6.3　利用导数解决实际问题（教师版）

6．3　利用导数解决实际问题
1.了解导数在解决实际问题中的作用．　2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的最优化问题的方法．
在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最小等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题．因为利用导数可以求得最值，所以利用导数可以解决最优化问题，下面我们通过实例学习．
一　成本最低、用料最省问题
　某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
【解】　(1)相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，则y＝256＋(2＋)x·＝256·＋m＋2m－256(0(2)当m＝640米时，y＝f(x)＝640×＋1 024，
f′(x)＝640×(－＋)＝640×，
因为f′(26)＝0且当x>26时，f′(x)>0，
则f(x)单调递增，
当0所以f(x)min＝f(26)＝8 704，
所以需新建桥墩－1＝9(个).
成本最低、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
[跟踪训练1] 如图，工厂A到铁路专用线的距离AB＝20 km，在铁路专用线上距离B 100 km的地方有一个配件厂C，现在准备在专用线的BC段选一处D铺设一条公路(向着A)，为了使得配件厂到工厂A的运费最省，那么D处应如何选址？(已知每千米的铁路运费是公路运费的60%)
解：设BD＝x，AD＝，CD＝100－x，
设公路每千米的运费为a(a＞0)，则铁路每千米的运费为a，则配件厂到工厂A所需的总运费为y＝a＋a(100－x)(0≤x≤100)
y′＝－a，令y′＝0，即＝a，
解得x1＝15，x2＝－15(不合题意，舍去).
当0≤x<15时，y′<0，则函数y单调递减；当150，则函数y单调递增，即当x＝15时，
函数y＝a＋a(100－x)取最小值．
故D处应选在距点B处15 km时运费最省．
二　面积、容积的最值问题
　(对接教材例2)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3 m，AD＝2 m.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则AN的长应在什么范围内？
(2)当AN的长是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．
【解】　(1)设AN的长为x m(x>2)，矩形AMPN的面积为S，
由题意可知，＝，即＝，所以AM＝，
所以S＝x·＝，
由S>32，得>32，
又因为x>2，
所以3x2－32(x－2)>0，即(3x－8)(x－8)>0(x>2)，
解得28，
即AN的长的取值范围是∪(8，＋∞).
(2)由(1)知S＝(x>2)，
所以S′＝＝＝，
令S′＝0，得x＝4，
当2当x>4时，S′>0，则函数S单调递增，
所以当x＝4时，S取极小值，且为最小值，
即AN的长为4 m时，矩形AMPN的面积最小，最小为24 m2.
解决面积、容积的最值问题的方法
解决面积、容积的最值问题时，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
[注意]　(1)在求最值时，往往需要建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．
(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
[跟踪训练2] 如图，在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图1.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图2.则这个容器的容积的最大值为________．
解析：设容器的高为x，则容器底面正三角形的边长为a－2x(0则三棱柱形容器容积V(x)＝x·(a－2x)2
＝(12x3－4ax2＋a2x)，
则V′(x)＝(36x2－8ax＋a2)
＝(2x－a)(6x－a)，
当x∈(0，a)时，V′(x)＞0，V(x)单调递增；
当x∈(a，a)时，V′(x)<0，V(x)单调递减，
所以当x＝a时，V(x)取得极大值，也是最大值，
即当x＝a时，V(x)max＝.
答案：
三　利润最大问题
　某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力推广“毛线玩具”加工产业．某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂，需要每年投入固定成本10万元，每加工x万件毛线玩具，需要流动成本C(x)万元．当年加工量不足15万件时，C(x)＝12x－12ln (x＋1)；当年加工量不低于15万件时，C(x)＝21x＋－200.通过市场分析，加工后的毛线玩具以每件20元的价格，全部由总厂收购．
(1)求年利润f(x)关于年加工量x的解析式；(年利润＝年销售收入－流动成本－年固定成本)
(2)当年加工量为多少万件时，该合作社的年利润最大？最大年利润是多少？(参考数据：ln 2≈0.69)
【解】　(1)当0当x≥15时，f(x)＝20x－10－
＝190－x－，
所以年利润f(x)关于年加工量x的解析式为f(x)＝
(2)当00恒成立，
所以f(x)在区间(0，15)上单调递增，
所以f(x)＝110＋48ln 2≈143.12，
当x≥15时，f(x)＝188－
≤188－2＝156，
当且仅当x－2＝，即x＝18(负值已舍去)时取得等号．
因为156>143.12，
所以当年加工量为18万件时，该合作社获得的年利润最大，且最大年利润为156万元．
用导数解决利润(收益)最大问题，关键是灵活运用题设条件，建立利润(收益)的函数解析式，然后再利用导数方法求出该函数的最大值，即可得到最大利润(收益)，常见的基本等量关系如下：
(1)利润(收益)＝收入－成本．
(2)利润(收益)＝每件产品的利润(收益)×销售量．
[跟踪训练3] 某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x(x>0)千元时，在销售A，B商品中所获收益的解析式分别为f(x)＝2x，g(x)＝4ln (2x＋1)，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投入(　　)
A．千元　　 B．千元
C．千元 D．千元
解析：选B．设B商品投x千元，总收益为h(x)，
所以h(x)＝2(5－x)＋4ln (2x＋1)(0＜x≤5)，
即h(x)＝－2x＋4ln (2x＋1)＋10，
所以h′(x)＝－2＋，令h′(x)＝0，
则x＝，所以当x∈时，h′(x)＞0，当x∈时，h′(x)＜0，所以h(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以h(x)在x＝时取得最大值，
即为使总收益最大，则B商品需投千元．故选B．
1．某银行向某地区居民提供不超过10万元的免息贷款，现小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算年利润y(单位：万元)与贷款x(单位：万元)满足关系式y＝ln x－x－＋9，要使年利润最大，小李应向银行贷款(　　)
A．3万元 B．4万元
C．5万元 D．6万元
解析：选B．依题意y＝ln x－x－＋9，且00，函数y单调递增；当x∈(4，10]，y′<0，函数y单调递减，所以当x＝4万元时，函数取得最大值．故选B．
2．(多选)(教材P107T2改编)若将一边长为4的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是(　　)
A．当x＝时，方盒的容积最大 B．方盒的容积没有最小值
C．方盒容积的最大值为 D．方盒容积的最大值为
解析：选ABC．由题意知，方盒的底面为边长为4－2x的正方形，高为x，其中00，当x∈时，V′(x)<0，所以V(x)在上单调递增，在上单调递减，所以V(x)max＝V＝，无最小值，故A，B，C正确，D错误．故选ABC．
3．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．
解析：由题设知y′＝x2－39x－40(x＞0)，令y′>0，解得x>40，令y′<0，解得00)在(40，＋∞)上单调递增，在(0，40)上单调递减，所以当x＝40时，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.
答案：40
4．(教材P107T3改编)将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆的面积之和最小？
解：设弯成圆的一段铁丝长为x(0则S(x)＝π＋(0所以S′(x)＝－(100－x)，
令S′(x)＝0，则x＝，
又S′(x)单调递增，所以当0S′(x)<0，当0，
所以S(x)在上单调递减，
在上单调递增，
所以当x＝时，S(x)取得极小值即最小值，故当截得弯成圆的一段铁丝长为 cm时，正方形与圆的面积之和最小．
1．已学习：成本最低、用料最省问题，面积、容积的最值问题及利润最大问题．
2．须贯通：(1)建模：分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即建立函数关系y＝f(x)；
(2)解模：把数学问题化归为求最值问题，常用方法是导数法或基本不等式法．
3．应注意：要从问题的实际意义去考虑，舍去没有实际意义的自变量的取值范围．