5.3.1　第1课时　等比数列的定义（教师版）

5．3　等比数列
5．3.1　等比数列
第1课时　等比数列的定义
|1.通过实例，理解等比数列的概念．　2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．
3．了解等比数列的通项公式与函数的关系．　4.掌握等比数列的判定与证明方法．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
观察下面问题中的数列，回答问题．
我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问：各几何？”
构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98.
思考1　类比等差数列的研究方法，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？
提示：我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9.
思考2　你能尝试写出上述数列的通项公式吗？
提示：an＝9n.
一　等比数列的定义
一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于________常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的________．
[答案自填] 同一个　公比
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　)
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.(　　)
(3)常数列一定为等比数列．(　　)
(4)若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数列．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．下面四个数列中，一定是等比数列的是(　　)
A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4
C．q，2q，4q，8q D．，，，
解析：选D．对于A，B，C，当q＝0时不是等比数列，故A，B，C错误；对于D，由题意可得q≠0，且符合等比数列的定义，公比是，故D正确．故选D．
3．若－1，2，a，b成等比数列，则a＋b＝________．
解析：根据题意，有＝＝，
解得a＝－4，b＝8，所以a＋b＝＋8＝4.
答案：4
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
对等比数列概念的理解
(1)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项．
(2)注意作商次序，且比值必须是同一个常数．
(3)等比数列中任意一项都不能为0，公比可以为正数、负数，但不能为0.　
二　等比数列的通项公式
一般地，如果等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项公式为an＝____________________．
点拨　通项公式的推广：an＝amqn－m(n，m∈N＋).
[答案自填] a1qn－1
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例2)已知各项均为负数的等比数列的公比q＝，a2a5＝.
(1)求的通项公式；
(2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．
【解】　(1)因为为等比数列，且公比q＝.
又a2a5＝a1q·a1q4＝a·q5＝a·()5＝，所以a＝.
又数列中各项均为负数，所以a1＝－，
所以an＝a1qn－1＝－·()n－1＝－()n－2.
(2)令an＝－()n－2＝－，解得n＝6，
故－是这个等比数列中的项，且是数列的第6项．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)等比数列的通项公式共涉及4个量a1，an，n，q ，知三求一，解题时通常列方程(组)来解决．其中a1和q是等比数列的两个基本量，解题时，只要求出这两个基本量，其余的量便可以得出．
(2)通项公式不仅能求数列的任何一项，还可以判断某数是否在数列中，此类问题往往利用数列的项数为整数这一特点来判断．　
[跟踪训练1] 已知数列{an}是公比为q的等比数列．
(1)若a2＝2，a5＝54，求{an}的通项公式；
(2)若a1＝125，q＝0.2，an＝3.2×10－4，求n.
【解】　(1)方法一：由等比数列的通项公式可知，
两式相除得q3＝27，即q＝3.所以a1＝.
因此，数列{an}的通项公式是an＝×3n－1＝2×3n－2.
方法二： 因为a5＝a2q3＝2q3＝54，所以q3＝27，所以q＝3，
所以an＝a2qn－2＝2×3n－2.
(2)因为a1＝125，q＝0.2，
所以an＝a1qn－1＝125×＝54－n.
又an＝3.2×10－4＝3.2×2－4×5－4＝5－5，
因此54－n＝5－5，解得n＝9.
三　等比数列与函数的关系
1．等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)，当x＝n时的函数值，即________________．
(1)当q＝1时，函数f(x)是常数函数，此时数列{an}是常数列；
(2)当q≠1时，函数f(x)的增减性既与a1有关，也与q有关．
2．任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，
则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为________，公比为________．
[答案自填] an＝f(n)　ka　a
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)已知数列{an}是等比数列，且公比q＞0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(　　)
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知等比数列是单调数列，若a1＝243，a5＝3，则an＝________．
【解析】　(1)当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立；
当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0，0即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件．
(2)设等比数列的公比为q，
则有解得q＝或q＝－，
当q＝－时，数列不是单调数列，
所以q＝，an＝a1qn－1＝35×n－1＝36－n.
【答案】　(1)D　(2)36－n
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
等比数列单调性的判断
若数列{an}是等比数列，公比是q.
(1)当q<0时，数列{an}正负项相间，奇数项符号相同，偶数项符号相同．
(2)当q＝1时，数列{an}为常数列．
(3)当q>0时，数列{an}各项符号相同，单调性如下：
①当a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增数列．
②当a1>0，0③当a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减数列．
④当a1<0，0[跟踪训练2] (1)若{an}为等比数列，则“a1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B．若等比数列{an}是递增数列，可得a1(2)设数列是单调的等比数列，是a3，a4的等差中项，则的公比为__________．
解析：由题意得2×＝a3＋a4，则q2＋q－1＝0，解得q＝，又因为数列是单调的等比数列．
所以q>0，所以q＝.
答案：
四　等比数列的判定与证明
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知数列{an}的前n项和Sn满足条件Sn＝3an＋2.求证：数列{an}成等比数列．
【证明】　根据题意，数列{an}满足Sn＝3an＋2，①
当n＝1时，有S1＝3a1＋2，所以a1＝－1，
当n≥2时，因为Sn＝3an＋2，所以Sn－1＝3an－1＋2，②
①－②得an＝3an－3an－1，即2an＝3an－1.
由a1＝－1≠0，得an≠0，
所以＝(n≥2，n∈N＋)，
由等比数列定义知数列{an}是首项为－1，公比为的等比数列．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
判断一个数列是否为等比数列的常用方法
(1)定义法：＝q(q为常数且不为零) {an}为等比数列．
(2)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0) {an}为等比数列．　
[跟踪训练3] 已知数列满足a1＝1，2nan＋1＝an，设bn＝.
(1)判断数列是否为等比数列，并说明理由；
(2)求的通项公式．
解：(1)数列{bn}为等比数列．理由如下：
由数列满足a1＝1，且2nan＋1＝an，
可得＝×，
又因为bn＝，可得bn＋1＝bn，
因为a1＝1，所以b1＝1，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)得bn＝1×n－1＝，
因为bn＝，可得an＝nbn＝，
所以的通项公式为an＝.
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
1．(教材P36练习AT4改编)已知等比数列{an}中，a1＝1，a4＝－8，则公比q＝(　　)
A．2 B．－4
C．4 D．－2
解析：选D．依题意a4＝a1q3＝q3＝－8，解得q＝－2.故选D．
2．(多选)(教材P36练习BT3改编)已知等比数列是递增数列，q是其公比，下列说法正确的是(　　)
A．a1>0 B．q>0
C．a1q>0 D．a1(q－1)>0
解析：选BD．由题意知，递增的等比数列包括两种情况：当a1>0时，q>1或当a1<0时，00，a1(q－1)>0，故选BD．
3．已知等比数列，a2＝1，a3＝3，则a5＝__________．
解析：由题意公比q＝＝3，所以a5＝a3q2＝3×32＝27.
答案：27
4．已知各项均不为零的数列{an}的前n项的和为Sn，且满足a1＝4，Sn＋1＝4Sn＋4(n∈N＋).求数列{an}的通项公式．
解：因为Sn＋1＝4Sn＋4，当n≥2时，Sn＝4Sn－1＋4，两式相减得an＋1＝4an，由S2＝a1＋a2＝4a1＋4得a2＝16，即a2＝4a1，满足上式，因此 n∈N＋，an＋1＝4an，于是数列{an}是首项为4，公比为4的等比数列，an＝4×4n－1＝4n，所以数列{an}的通项公式是an＝4n.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：等比数列的概念，等比数列的通项公式以及等比数列的判断与证明．
2．须贯通：(1)等比数列的通项公式及基本计算，通过建立关于a1和q 的方程(组)，求出a1，q后再求an；(2)等比数列单调性问题，不仅与公比q有关，更与各项的符号密切相关．
3．应注意：等比数列的各项与公比均不为零；公比q<0，数列不具有单调性．