6.1.2　第2课时　导数的几何意义（教师版）

第2课时　导数的几何意义
1.理解导数的几何意义，会求导数．　2.会求曲线的切线方程．　3.会求近似值．
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在赛跑、赛车和滑冰运动中，我们常听到“弯道超越”这样的词语，教练通过回放录像分析运动员弯道时的运动方向，这需要求运动曲线在任意一点的切线，那么怎样求曲线的切线？这节课我们就来研究求曲线在某点处的切线问题．
思考　我们知道导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况．如图，平均变化率＝与直线P0P的斜率有何关系？
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提示：相等．
一　导数的几何意义
1．曲线的切线
一般地，如图所示，设S是平面上的一条曲线，P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点，则称直线PP0为曲线S的割线，如果P无限接近于P0时，割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l，则称________为曲线S在点P0处的切线．
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2．导数的几何意义
f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处(也称在x＝x0处)的____________，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是____________________．
[答案自填] 直线l　切线的斜率　y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率．(　　)
(2)直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点．(　　)
(3)过曲线上的一点作曲线的切线，该点一定是切点．(　　)
(4)f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线可能存在．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　)
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A．f′(1)C．f′(1)解析：选C．设A(1，f(1))，B(2，f(2))，由图可得f′(1)INCLUDEPICTURE "TX14.TIF" INCLUDEPICTURE "TX14.TIF" \* MERGEFORMAT
而kAB＝＝f(2)－f(1)，故f′(1)3．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，方程为y＝－x＋4，则f′(2)＝________．
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解析：因为在点P(2，y)处的切线y＝－x＋4的斜率为－1，所以f′(2)＝－1.
答案：－1
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导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
二　曲线的切线方程
角度1　曲线在某点处的切线
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例4、例5)求曲线f(x)＝x2－x＋3在点(1，3)处的切线方程．
【解】　因为f′(1)＝
＝ ＝1，
所以这条曲线在点(1，3)处的切线斜率k＝1，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－3＝x－1，即x－y＋2＝0.
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在某点处的切线方程的求法
一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线C上的定点，由导数的几何意义知曲线C在点P处的切线的斜率k＝ ＝ ，进而由点与斜率得点斜式方程，化简得切线方程．
角度2　曲线过某点的切线
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知曲线y＝x3＋，求曲线过点P(2，4)的切线方程．
【解】　设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)x＋\f(4,3))) ，则切线的斜率为
k＝ eq \f(\f(1,3)(x0＋Δx)3－\f(1,3)x,Δx) ＝x，
所以切线方程为y－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(4,3))) ＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
因为点P(2，4)在切线上，
所以4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0.
所以x＋x－4x＋4＝0，
所以x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.
故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
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过某点的切线方程的求法
(1)已知曲线过点(x1，y1)，设切点(x0，f(x0))；
(2)建立方程f′(x0)＝；
(3)解方程得k＝f′(x0)，由x0，f(x0)及k，写出切线方程．
[跟踪训练1] (1)已知曲线y＝－x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为　(　　)
A．　　 B．
C． D．
解析：选C．因为点P在曲线y＝f(x)＝－x2－2上，所以在点P处的切线斜率为k＝f′(1)＝ ＝－1，又因为倾斜角的取值范围是[0，π)，所以在点P处的切线的倾斜角为.故选C．
(2)过点(－1，0)且与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程是________________．
解析：设切点为(x0，x＋x0＋1)，则切线的斜率为
k＝ eq \f((x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)＋1－(x＋x0＋1),Δx)
＝2x0＋1.
又k＝ eq \f((x＋x0＋1)－0,x0－(－1)) ＝ eq \f(x＋x0＋1,x0＋1) ，
所以2x0＋1＝ eq \f(x＋x0＋1,x0＋1) ，解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线斜率k＝1，过点(－1，0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0；
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过点(－1，0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
答案：x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0
三　求近似值
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知f(x)＝x2＋1，若f(1)＝2，f′(1)＝2，Δx＝0.04，则f(1.04)的近似值为________．
【解析】　设x＝x0＋Δx，Δx＝x－x0，
则有f(x)≈f(x0)＋f′(x0)(x－x0)，
所以f(1.04)≈f(1)＋0.04f′(1)＝2＋0.04×2＝2.08.
【答案】　2.08
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求函数近似值或方程近似解可以从函数导数的实际意义角度考虑，即f′(x)的实际意义：当自变量在x＝x0处的改变量Δx很小时，因变量对应的改变量的近似值为f′(x0)Δx.
[跟踪训练2] 已知f(x)＝，则f′(3)＝________，利用Δx＝0.02，可得f(3.02)的近似值为________．
解析：f′(3)＝
＝ ＝9，
f(3.02)＝f(3＋0.02)≈f(3)＋0.02f′(3)＝9＋0.02×9＝9.18.
答案：9　9.18
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1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝(　　)
A．4 B．－4
C．－2 D．2
解析：选D．由导数的几何意义知f′(1)＝2.故选D．
2．(多选)已知函数f(x)满足f(1)＝3，f′(1)＝－3，则下列关于f(x)的图象描述正确的是(　　)
A．f(x)的图象在x＝1处的切线斜率大于0
B．f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0
C．f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方
D．f(x)的图象在x＝1处位于x轴下方
解析：选BC．因为f′(1)＝－3<0，则f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0；因为f(1)＝3>0，所以f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方．故选BC．
3．(教材P75T5改编)已知f(x)＝2x2－3，若f(2)＝5，f′(2)＝4，Δx＝0.02，则f(2.02)的近似值为________．
解析：设x＝x0＋Δx，Δx＝x－x0，则有f(x)≈f(x0)＋f′(x0)·(x－x0)，所以f(2.02)≈f(2)＋0.02f′(2)＝5＋0.02×4＝5.08.
答案：5.08
4．(教材P75T4改编)已知曲线y＝－x2，求该曲线在点P(2，－2)处的切线方程．
解：令f(x)＝－x2，则f′(x)＝ ＝ ＝ (－x－Δx)＝－x，所以f′(2)＝－2，即该曲线在点P(2，－2)处的切线斜率为－2，所以所求的切线方程为y－(－2)＝－2(x－2)，即2x＋y－2＝0.
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1．已学习：导数的几何意义、曲线的切线方程的求法以及利用导数求近似值．
2．须贯通：(1)导数的几何意义就是切线的斜率，其斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况；
(2)求曲线的切线方程时，利用导数的几何意义，先求出切线的斜率，再利用点斜式写出切线方程．
3．应注意：“在”某点处与“过”某点的切线的区别；切线过某点，该点不一定是切点；切点既在切线上，又在原函数图象上．