6.1.2　第1课时　课后达标检测（教师版）

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INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF"
1．一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选C． ＝ (Δt＋6)＝6.故选C．
2．若函数f(x)＝x2，则f′(－3)＝(　　)
A． B．1
C．－1 D．－
解析：选C．f′(－3)＝ ＝ (Δx－1)＝－1.故选C．
3．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝ ＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(　　)
A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率
B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率
C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率
解析：选C．结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．
4．将原油精炼为汽油，柴油，塑胶等不同产品时，需要对原油进行冷却和加热．若在第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)，则第4 h时，原油温度的瞬时变化率为(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．5
解析：选B．设x＝4时，时间的改变量为Δx，
则＝
＝
＝Δx＋1，
令Δx→0，可得f′(4)＝1.故选B．
5．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝t3＋1，设其在时间段[1，2]内的平均速度为v1 m/s，在t＝2时的瞬时速度为v2 m/s，则＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．由题意，该质点在时间段[1，2]内的平均速度
v1＝＝＝(m/s)，
v2＝
＝(4＋2Δt＋Δt2)＝4.
即该质点在t＝2时的瞬时速度为v2＝4 m/s，所以＝.故选B．
6．(多选)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则 的值(　　)
A．与x0有关 B．与h有关
C．与x0无关 D．与h无关
解析：选AD．由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关．故选AD．
7．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝__________．
解析：因为f′(1)＝
＝ ＝a.
又因为f′(1)＝3，所以a＝3.
答案：3
8．设f(x)是可导函数，且 ＝2，则f′(1)＝________．
解析：因为
＝－3× ＝2，
所以 ＝－，
即f′(1)＝－.
答案：－
9．高台跳水运动员在t s时距水面高度h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10(单位：m)，则该运动员的初速度为________ m/s.
解析：＝＝－4.9Δt＋6.5，
因为当Δt→0时，－4.9Δt＋6.5→6.5，
所以该运动员的初速度为6.5 m/s.
答案：6.5
10．求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
解：因为Δf＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
所以＝＝2Δx＋16.
所以f′(3)＝ ＝ (2Δx＋16)＝16.
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11．已知某登山者爬山的路程h(单位：m)与时间t(单位：h)的函数关系式是h(t)＝at2＋600t，若该登山者在1≤t≤3这段时间内的平均速度是360 m/h，则该登山者在t＝3时的瞬时速度是(　　)
A．180 m/h B．240 m/h
C．360 m/h D．480 m/h
解析：选B．Δh＝h(3)－h(1)＝8a＋1 200，Δt＝3－1＝2，所以该登山者在1≤t≤3这段时间内的平均速度是＝＝4a＋600＝360，所以a＝－60，所以＝ ＝ (－60Δt＋240)＝240，故该登山者在t＝3时的瞬时速度是240 m/h.故选B．
12．(多选)对于函数f(x)，若f′(x0)＝2，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有(　　)
A． B．
C． D．
解析：选AD．因为 ＝f′(x0)＝2，故A正确；因为 ＝f′(x0)＝1，故B错误；因为 ＝2f′(x0)＝4，故C错误；因为 ＝f′(x0)＝2，故D正确．故选AD．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x，y＝0，x＝t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t)，则S(t)在t＝2时的瞬时变化率是________．
INCLUDEPICTURE "TX10.TIF"
解析：由题设知，B(t，t)，即AB＝t，而OA＝t，
所以S(t)＝OA·AB＝t2，
则S′(2)＝
＝ ＝ (2＋Δt)＝2.
答案：2
14．在某场世界一级方程式锦标赛中，赛车位移s(单位：m)与比赛时间t(单位：s)的关系是s(t)＝10t＋5t2.求：
(1)t＝5 s，Δt＝0.1 s时的Δs与；
(2)t＝5s时的瞬时速度．
解：(1)Δs＝s(5＋Δt)－s(5)＝10×(5＋0.1)＋5×(5＋0.1)2－10×5－5×52＝6.05.
＝＝60.5.
(2) ＝
＝ ＝ ＝60.
则在t＝5s时的瞬时速度为60 m/s.
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF"
15.若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为f′，则 ＝(　　)
A．－f′ B．3f′
C．－3f′ D．－4f′
解析：选D．
＝－4 ＝－4f′.故选D．
16．已知在使用某种杀菌剂t小时后室内的细菌数量为f(t)＝105＋104t－103t2.
(1)求f′(10)；
(2)f′(10)的实际意义是什么？
解：(1)设t＝10时细菌数量的改变量为h，由函数f(t)＝105＋104t－103t2，当h≠0时，在使用杀菌剂10小时附近的时间段[10，10＋h](h>0)内，可得细菌数量关于时间的平均变化率为
＝
＝＝－104－103h，
则f′(10)＝ (－104－103h)＝－104＝－10 000.
(2)f′(10)的实际意义是细菌数量在t＝10时的瞬时变化率，它表明在t＝10附近，细菌数量大约以每小时104的速率减少.