5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质（教师版）
文档属性
| 名称 | 5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 378.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
第2课时 等差数列前n项和的性质
|1.构造等差数列求和模型，解决实际问题． 2.能解决等差数列中前n项和的最值问题． 3.探索等差数列前n项和公式的有关性质，会应用性质解题．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
思考1 设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn与S2n的关系吗？
提示：S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列．
思考2 等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？
提示：由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是n∈N＋，当d>0时，该二次函数的图象开口向上；当d<0时，该二次函数的图象开口向下．
1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n).
4．项的个数的“奇偶”性质：
(1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝.
(2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an).
5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝( )
A． B．
C． D．
(2)在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10＝( )
A．10 B．100
C．110 D．120
(3)若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________．
【解析】 (1) 方法一：因为S19＝＝19a10，T19＝＝19b10，所以＝＝＝.故选A．
方法二：因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，故设Sn＝kn(n＋3)，Tn＝kn(3n＋15)，k≠0，则a10＝S10－S9＝k×10×13－k×9×12＝22k，b10＝T10－T9＝k×10×45－k×9×42＝72k，所以＝＝.故选A．
(2) 因为数列{an}是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为d′，则－＝2＝2d′，
则d′＝1，又因为＝a1＝1，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，
所以Sn＝n2，所以S10＝100.故选B．
(3)方法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
因为S10＝100，S100＝10，
所以
解得
所以S110＝110a1＋d
＝110×＋×＝－110.
方法二：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，所以该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，解得d＝－22，
所以前11项和S110＝11×100＋×(－22)＝－110.
方法三：由是等差数列，构造新的等差数列{bn}，
令b1＝＝10，b10＝＝，
则公差d＝(b10－b1)＝×＝－，
所以b11＝＝b10＋d＝＋＝－1，
所以S110＝－110.
【答案】 (1)A (2)B (3)－110
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些．
(2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到事半功倍的效果．
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．
[跟踪训练1] (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝16，则S12＝( )
A．30 B．26
C．56 D．42
解析：选D．由等差数列的性质可知S4，S8－S4，S12－S8，…构成等差数列，即2，14，…，所以S12－S8＝26，所以S12＝S8＋26＝42.故选D．
(2)已知等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且满足＝，则＝__________．
解析：运用等差数列的性质S2n－1＝(2n－1)an，可得S9＝9a5，即a5＝·S9，由等差数列性质可知＝·＝×＝.
答案：
(3)一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是__________．
解析：方法一：设等差数列的公差为d，则由奇数项的和为，偶数项的和为15，得5a1＋20d＝，5(a1＋d)＋20d＝15，解得a1＝，d＝，所以an＝＋(n－1)＝，则a6＝＝3，故这个数列的第6项是3.
方法二：设等差数列的公差为d，由题意该等差数列的项数为偶数，所以由等差数列的性质可得，S偶－S奇＝5d，所以15－＝＝5d，解得d＝.又S奇＝5a1＋20d＝，所以a1＝，所以an＝＋(n－1)＝，a6＝＝3.故这个数列的第6项为3.
答案：3
1．在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最________值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最________值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定．
2．Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最________值；当d<0时，Sn有最____________值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
[答案自填] 大 小 小 大
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例3)在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值．
【解】 方法一：设等差数列{an}的公差为d，
因为S8＝S18，a1＝25，
所以8×25＋d＝18×25＋d，
解得d＝－2.
所以Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169.
所以当n＝13时，Sn有最大值为169.
方法二：同方法一，求出公差d＝－2.
所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
因为a1＝25>0，
由
得
又因为n∈N＋，
所以当n＝13时，Sn有最大值为S13＝25×13＋×(－2)＝169.
方法三：因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
因为a1>0，所以d<0.
所以a13>0，a14<0.
所以当n＝13时，Sn有最大值．
由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，
解得d＝－2，
所以S13＝13×25＋×(－2)＝169，
所以Sn的最大值为169.
方法四：设Sn＝An2＋Bn.因为S8＝S18，a1＝25，
所以二次函数图象的对称轴为n＝＝13，且开口方向向下，
所以当n＝13时，Sn取得最大值．
由题意得
解得
所以Sn＝－n2＋26n，
所以S13＝169，
即Sn的最大值为169.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求等差数列前n项和Sn最值的方法
(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找．
(2)运用二次函数求最值，注意n∈N＋.
[跟踪训练2] (1)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23＞0，S24＜0，则下列结论错误的是( )
A．数列{an}是递增数列
B．a13＞0
C．当Sn取得最大值时，n＝13
D．|a13|＞|a12|
解析：选ABC．等差数列{an}的前n项和为Sn，
S23＝＝23a12＞0，所以a12＞0，
S24＝＝12(a12＋a13)＜0，
所以a12＋a13＜0，
所以a13＜0且|a13|＞|a12|，
所以等差数列{an}是递减数列，且当n＝12时，Sn取得最大值．
故D正确，A，B，C错误．故选ABC．
(2)已知等差数列{an}中，a1＝－10，当且仅当n＝5时，前n项和Sn取得最小值，则公差d的取值范围是________．
解析：由题意可得即
解得2＜d＜，
即公差d的取值范围是.
答案：
三 等差数列前n项和的实际应用
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 某单位为了解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为30 000平方米的宿舍楼(每层的建筑面积相同).已知土地的征用费为2 250元/平方米，土地的征用面积为第一层的1.5倍．经工程技术人员核算，第一层的建筑费用为400元/平方米，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30元/平方米.试设计这幢宿舍楼的楼层数，使总费用最少，并求出最少总费用．(总费用为建筑费用和征地费用之和)
【解】 设楼高为n层，总费用为y万元，
则征地面积为平方米，
征地费用为2 250×万元，
各楼层建筑费用和为[400n＋×30]×万元，
总费用为y＝×＋2 250×＝15×≥15×(2 ＋77)＝2 505(万元)，
当且仅当3n＝，即n＝15时，上式取等号，
所以当这幢宿舍楼楼层数为15时，总费用最少，为2 505万元．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
应用等差数列解决实际问题的一般思路
INCLUDEPICTURE "24S-9.tif" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/24S-9.tif" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练3] 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为( )
INCLUDEPICTURE "24S-10.tif" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/24S-10.tif" \* MERGEFORMAT
A．44π B．64π
C．70π D．80π
解析：选D．由题意每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，则第n段圆弧的半径为n，弧长记为an，则an＝·n，所以S15＝×(1＋2＋3＋…＋15)＝80π.故选D．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
1．(教材P59T3改编)在等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S9＝( )
A．12 B．18
C．24 D．30
解析：选B．在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，所以S3＋S9－S6＝2(S6－S3)，即3＋S9－9＝2×(9－3)，所以S9＝18.故选B．
2．(多选)(教材P28习题5－2BT3改编)已知等差数列的前n项和是Sn，且a9<0，a1＋a18>0，则( )
A．a1>0 B．a10>0
C．S9>0 D．Sn的最小值为S9
解析：选BD．由a9<0，a1＋a18>0，所以a1＋a18＝a9＋a10>0，即a10>－a9>0，所以当1≤n≤9，n∈N＋时，an<0；当n≥10，n∈N＋时，an>0；所以a1<0，故A错误；a10>0，故B正确；S9<0，故C错误；Sn的最小值为S9，故D正确．故选BD．
3．已知两个等差数列，的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的正整数n，都有＝，则＝________．
解析：因为＝，所以＝＝＝＝＝.
答案：
4．已知项数为奇数的等差数列，若奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项及项数．
解：设等差数列共有2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，中间项为第n＋1项，记作an＋1，设奇数项和为Sm，偶数项和为Sn，
由等差数列前n项和的性质，可知＝，
又Sm＝44，Sn＝33，所以＝＝，解得n＝3.
又因为Sm＝(n＋1)an＋1＝44，所以an＋1＝11，
所以这个数列的中间项为11，共有2n＋1＝7(项).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：等差数列前n项和性质问题、最值问题以及与前n项和有关的实际应用问题．
2．须贯通：(1)巧妙利用性质可简化运算，体现整体代换的思想；
(2)通项法求前n项和的最值，需寻求项的正负临界值；二次函数法求最值，往往借助数列是特殊的函数，利用函数图象直观寻求最值点．
3．应注意：由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值．
|1.构造等差数列求和模型，解决实际问题． 2.能解决等差数列中前n项和的最值问题． 3.探索等差数列前n项和公式的有关性质，会应用性质解题．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
思考1 设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn与S2n的关系吗？
提示：S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列．
思考2 等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？
提示：由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是n∈N＋，当d>0时，该二次函数的图象开口向上；当d<0时，该二次函数的图象开口向下．
1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n).
4．项的个数的“奇偶”性质：
(1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝.
(2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an).
5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝( )
A． B．
C． D．
(2)在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10＝( )
A．10 B．100
C．110 D．120
(3)若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________．
【解析】 (1) 方法一：因为S19＝＝19a10，T19＝＝19b10，所以＝＝＝.故选A．
方法二：因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，故设Sn＝kn(n＋3)，Tn＝kn(3n＋15)，k≠0，则a10＝S10－S9＝k×10×13－k×9×12＝22k，b10＝T10－T9＝k×10×45－k×9×42＝72k，所以＝＝.故选A．
(2) 因为数列{an}是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为d′，则－＝2＝2d′，
则d′＝1，又因为＝a1＝1，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，
所以Sn＝n2，所以S10＝100.故选B．
(3)方法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
因为S10＝100，S100＝10，
所以
解得
所以S110＝110a1＋d
＝110×＋×＝－110.
方法二：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，所以该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，解得d＝－22，
所以前11项和S110＝11×100＋×(－22)＝－110.
方法三：由是等差数列，构造新的等差数列{bn}，
令b1＝＝10，b10＝＝，
则公差d＝(b10－b1)＝×＝－，
所以b11＝＝b10＋d＝＋＝－1，
所以S110＝－110.
【答案】 (1)A (2)B (3)－110
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些．
(2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到事半功倍的效果．
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．
[跟踪训练1] (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝16，则S12＝( )
A．30 B．26
C．56 D．42
解析：选D．由等差数列的性质可知S4，S8－S4，S12－S8，…构成等差数列，即2，14，…，所以S12－S8＝26，所以S12＝S8＋26＝42.故选D．
(2)已知等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且满足＝，则＝__________．
解析：运用等差数列的性质S2n－1＝(2n－1)an，可得S9＝9a5，即a5＝·S9，由等差数列性质可知＝·＝×＝.
答案：
(3)一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是__________．
解析：方法一：设等差数列的公差为d，则由奇数项的和为，偶数项的和为15，得5a1＋20d＝，5(a1＋d)＋20d＝15，解得a1＝，d＝，所以an＝＋(n－1)＝，则a6＝＝3，故这个数列的第6项是3.
方法二：设等差数列的公差为d，由题意该等差数列的项数为偶数，所以由等差数列的性质可得，S偶－S奇＝5d，所以15－＝＝5d，解得d＝.又S奇＝5a1＋20d＝，所以a1＝，所以an＝＋(n－1)＝，a6＝＝3.故这个数列的第6项为3.
答案：3
1．在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最________值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最________值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定．
2．Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最________值；当d<0时，Sn有最____________值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
[答案自填] 大 小 小 大
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例3)在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值．
【解】 方法一：设等差数列{an}的公差为d，
因为S8＝S18，a1＝25，
所以8×25＋d＝18×25＋d，
解得d＝－2.
所以Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169.
所以当n＝13时，Sn有最大值为169.
方法二：同方法一，求出公差d＝－2.
所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
因为a1＝25>0，
由
得
又因为n∈N＋，
所以当n＝13时，Sn有最大值为S13＝25×13＋×(－2)＝169.
方法三：因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
因为a1>0，所以d<0.
所以a13>0，a14<0.
所以当n＝13时，Sn有最大值．
由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，
解得d＝－2，
所以S13＝13×25＋×(－2)＝169，
所以Sn的最大值为169.
方法四：设Sn＝An2＋Bn.因为S8＝S18，a1＝25，
所以二次函数图象的对称轴为n＝＝13，且开口方向向下，
所以当n＝13时，Sn取得最大值．
由题意得
解得
所以Sn＝－n2＋26n，
所以S13＝169，
即Sn的最大值为169.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求等差数列前n项和Sn最值的方法
(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找．
(2)运用二次函数求最值，注意n∈N＋.
[跟踪训练2] (1)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23＞0，S24＜0，则下列结论错误的是( )
A．数列{an}是递增数列
B．a13＞0
C．当Sn取得最大值时，n＝13
D．|a13|＞|a12|
解析：选ABC．等差数列{an}的前n项和为Sn，
S23＝＝23a12＞0，所以a12＞0，
S24＝＝12(a12＋a13)＜0，
所以a12＋a13＜0，
所以a13＜0且|a13|＞|a12|，
所以等差数列{an}是递减数列，且当n＝12时，Sn取得最大值．
故D正确，A，B，C错误．故选ABC．
(2)已知等差数列{an}中，a1＝－10，当且仅当n＝5时，前n项和Sn取得最小值，则公差d的取值范围是________．
解析：由题意可得即
解得2＜d＜，
即公差d的取值范围是.
答案：
三 等差数列前n项和的实际应用
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 某单位为了解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为30 000平方米的宿舍楼(每层的建筑面积相同).已知土地的征用费为2 250元/平方米，土地的征用面积为第一层的1.5倍．经工程技术人员核算，第一层的建筑费用为400元/平方米，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30元/平方米.试设计这幢宿舍楼的楼层数，使总费用最少，并求出最少总费用．(总费用为建筑费用和征地费用之和)
【解】 设楼高为n层，总费用为y万元，
则征地面积为平方米，
征地费用为2 250×万元，
各楼层建筑费用和为[400n＋×30]×万元，
总费用为y＝×＋2 250×＝15×≥15×(2 ＋77)＝2 505(万元)，
当且仅当3n＝，即n＝15时，上式取等号，
所以当这幢宿舍楼楼层数为15时，总费用最少，为2 505万元．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
应用等差数列解决实际问题的一般思路
INCLUDEPICTURE "24S-9.tif" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/24S-9.tif" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练3] 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为( )
INCLUDEPICTURE "24S-10.tif" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/24S-10.tif" \* MERGEFORMAT
A．44π B．64π
C．70π D．80π
解析：选D．由题意每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，则第n段圆弧的半径为n，弧长记为an，则an＝·n，所以S15＝×(1＋2＋3＋…＋15)＝80π.故选D．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
1．(教材P59T3改编)在等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S9＝( )
A．12 B．18
C．24 D．30
解析：选B．在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，所以S3＋S9－S6＝2(S6－S3)，即3＋S9－9＝2×(9－3)，所以S9＝18.故选B．
2．(多选)(教材P28习题5－2BT3改编)已知等差数列的前n项和是Sn，且a9<0，a1＋a18>0，则( )
A．a1>0 B．a10>0
C．S9>0 D．Sn的最小值为S9
解析：选BD．由a9<0，a1＋a18>0，所以a1＋a18＝a9＋a10>0，即a10>－a9>0，所以当1≤n≤9，n∈N＋时，an<0；当n≥10，n∈N＋时，an>0；所以a1<0，故A错误；a10>0，故B正确；S9<0，故C错误；Sn的最小值为S9，故D正确．故选BD．
3．已知两个等差数列，的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的正整数n，都有＝，则＝________．
解析：因为＝，所以＝＝＝＝＝.
答案：
4．已知项数为奇数的等差数列，若奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项及项数．
解：设等差数列共有2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，中间项为第n＋1项，记作an＋1，设奇数项和为Sm，偶数项和为Sn，
由等差数列前n项和的性质，可知＝，
又Sm＝44，Sn＝33，所以＝＝，解得n＝3.
又因为Sm＝(n＋1)an＋1＝44，所以an＋1＝11，
所以这个数列的中间项为11，共有2n＋1＝7(项).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：等差数列前n项和性质问题、最值问题以及与前n项和有关的实际应用问题．
2．须贯通：(1)巧妙利用性质可简化运算，体现整体代换的思想；
(2)通项法求前n项和的最值，需寻求项的正负临界值；二次函数法求最值，往往借助数列是特殊的函数，利用函数图象直观寻求最值点．
3．应注意：由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值．