5.2.1　第2课时　课后达标检测（教师版）

eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
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1．若x，3x－2，3x＋2是等差数列，则 x的值为　(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．因为x，3x－2，3x＋2是等差数列，所以根据等差中项的定义得2×＝x＋，解得x＝3.故选C．
2．已知在等差数列中，a2＝2，a4＝12，则a6的值为(　　)
A．18 B．20
C．22 D．24
解析：选C．在等差数列中，a2＝2，a4＝12，
而a2＋a6＝2a4，所以a6＝2a4－a2＝2×12－2＝22.故选C．
3．在等差数列{an}中，若a4，a8是方程x2－2x－3＝0的两个实数根，则a6＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．－1
解析：选A．由于a4，a8是方程x2－2x－3＝0的两根，所以a4＋a8＝2，即2a6＝2，所以a6＝1.故选A．
4．在数列{an}中，若an－1＋an＋1＝2an(n≥2，n∈N＋)，a2＋a4＝4，a5＝8，则其首项a1＝(　　)
A．3 B．4
C．－3 D．－4
解析：选D．由数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2，n∈N＋)，则an＋1－an＝an－an－1，所以{an}为等差数列，设公差为d，又a2＋a4＝a1＋a5＝4，且a5＝8，所以a1＝－4.故选D．
5．已知等差数列{an}是递增数列且满足a1＋a8＝6，则a6的取值范围是(　　)
A．(－∞，3) B．(3，6)
C．(3，＋∞) D．(6，＋∞)
解析：选C．因为{an}为等差数列，设公差为d，
因为数列{an}是递增数列，所以d＞0，
所以a1＋a8＝a3＋a6＝2a6－3d＝6，
则2a6－6＝3d＞0，解得a6＞3.故选C．
6．(多选)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为(　　)
A．－2，4，10，16 B．16，10，4，－2
C．2，5，8，11 D．11，8，5，2
解析：选AB．设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，
则
解得或
所以这四个数依次为－2，4，10，16或16，10，4，－2.
故选AB．
7．已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是______．
解析：由题意得 所以3(m＋n)＝20＋16＝36，所以m＋n＝12，所以＝6.
答案：6
8．已知等差数列{an}中，a1＋a6＋a11＝6，且a4＝1，则数列{an}的公差为________．
解析：因为数列{an}为等差数列，则a1＋a6＋a11＝3a6＝6，所以a6＝2，又a4＝1，设{an}的公差为d，所以公差d＝(a6－a4)＝.
答案：
9．现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为________升．
解析：设九只茶壶按容积从小到大依次记为a1，a2，…，a9，
由题意可得a1＋a2＋a3＝0.5，a7＋a8＋a9＝2.5，
所以3a2＝0.5，3a8＝2.5 a2＋a8＝1，
所以a5＝＝0.5.
答案：0.5
10．在等差数列中，
(1)若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝90，求a9－a12；
(2)已知a1＋2a8＋a15＝64，求2a9－a10.
解：(1)在等差数列中， a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，
所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝90，
所以a6＝18，
所以a9－a12＝
＝＝a6＝9.
(2)因为a1＋2a8＋a15＝4a8＝64，
所以a8＝16.
所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝16.
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11．已知公差不为0的等差数列{an}满足am＋ap＝2a5，则＋的最小值为(　　)
A．1 B．
C． D．2
解析：选C．根据等差数列性质可得m＋p＝10，
则(m＋2)＋p＝12，
所以＋＝(m＋2＋p)
＝≥(5＋2)＝，
当且仅当＝，即p＝4，m＝6时，取等号．故选C．
12．(多选)已知等差数列{an}为递减数列，且a3＝1，a2a4＝，则下列结论中正确的有(　　)
A．数列{an}的公差为－
B．an＝－n＋
C．数列{a1an}是公差为－1的等差数列
D．a1a7＋a4＝－1
解析：选ABC．由题意知，a2＋a4＝2a3＝2.
又a2a4＝，
故a2，a4可看成方程x2－2x＋＝0的两个实数根，
因为数列{an}为递减数列，所以a4＝，a2＝.
所以公差d＝＝－，故A正确；
又a1＝a2－d＝2，所以an＝2＋(n－1)×＝－n＋，故B正确；
由上可知a1an＝2an，则当n≥2时，2an－2an－1＝2(an－an－1)＝2×＝－1，
当n＝1时，a＝4，所以数列{a1an}是首项为4，公差为－1的等差数列，故C正确；
由C选项知，a1an＝5－n，故a1a7＝5－7＝－2，
因为a4＝，所以a1a7＋a4＝－2＋＝－，故D错误．故选ABC．
13．诺沃尔(Knowall)在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从2024年开始到3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为____________．
解析：由题意可知，彗星出现的年份构成一个公差为d＝83，首项为a1＝1 740的等差数列，
所以an＝a1＋(n－1)d＝1 740＋83(n－1)＝83n＋1 657，
令2 024≤an≤3 000，
即2 024≤83n＋1 657≤3 000，
解得≤n≤，又n∈N＋，
所以n＝5，6，…，16，
所以从2024年开始到3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为16－5＋1＝12.
答案：12
14．已知等差数列{an}中，a5＋a13＝34，a1＋a2＋a3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N＋)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为a5＋a13＝2a9＝34，则a9＝17，
因为a1＋a2＋a3＝9，则a2＝3，
设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝2，
故an＝a2＋(n－2)d＝2n－1(n∈N＋).
(2)bn＝＝，
由已知可得2b2＝b1＋bm，
即＝＋，
所以＝，
整理可得m＝3＋，
因为m≥3且m，t∈N＋，故t－1为4的正约数，
所以或或
因此，存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N＋)成等差数列，或或
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15．已知数列是公差为d的等差数列，对正整数m，n，p，若m＋n＝2p，则“am＋an＝a2p”是“a1＝d”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
解析：选D．因为数列是公差为d的等差数列，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap＝a2p 2[a1＋(p－1)d]＝a1＋d a1＝d，所以“am＋an＝a2p”是“a1＝d”的充要条件．故选D．
16．给定一个数列，在这个数列中，任取m项，并且不改变它们在数列中的先后次序，得到的数列称为数列的一个m阶子数列．已知数列的通项公式为an＝(n∈N＋，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列的一个3阶子数列．
(1)求a的值；
(2)设等差数列b1，b2，…，bm是的一个m阶子数列，且b1＝ (k为常数，k∈N＋，k≥2)，求证：m≤k＋1.
解：(1)因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2＋a6＝2a3.
又因为a2＝，a3＝，a6＝，
所以＝＋，解得a＝0.
(2)证明：设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d，
因为b1＝，所以b2≤，
从而d＝b2－b1≤－＝－.
所以bm＝b1＋d≤－，
又因为bm>0，
所以－>0，
即m－1又因为m，k∈N＋，所以m≤k＋1.