6.1.1 函数的平均变化率（教师版）
文档属性
| 名称 | 6.1.1 函数的平均变化率（教师版） |
|
|
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 468.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
INCLUDEPICTURE "数学RJBXZXBX3第六章LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学RJBXZXBX3第六章LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
6．1 导 数
6．1.1 函数的平均变化率
1.了解平均变化的实际情况． 2.理解平均变化率的含义． 3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢．从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？请仔细观察下图气温T(单位：℃)随时间t(单位：天)的变化情况．
INCLUDEPICTURE "TX1.TIF" INCLUDEPICTURE "TX1.TIF" \* MERGEFORMAT
思考1 气温由A点到B点是如何变化的？A，B两点间的斜率是多少(结果保留一位小数)
提示：气温逐步升高，由A点到B点经历了31天，气温增加了15.1 ℃；A，B两点间的斜率是≈0.5.
思考2 B，C两点间的气温是如何变化的？其斜率又是多少？
提示：气温快速升高，B，C两点相差2天，气温增加了14.8 ℃；其斜率是＝7.4.
一 函数的平均变化率
1．函数的平均变化率
一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则称Δx＝x2－x1为自变量的改变量；称Δy＝y2－y1(或Δf＝f(x2)－f(x1))为相应的因变量的改变量；称＝____________为函数y＝f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率．
2．平均变化率的意义
(1)平均变化率的实际意义是，在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加个单位．因此，如果自变量增加h个单位，那么因变量将增加____________个单位．
(2)函数在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函数图象上________.
[答案自填] h 两点连线的斜率
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例1)求函数f(x)＝x2－x在下列区间上的平均变化率．
(1)[2，3]；
(2)以2和2＋Δx为端点的闭区间．
【解】 (1)根据定义可知，
＝＝(32－3)－(22－2)＝4，
即f(x)在区间[2，3]上的平均变化率为4.
(2)根据定义可知，＝＝＝＝3＋Δx，所以f(x)在以2和2＋Δx为端点的闭区间上的平均变化率为3＋Δx.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
求平均变化率的步骤
(1)作差：Δx＝x2－x1，Δf＝f(x2)－f(x1).
(2)作商：＝＝.
[注意] Δx，Δf的值可正可负，但Δx≠0，Δf可为0.比如，若函数f(x)为常数函数，则Δf＝0.
[跟踪训练1] (1)函数f(x)＝x＋sin x在区间[0，π]上的平均变化率为( )
A．1 B．2
C．π D．0
解析：选A．f(x)＝x＋sin x在区间[0，π]上的平均变化率为＝＝1.故选A．
(2)若函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m＝________．
解析：由题意得＝＝3，所以m＝2或m＝1(舍去).
答案：2
二 以直代曲(重在体会“无限逼近”、“近似与精确”的思想)
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 已知函数f(x)的部分图象如图所示．若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为________．
INCLUDEPICTURE "TX2.TIF" INCLUDEPICTURE "TX2.TIF" \* MERGEFORMAT
【解析】 若把曲线AB近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积S＝×1×3＝.
【答案】
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”“量变到质变”“近似与精确”的思想．
[跟踪训练2] 刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的估计值为________．
INCLUDEPICTURE "TX3.TIF" INCLUDEPICTURE "TX3.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：S正六边形＝6×＝.
答案：
三 平均速度与平均变化率
如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1这就是说，物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的___________.
[答案自填] 平均变化率
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 已知某物体运动的位移x m是时间t s的函数，且t＝0.3时，x＝0.38；t＝0.6时，x＝5.06.
(1)求这个物体在时间段[0.3，0.6]内的平均速度；
(2)估计出t＝0.5时物体的位移．
【解】 (1)所求平均速度为＝15.6(m/s).
(2)将x在[0.3，0.6]上的图象看成直线，x与t的关系可近似表示为x－0.38＝15.6(t－0.3)，令t＝0.5，得x＝3.5，
故可估计出t＝0.5时物体的位移为3.5 m．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
物体运动的平均速度和位移
(1)物体的平均速度＝(Δx为位移的改变量).
(2)将物体在某时间段上的图象看成直线，可据此估计物体在此时间段内某时刻的位移．
[跟踪训练3] (1)某物体运动t s后，其位移(单位：m)为y＝t2＋2t.则在2≤t≤4这段时间里，该物体的平均速度为( )
A．5 m/s B．6 m/s
C．8 m/s D．10 m/s
解析：选A．当t＝2时，位移为×22＋2×2＝6(m)，
当t＝4时，位移为×42＋2×4＝16(m)，
所以在2≤t≤4这段时间里，该物体的平均速度为＝5 m/s.故选A．
(2)如图是某物体的运动时间x与位移y的函数图象，则该物体在A，B两点间的平均速度为________；在x＝2时位移的估计值是________．
INCLUDEPICTURE "TX4.TIF" INCLUDEPICTURE "TX4.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：由题意得，A，B两点间的平均速度为＝－1，因此y与x的关系可近似表示为y－3＝－1×(x－1)，令x＝2，则y＝2，即在x＝2时位移的估计值为2.
答案：－1 2
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P67练习AT1改编)函数y＝在区间[1，4]上的平均变化率为( )
A． B．
C． D．3
解析：选A．设f(x)＝，则函数y＝在区间[1，4]上的平均变化率为＝＝＝.故选A．
2．(多选)(教材P67练习AT4改编)已知物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法错误的是( )
INCLUDEPICTURE "TX5.TIF" INCLUDEPICTURE "TX5.TIF" \* MERGEFORMAT
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
解析：选ABD．在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故A，B错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，则在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误．故选ABD．
3．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为________．
解析：由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1.
答案：1
4．已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在区间[1，2]和[3，5]上的平均变化率，并比较f(x)在两个区间上平均变化的快慢．
解：自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝，自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.由于<，所以函数f(x)＝x＋在区间[1，2]上的平均变化比在区间[3，5]上的平均变化慢．
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
函数的平均变化率、以直代曲思想以及平均速度与平均变化率的关系．
2．须贯通：平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线在某一区间上的变化趋势，是曲线倾斜程度的“数量化”，曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”．
3．应注意：忽视定义中Δx与Δf的对应关系致错．
6．1 导 数
6．1.1 函数的平均变化率
1.了解平均变化的实际情况． 2.理解平均变化率的含义． 3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢．从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？请仔细观察下图气温T(单位：℃)随时间t(单位：天)的变化情况．
INCLUDEPICTURE "TX1.TIF" INCLUDEPICTURE "TX1.TIF" \* MERGEFORMAT
思考1 气温由A点到B点是如何变化的？A，B两点间的斜率是多少(结果保留一位小数)
提示：气温逐步升高，由A点到B点经历了31天，气温增加了15.1 ℃；A，B两点间的斜率是≈0.5.
思考2 B，C两点间的气温是如何变化的？其斜率又是多少？
提示：气温快速升高，B，C两点相差2天，气温增加了14.8 ℃；其斜率是＝7.4.
一 函数的平均变化率
1．函数的平均变化率
一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则称Δx＝x2－x1为自变量的改变量；称Δy＝y2－y1(或Δf＝f(x2)－f(x1))为相应的因变量的改变量；称＝____________为函数y＝f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率．
2．平均变化率的意义
(1)平均变化率的实际意义是，在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加个单位．因此，如果自变量增加h个单位，那么因变量将增加____________个单位．
(2)函数在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函数图象上________.
[答案自填] h 两点连线的斜率
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例1)求函数f(x)＝x2－x在下列区间上的平均变化率．
(1)[2，3]；
(2)以2和2＋Δx为端点的闭区间．
【解】 (1)根据定义可知，
＝＝(32－3)－(22－2)＝4，
即f(x)在区间[2，3]上的平均变化率为4.
(2)根据定义可知，＝＝＝＝3＋Δx，所以f(x)在以2和2＋Δx为端点的闭区间上的平均变化率为3＋Δx.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
求平均变化率的步骤
(1)作差：Δx＝x2－x1，Δf＝f(x2)－f(x1).
(2)作商：＝＝.
[注意] Δx，Δf的值可正可负，但Δx≠0，Δf可为0.比如，若函数f(x)为常数函数，则Δf＝0.
[跟踪训练1] (1)函数f(x)＝x＋sin x在区间[0，π]上的平均变化率为( )
A．1 B．2
C．π D．0
解析：选A．f(x)＝x＋sin x在区间[0，π]上的平均变化率为＝＝1.故选A．
(2)若函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m＝________．
解析：由题意得＝＝3，所以m＝2或m＝1(舍去).
答案：2
二 以直代曲(重在体会“无限逼近”、“近似与精确”的思想)
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 已知函数f(x)的部分图象如图所示．若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为________．
INCLUDEPICTURE "TX2.TIF" INCLUDEPICTURE "TX2.TIF" \* MERGEFORMAT
【解析】 若把曲线AB近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积S＝×1×3＝.
【答案】
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”“量变到质变”“近似与精确”的思想．
[跟踪训练2] 刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的估计值为________．
INCLUDEPICTURE "TX3.TIF" INCLUDEPICTURE "TX3.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：S正六边形＝6×＝.
答案：
三 平均速度与平均变化率
如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1
[答案自填] 平均变化率
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 已知某物体运动的位移x m是时间t s的函数，且t＝0.3时，x＝0.38；t＝0.6时，x＝5.06.
(1)求这个物体在时间段[0.3，0.6]内的平均速度；
(2)估计出t＝0.5时物体的位移．
【解】 (1)所求平均速度为＝15.6(m/s).
(2)将x在[0.3，0.6]上的图象看成直线，x与t的关系可近似表示为x－0.38＝15.6(t－0.3)，令t＝0.5，得x＝3.5，
故可估计出t＝0.5时物体的位移为3.5 m．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
物体运动的平均速度和位移
(1)物体的平均速度＝(Δx为位移的改变量).
(2)将物体在某时间段上的图象看成直线，可据此估计物体在此时间段内某时刻的位移．
[跟踪训练3] (1)某物体运动t s后，其位移(单位：m)为y＝t2＋2t.则在2≤t≤4这段时间里，该物体的平均速度为( )
A．5 m/s B．6 m/s
C．8 m/s D．10 m/s
解析：选A．当t＝2时，位移为×22＋2×2＝6(m)，
当t＝4时，位移为×42＋2×4＝16(m)，
所以在2≤t≤4这段时间里，该物体的平均速度为＝5 m/s.故选A．
(2)如图是某物体的运动时间x与位移y的函数图象，则该物体在A，B两点间的平均速度为________；在x＝2时位移的估计值是________．
INCLUDEPICTURE "TX4.TIF" INCLUDEPICTURE "TX4.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：由题意得，A，B两点间的平均速度为＝－1，因此y与x的关系可近似表示为y－3＝－1×(x－1)，令x＝2，则y＝2，即在x＝2时位移的估计值为2.
答案：－1 2
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P67练习AT1改编)函数y＝在区间[1，4]上的平均变化率为( )
A． B．
C． D．3
解析：选A．设f(x)＝，则函数y＝在区间[1，4]上的平均变化率为＝＝＝.故选A．
2．(多选)(教材P67练习AT4改编)已知物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法错误的是( )
INCLUDEPICTURE "TX5.TIF" INCLUDEPICTURE "TX5.TIF" \* MERGEFORMAT
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
解析：选ABD．在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故A，B错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，则在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误．故选ABD．
3．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为________．
解析：由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1.
答案：1
4．已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在区间[1，2]和[3，5]上的平均变化率，并比较f(x)在两个区间上平均变化的快慢．
解：自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝，自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.由于<，所以函数f(x)＝x＋在区间[1，2]上的平均变化比在区间[3，5]上的平均变化慢．
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
函数的平均变化率、以直代曲思想以及平均速度与平均变化率的关系．
2．须贯通：平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线在某一区间上的变化趋势，是曲线倾斜程度的“数量化”，曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”．
3．应注意：忽视定义中Δx与Δf的对应关系致错．