5.2.2　第1课时　课后达标检测（教师版）

eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
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1．已知等差数列中，a1＝3，a2＝6，则数列的前5项和等于(　　)
A．15 B．30
C．45 D．60
解析：选C．由已知得，公差d＝a2－a1＝6－3＝3，S5＝5a1＋d＝5×3＋10×3＝45.故选C．
2．设Sn为等差数列的前n项和，若a8＝6，S21＝0，则a1的值为(　　)
A．18 B．20
C．22 D．24
解析：选B．由题意，设等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，则Sn＝na1＋d，
解得故选B．
3．已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，a3＝3，a7＝15，则S9的值为(　　)
A．48 B．56
C．81 D．100
解析：选C．方法一：设数列{an}的首项和公差分别为a1和d，
因为所以
所以S9＝－3×9＋×3＝81.
方法二： S9＝＝＝81.故选C．
4．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＜0”是“S8＋S10＜2S9”的(　　)
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B．方法一：当S8＋S10<2S9时，得S10－S9＜S9－S8，即a10＜a9，所以d＜0；
当d＜0时，有a10＜a9，所以S10－S9＜S9－S8，
即有S8＋S10＜2S9，
综上所述，“d＜0”是“S8＋S10＜2S9”的充要条件．
方法二：由S8＋S10＜2S9，
得8a1＋＋10a1＋＜2，整理得d＜0，则“d＜0”是“S8＋S10＜2S9”的充要条件．故选B．
5．设Sn为各项均不为零的等差数列{an}的前n项和，若(a3＋a5)a2＝a，则＝(　　)
A． B．2
C． D．3
解析：选C．设等差数列{an}的公差为d，由(a3＋a5)×a2＝a得2a4a2＝a，又a4≠0，
所以2a2＝a4，则2(a1＋d)＝a1＋3d，
所以a1＝d，则an＝a1＋(n－1)d＝nd，
所以a6＝6d，S5＝＝＝15d，
故＝＝.故选C．
6．(多选)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝9，S3＝21，则(　　)
A．数列的公差为－2
B．a2＝3
C．an＝11－2n
D．数列{an}为递减数列
解析：选ACD．a1＝9，S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝21，故a2＝7，d＝－2，an＝11－2n，故A，C正确，B错误；因为d＝－2＜0，则数列{an}为递减数列，故D正确．故选ACD．
7．已知数列{an}是等差数列，Sn表示数列{an}的前n项和，若a7＝4，则S13＝________．
解析：S13＝＝＝13×4＝52.
答案：52
8．在等差数列中，首项a1＝2，公差d＝1，Sn为{an}的前n项和，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝__________．
解析：因为an＝a1＋d＝2＋n－1＝n＋1，由题知S7＝7a1＋21d＝14＋21＝35＝ak，即k＋1＝35，所以k＝34.
答案：34
9．已知数列{an}是首项为25，公差为－2的等差数列，则数列{|an|}的前30项的和为________．
解析：由数列{an}是首项为25，公差为－2的等差数列，
则有an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27，数列{an}的前n项和为Sn＝－n2＋26n，若an＝－2n＋27＞0，且n∈N＋，则n≤13，
数列{|an|}的前30项的和为|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝a1＋a2＋…＋a13－a14－a15－…－a30
＝(a1＋a2＋…＋a13)－(a14＋a15＋…＋a30)
＝－S30＋2S13＝120＋2×169＝458.
答案：458
10．在等差数列{an}中，设等差数列{an}的公差为d.
(1)若a1＝50，a8＝15，求S8；
(2)若a1＝0.7，a2＝1.5，求S7；
(3)若a6＝10，S5＝5，求d与a1.
解：(1)依题意，S8＝＝＝260.
(2)依题意，d＝a2－a1＝0.8，于是a7＝0.7＋(7－1)×0.8＝5.5，从而S7＝＝21.7.
(3)由a6＝10，S5＝5，可得解得
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT
11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝5，a1＋S11＝67，则a3·a12是{an}中的(　　)
A．第30项 B．第36项
C．第48项 D．第60项
解析：选B．设等差数列{an}的公差为d，
则
解得所以an＝n，
则a3·a12＝3×12＝36，令an＝36，则n＝36，
所以a3·a12是{an}中的第36项．故选B．
12．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＋an＝2n－1，下列说法正确的是(　　)
A．若{an}为等差数列，则{an}的公差为1
B．若{an}为等差数列，则{an}的首项为1
C．S30＝435
D．S2n≥4n－3
解析：选ACD．若{an}为等差数列，则可设an＝An＋B，所以an＋1＋an＝A(n＋1)＋B＋An＋B＝2An＋A＋2B＝2n－1，
所以解得
所以an＝n－1，
所以{an}的首项为0，公差为1，A正确，B错误；
S30＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a29＋a30)＝1＋5＋9＋…＋57＝＝435，C正确；
S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)＝1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝＝2n2－n，
因为2n2－n－(4n－3)＝2n2－5n＋3＝2－≥2－＝0，
即S2n≥4n－3，D正确．故选ACD．
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，S2＝7，am＋an＝－5，则＋的最小值为____________．
解析：等差数列{an}中，a2＝3，S2＝a1＋a2＝7，得a1＝4，公差d＝a2－a1＝－1，
则am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝10－(m＋n)＝－5，得m＋n＝15，且m，n∈N＋，
＋＝(m＋n)＝(1＋16＋＋)≥(1＋16＋2)＝＝，
当且仅当＝，即m＝3，n＝12时等号成立，
所以＋的最小值为.
答案：
14．已知数列{an}的前n项的和为Sn，数列是公差为1的等差数列．
(1)证明：数列{an}是等差数列；
(2)若S3＝9，求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：因为数列是公差为1的等差数列，
所以＝＋n－1＝n－1＋a1.
从而可得Sn＝n2＋(a1－1)n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a1＋2(n－1).
当n≥3时，an－1＝a1＋2(n－2)，
即可得an－an－1＝2.
因为a2＝a1＋2，即a2－a1＝2.
所以an－an－1＝2(n≥2，n∈N＋)，故数列{an}是等差数列．
(2)由(1)可知，数列{an}是公差为2的等差数列，
由S3＝3a1＋3×2＝3a1＋6＝9，从而可得a1＝1.
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
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15．(多选)已知等差数列{an}的公差d>0，其前n项和为Sn，则下列命题正确的是(　　)
A．数列{an}为递增数列
B．数列是递增的等差数列
C．若an＝n，且为等差数列，则c＝0
D．若a7＝0，则方程Sn＝0有唯一的根n＝13
解析：选ABD．因为数列{an}是公差d>0的等差数列，所以an＋1－an＝d>0，所以数列{an}为递增数列，故A正确；等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋(a1－)n，所以＝n＋a1－＝a1＋(n－1)·，－＝＞0，所以数列是递增的等差数列，故B正确；若an＝n，则Sn＝n(n＋1)，所以＝，因为为等差数列，所以＝＋，即＝＋，解得c＝0或c＝1，经检验，均符合题意，故C错误；若a7＝0，则 S13＝＝13a7＝0，由对称性得方程Sn＝0有唯一的根n＝13，故D正确．故选ABD．
16．已知数列满足a1＝1，an＋1－an≥2，且Sn为的前n项和．
(1)若a3＝5，求a2，并写出一个符合上述条件的数列的通项公式；
(2)求证：Sn≥n2.
解：(1)由题意a1＝1，a2－a1≥2，所以a2≥3，
而a3＝5，a3－a2≥2，所以a2≤3，所以a2＝3.
所以符合上述条件的数列的一个通项公式为an＝2n－1.
(2)证明：由题意得a2－a1≥2，a3－a2≥2，a4－a3≥2，…，an－an－1≥2(n≥2)，所以a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1≥2，
所以an－a1≥2(n－1)，所以an≥2n－1(n≥2)，
所以a1≥1，a2≥3，a3≥5，…，an≥2n－1，
所以a1＋a2＋a3＋…＋an≥1＋3＋5＋…＋2n－1，
所以Sn≥＝n2.