FH3.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/FH3.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练3] 在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为( )
A．9.5尺 B．10.5尺
C．11.5尺 D．12.5尺
解析：选D．由题意得，设日影长为等差数列{an}，公差为d，则a1＝18.5，a4＝15.5，则a4－a1＝3d＝－3，解得d＝－1，则a7＝a1＋6d＝18.5－6＝12.5，故春分的日影长为12.5尺．故选D．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
1．在等差数列中，若a7＋a17＝12，则a12＝( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析：选B．在等差数列中，2a12＝a7＋a17＝12，
所以a12＝6.故选B．
2．(多选)已知在等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则( )
A．公差d＝－4
B．a2＝7
C．数列{an}为递增数列
D．a3＋a4＋a5＝84
解析：选BC．因为a1＋a2＋a3＝21，所以3a2＝21，所以a2＝7.因为a1＝3，所以d＝4.所以数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15.所以a3＋a4＋a5＝3a4＝45.故选BC．
3．(教材P21T2改编)若2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，则实数a的值为________．
解析：由题意知，2(2a＋1)＝a－1＋4a－2，则a＝5.
答案：5
4．(教材P22练习BT4改编)假设体育场一角看台的座位从第2排起每一排都比前一排多相等数目的座位．若第3排有10个座位，第9排有28个座位，则第12排有多少个座位？
解：由题意可知，体育场该角看台的座位数成等差数列，设为{an}，则a3＝10，a9＝28.
由通项公式可得解得
所以a12＝4＋(12－1)×3＝37.
故体育场该角看台的第12排有37个座位．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：等差中项的概念，等差数列的性质及实际应用．
2．须贯通：灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量，该思路运用了整体代换的思想．
3．应注意：(1)对等差数列的性质不理解而致错；
(2)忽略基本方法如方程(组)法的应用，过分强调性质的作用．