6.1.1　课后达标检测（教师版）

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1．函数f(x)＝x3在区间[－1，1]上的平均变化率为　(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C．由函数的平均变化率的公式，可得＝＝＝1.故选C．
2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为(　　)
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)－f(x0＋Δx) D．f(x0＋Δx)－f(x0)
解析：选D．由题意知，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).故选D．
3．已知函数f(x)＝x2＋1的图象上一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则＝(　　)
A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
解析：选C．＝＝＝2＋Δx.
4．已知一物体的运动方程为y＝f(t)＝2t2＋1，其中t的单位是s，路程单位为m，那么物体在时间[1，1＋Δt]内的平均速度为(　　)
A．4 B．4Δt
C．4＋2Δt D．2Δt
解析：选C．由题意，得Δy＝f(1＋Δt)－f(1)＝2(1＋Δt)2＋1－3＝4Δt＋2(Δt)2，所以＝＝4＋2Δt.
5．某公司的盈利y(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系是y＝f(x)，假设>0(x1>x0≥0)恒成立，且＝10，＝1，则说明后10天与前10天比　(　　)
A．公司亏损且亏损幅度变大 B．公司的盈利增加，增加的幅度变大
C．公司亏损且亏损幅度变小 D．公司的盈利增加，增加的幅度变小
解析：选D．由>0(x1>x0≥0)恒成立，可知y＝f(x)单调递增，即盈利增加，又平均变化率＝10>＝1说明盈利增加的幅度变小．故选D．
6．(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为，则下面叙述正确的是(　　)
A．直线AB的倾斜角为 B．直线AB的倾斜角为
C．直线AB的斜率为 D．直线AB的斜率为
解析：选BC．函数f(x)从x1到x2的平均变化率就是直线AB的斜率，所以kAB＝，直线AB的倾斜角为.故选BC．
7．函数f(x)＝log5(x2＋1)在区间[1，7]上的平均变化率为______．
解析：由题意知，函数f(x)在区间[1，7]上的平均变化率为＝＝＝.
答案：
8．函数y＝x2在[1，1＋Δx]上的平均变化率为k1，在[1－Δx，1]的平均变化率为k2，则二者的大小关系是________．(用“＞”连接)
解析：由题意Δx>0，k1＝＝＝2＋Δx，k2＝＝＝2－Δx，所以k1>k2.
答案：k1>k2
9．将半径为R的球加热，若球的半径增加量为ΔR，则球的体积增量ΔV＝________．
解析：由题意得，半径为R的球的体积为V1＝πR3，若半径为R的球加热，球的半径增加量为ΔR，则此时球的半径R2＝R＋ΔR，所以球加热后的体积V2＝π(R＋ΔR)3＝π[R3＋3R2ΔR＋3R(ΔR)2＋(ΔR)3]，则球的体积增量ΔV＝V2－V1＝π[R3＋3R2ΔR＋3R(ΔR)2＋(ΔR)3－R3]＝4πR2ΔR＋4πR(ΔR)2＋π(ΔR)3.
答案：4πR2ΔR＋4πR(ΔR)2＋π(ΔR)3
10．已知函数f(x)＝3x2＋5，求：
(1)f(x)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
解：(1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为
＝0.9.
(2)因为f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)
＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5
＝6x0Δx＋3(Δx)2，
所以函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx.
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11．某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图．记该车在时间段[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]上的平均速度的大小分别为1，2，3，4，则最小平均速度是(　　)
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A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．由题意，设路程y与时间t的函数关系为y＝f(t)，则1＝，即为经过点(t1，f(t1))，(t2，f(t2))的直线的斜率k1，同理2为经过点(t2，f(t2))，(t3，f(t3))的直线的斜率k2，3为经过点(t3，f(t3))，(t4，f(t4))的直线的斜率k3，4为经过点(t1，f(t1))，(t4，f(t4))的直线的斜率k4，如图，
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由图可知，k3最小，即3最小．故选C．
12．(多选)为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有(　　)
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A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱
C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强
解析：选AC．由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确，B错误；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，故C正确；由题意可知，甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]这段时间内的污水治理能力明显低于[t1，t2]这段时间内的污水治理能力，故D错误．故选AC．
13．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为______；在区间[0，2]上的平均变化率为________．
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解析：函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为
＝＝.
由函数f(x)的图象知，
f(x)＝
所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为
＝＝.
答案：　
14．某质点按规律做运动，且当t＝2 s时，位移x＝12 m，当t＝3 s时，位移x＝24 m，当t＝4 s时，位移x＝38 m.
(1)求这个质点在时间段[2，3]，[3，4]内的平均速度；
(2)估计出t＝3.2 s时质点的位移．
解：(1)质点在[2，3]内的平均速度为＝12(m/s)，
质点在[3，4]内的平均速度为＝14(m/s).
(2)将x在[3，4]上的图象看成线段，
则可知该线段所在直线的斜率为14，
且直线过点(3，24)，故x与t的关系可近似的表示为x－24＝14(t－3)，将t＝3.2代入得x＝26.8，即位移的估计值为26.8 m．
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15．已知函数f(x)＝x2＋3x在[0，m]上的平均变化率是函数g(x)＝2x＋1在[1，4]上的平均变化率的3倍，则实数m＝________．
解析：函数g(x)在[1，4]上的平均变化率为＝＝2.函数f(x)在[0，m]上的平均变化率为＝＝m＋3.则m＋3＝2×3，解得m＝3.
答案：3
16．已知圆柱形容器的底面直径为2 m，深度为1 m，盛满液体后以0.01 m3/s的速率放出，求液面高度的平均变化率．
解：设液体放出t s后液面高度为y m，则π·12·y＝π·12×1－0.01t，所以y＝1－t，则液面高度的平均变化率为＝＝－.