5.3.2　第1课时　等比数列的前n项和公式（教师版）

5．3.2　等比数列的前n项和
第1课时　等比数列的前n项和公式
| 1.了解等比数列前n项和公式的推导过程．　2.掌握等比数列的前n项和公式．　3.熟练掌握等比数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．　4.理解等比数列前n项和的函数特征．
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
同学们，对于等差数列{an}，我们用倒序相加法求得了其前n项和Sn，那么对于等比数列{an}，我们如何求其前n项和Sn呢？
思考　若S64＝1＋21＋22＋23＋…＋263，如何求S64
提示：因为S64＝1＋21＋22＋23＋…＋263，①
所以2S64＝21＋22＋23＋…＋263＋264，②
由②－①化简得，S64＝264－1.
一　等比数列前n 项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
求和公式 公式一：Sn＝ 公式二：Sn＝
[答案自填] 　
【即时练】
1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5＝(　　)
A．93 B．－93
C．45 D．－45
解析：选A．S5＝＝＝93.
2．(多选)已知{an}是首项为，公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则(　　)
A．q＝2 B．q＝1或2
C．a3＝ D．a2＋a3＝2
解析：选ACD．因为9S3＝S6，所以q≠1，所以9×＝，所以9＝1＋q3，解得q＝2，故A正确，B错误；a2＝a1q＝，a3＝a1q2＝，a2＋a3＝2，故C，D正确．故选ACD．
3．已知数列{an}是各项为正的等比数列，a1＝1，a5＝1，则其前10项和S10＝________．
解析：因为数列{an}是各项为正的等比数列，则其公比q>0，
又a1＝1，a5＝1，则q4＝＝1，即q＝1，
所以数列{an}为常数列，即an＝a1＝1，所以S10＝10a1＝10.
答案：10
4.在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝－8，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________．
解析：由题意知在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝－8，
设公比为q，则a4＝a1q3＝－8，即q＝－2，故an＝(－2)n－1，则|an|＝2n－1，则{|an|}是首项为1，公比为2的等比数列，故|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝1＋2＋4＋…＋2n－1＝＝2n－1.
答案：2n－1
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求等比数列的前n项和时，需对公比q＝1与q≠1两种情况进行讨论，当q＝1时，应利用公式Sn＝na1求和．　
二　等比数列前n项和公式的有关计算
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　在等比数列{an}中．
(1)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q；
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.
【解】　(1)由Sn＝，得11＝，解得q＝－2，又由an＝a1qn－1，得16＝·(－2)n－1，解得n＝5.
所以n＝5，q＝－2.
(2)显然q≠1，则S4＝＝1，S8＝＝17，
两式相除得＝1＋q4＝17，
解得q＝±2，当q＝2时可解得a1＝，
则an＝·2n－1；
当q＝－2时可解得a1＝－，
则an＝－·(－2)n－1.　
所以an＝·2n－1或an＝－·(－2)n－1.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
等比数列前n项和运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可以看作一个整体．　
[跟踪训练1] (1)已知等比数列{an}满足a3＝12，a8＝，若{an}的前n项和Sn＝93，则n＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选A．设等比数列{an}的公比为q，
因为a3＝12，a8＝，
所以q5＝＝＝，
解得q＝，
所以a1＝＝＝48.
因为Sn＝93，所以
＝96＝93，
所以()n＝＝，解得n＝5.故选A．
(2)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S6＝4S3，a2＋a5＝8，则a8＝________．
解析：设等比数列{an}的公比为q，
若q＝1，则由S6＝4S3得6a1＝12a1，
所以a1＝0，不合题意；
故q≠1，则由S6＝4S3得
＝4·，
则1＋q3＝4，所以q3＝3，
因为a2＋a5＝a2(1＋q3)＝4a2＝8，
所以a2＝2，
所以a8＝a2q6＝2×9＝18.
答案：18
三　等比数列前n项和的函数性质
1．当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是关于n的指数型函数．
2．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例3)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否为等比数列．
【解】　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，不符合上式．
所以an＝
由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列．
【变式探究】
(综合变式)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a，求a与{an}的通项公式．
解：方法一：当n＝1时，a1＝S1＝3＋a；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋a)－(3n－1＋a)＝2×3n－1.
此时＝＝3，
即当n≥2时，{an}是公比为3的等比数列．
由题意知，a1应满足an＝2×3n－1，
即3＋a＝2×30，解得a＝－1.
综上，a＝－1，{an}的通项公式为an＝2×3n－1.
方法二：当q≠1时，等比数列{an}的前n项和满足Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，由Sn＝3n＋a可得a＝－1，q＝3.当n＝1时，a1＝S1＝3－1＝2，所以an＝2×3n－1.
综上，a＝－1，{an}的通项公式为an＝2×3n－1.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)已知Sn，通过an＝求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，需验证n＝1时是否满足此式．
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．　
[跟踪训练2] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝m·2n－1＋，则m＝________．
解析：方法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝m·2n－1＋－m·2n－2－＝m·2n－2，
显然m＝0不合题意，可得＝＝2；
当n＝1时，a1＝S1＝m＋.
若{an}为等比数列，则a1＝m＋≠0，
且＝＝2，解得m＝－.
方法二：因为Sn＝m·2n－1＋＝·2n＋，结合等比数列{an}的前n项和的结构特征可得＝－，解得m＝－.
答案：－
eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ))
1．(教材P41T1改编)已知数列{an}是公比为正数的等比数列，Sn是其前n项和，a2＝2，a4＝8，则S3＝(　　)
A．63 B．31
C．15 D．7
解析：选D．设等比数列{an}的公比为q，由题意q>0，a4＝a2q2，即8＝2q2，解得q＝2，于是a1＝＝1，故S3＝＝＝7.故选D．
2．(多选)(教材P42练习AT3改编)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3a1，则数列{an}的公比可能是(　　)
A．1 B．－2
C．3 D．
解析：选AB．设数列{an}的公比为q，若q＝1，则S3＝3a1，满足题意；若q≠1，由S3＝3a1，得＝3a1，解得q＝－2，综上，q＝1或q＝－2.故选AB．
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝λ3n－1，则a4＝________．
解析：当n＝1时，则S1＝a1＝3λ－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝λ(3n－3n－1)＝2λ·3n－1.又因为{an}是等比数列，所以公比q＝3，a1＝2λ，所以2λ＝3λ－1，解得λ＝1，所以an＝2×3n－1，所以a4＝54.
答案：54
4．已知等比数列{an}的公比q＝2，记其前n项和为Sn，且a2，a3＋3，a4成等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{Sn}的前n项和Tn.
解：(1)因为a2，a3＋3，a4成等差数列，
所以2(a3＋3)＝a2＋a4，
得2a3＋6＝＋a3q，
即2a3＋6＝＋2a3，解得a3＝12，
所以an＝a3qn－3＝12×2n－3＝3×2n－1.
(2)由(1)知a1＝3×21－1＝3，
所以Sn＝＝3×2n－3，
则Tn＝－3n＝3×2n＋1－6－3n.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：等比数列前n项和公式的推导及运算，等比数列前n项和公式的结构特点．
2．须贯通：(1)公式的推导利用了错位相减法；
(2)计算等比数列的基本量，通常将已知条件转化为首项和公比的方程(组)求解，这里运用了方程的思想．
3．应注意：等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论．