6.1.2　第2课时　课后达标检测（教师版）

INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF"
1．已知曲线y＝x2＋6上一点A(2，10)，则在点A处的切线斜率为(　　)
A．4 B．16
C．8 D．2
解析：选A．斜率k＝ ＝4.故选A．
2．已知函数f(x)的图象与直线4x－y－4＝0相切于点(2，f(2))，则f(2)＋f′(2)＝(　　)
A．4 B．8
C．0 D．－8
解析：选B．直线4x－y－4＝0的斜率为4，直线与函数f(x)的图象相切于点(2，f(2))，所以f′(2)＝4，又点(2，f(2))在函数的图象上，同时也在切线上，所以4×2－f(2)－4＝0，所以f(2)＝4.则f(2)＋f′(2)＝8.故选B．
3．已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是　(　　)
INCLUDEPICTURE "TX16.TIF"
解析：选D．由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．
4．若曲线y＝f(x)在其上一点(1，3)处的切线过点(0，2)，则(　　)
A．f′(1)>0 B．f′(1)＝0
C．f′(1)<0 D．f′(1)不存在
解析：选A．由题意知切线过点(1，3)，(0，2)，
所以切线的斜率k＝f′(1)＝＝1>0.故选A．
5．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "TX17.TIF"
A．a＜f′(2)＜f′(4) B．f′(2)＜a＜f′(4)
C．f′(4)＜f′(2)＜a D．f′(2)＜f′(4)＜a
解析：选B．设M(2，f(2))，N(4，f(4))，
则f′(2)为曲线在点M处切线的斜率，
f′(4)为曲线在点N处切线的斜率，kMN＝＝a，则a为直线MN的斜率，结合图象可得f′(2)＜a＜f′(4).故选B．
6．(多选)曲线f(x)＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，则切线方程为(　　)
A．y＝9x B．y＝9x－26
C．y＝9x＋26 D．y＝9x＋6
解析：选BD．设P(x0，x－3x＋1)，
f′(x0)＝
＝ eq \f((x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋1－(x－3x＋1),Δx)
＝3x－6x0＝9，
即x－2x0－3＝0，
解得x0＝－1或x0＝3.
所以点P的坐标为(－1，－3)或(3，1).所以切线方程为y＋3＝9(x＋1)或y－1＝9(x－3)，
即y＝9x＋6或y＝9x－26.
7．曲线f(x)＝x－在(1，0)处的切线方程为________．
解析：因为f′(1)＝ ＝2，
所以切线的斜率k＝2.
所以切线的方程为y＝2(x－1)＝2x－2.
答案：y＝2x－2
8．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________．
解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.
又切线在y轴上的截距为－1，
所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，
从而可得切点坐标为(1，3)，
所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.
答案：2
9．若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p＝________．
解析：设切点坐标为(x0，1)，
则f′(x0)＝ eq \f(2(x0＋Δx)2－4(x0＋Δx)＋p－(2x－4x0＋p),Δx)
＝4x0－4＝0，
所以x0＝1，即切点坐标为(1，1).
所以2－4＋p＝1，即p＝3.
答案：3
10．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：
(1)抛物线与直线的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
解：(1)由得或
所以抛物线与直线的交点坐标为(－2，8)或(3，13).
(2)因为y＝f(x)＝x2＋4，
所以f′(x)＝
＝
＝(Δx＋2x)＝2x.
所以f′(－2)＝－4，f′(3)＝6，
即在点(－2，8)处的切线斜率为－4，在点(3，13)处的切线斜率为6.
所以在点(－2，8)处的切线方程为4x＋y＝0；
在点(3，13)处的切线方程为6x－y－5＝0.
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF"
11．已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为(　　)
A．(0，1) B．(1，3)
C．(－1，3) D．
解析：选D．设切点坐标为(x0，y0)，
则Δy＝[2(x0＋Δx)2＋1]－(2x＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
所以＝4x0＋2Δx，所以f′(x0)＝ ＝4x0.
又因为切线的斜率为k＝tan 45°＝1，
所以4x0＝1，即x0＝.
所以y0＝2×＋1＝，
所以切点坐标为.故选D．
12．(多选)已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x0＋4)(x－x0)，那么下列结论正确的有(　　)
A．f′(1)＝－5 B．在x＝2处的切线平行或重合于x轴
C．切线斜率的最小值为1 D．f′(4)＝12
解析：选AB．由题意，可得f′(x0)＝(x0－2)(x0＋4).
对于A，f′(1)＝－5，故A正确；
对于B，当x＝2时，f′(2)＝0，
故在x＝2处的切线平行或重合于x轴，故B正确；
对于C，f′(x0)＝(x0－2)(x0＋4)＝x＋2x0－8＝(x0＋1)2－9≥－9，则切线斜率的最小值为－9，故C错误；
对于D，f′(4)＝(4－2)×(4＋4)＝16，故D错误．
故选AB．
13．曲线f(x)＝x3在点(1，1)处的切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形的面积为________．
解析：因为f′(1)＝＝3，所以曲线f(x)＝x3在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2，联立方程则y＝4，令y＝3x－2＝0，则x＝，故切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形面积为××4＝.
答案：
14．已知曲线y＝2x2－7，求：
(1)曲线在哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0
(2)曲线过点P(3，9)的切线方程．
解：设切点坐标为(x0，y0)，
则 ＝ eq \f([2(x0＋Δx)2－7]－(2x－7),Δx) ＝(4x0＋2Δx)＝4x0.
(1)令4x0＝4，则x0＝1，y0＝－5，
所以曲线在点(1，－5)处的切线平行于直线4x－y－2＝0.
(2)易知点P(3，9)不在曲线上．
因为切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0).
将P(3，9)及y0＝2x－7代入上式，
得9－(2x－7)＝4x0(3－x0).
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2，1)或(4，25).
从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF"
15．若曲线y＝f(x)＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，1)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
解析：选C．y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为k＝f′(x0)＝
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x＋x0·Δx))) ＝1－ eq \f(1,x) ＜1.
即k＜1.故选C．
16．点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
解：设P(x0，y0)，则y0＝x＋1，
f′(x0)＝ eq \f((x0＋Δx)2＋1－(x＋1),Δx) ＝2x0，
所以f(x)＝x2＋1在点P处的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x＋1－x，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x0x＋1－x，,y＝－2x2－1，))
得2x2＋2x0x＋2－x＝0，
则Δ＝4x－8(2－x)＝0，
解得x0＝±，则y0＝，
所以点P的坐标为(，)或(－，).