6.1.3 基本初等函数的导数（教师版）
文档属性
| 名称 | 6.1.3 基本初等函数的导数（教师版） |
|
|
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 318.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
6．1.3 基本初等函数的导数
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
中国高铁被视为中国的新四大发明之首，不少第一次来中国坐高铁的外国人都感到非常的震惊．设一高铁驶过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数s＝f(t)＝2t2，求t＝1，t＝2，t＝3时的瞬时速度，过程重复而繁琐，有没有更好的运算方法呢？而且，有的函数如y＝sin x，y＝ln x等很难运用定义求在某点处的导数．是否有更简便的求导数的方法呢？
思考1 函数在x＝x0的导数f′(x0)＝，当x0变化时，f′(x0)是否也发生变化？f′(x0)是否可作为x0的函数？
提示：x0变化时，f′(x0)也发生变化；且f′(x0)是x0的函数．
思考2 类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何求函数y＝f(x)的导数？
提示：计算并化简，当Δx→0时，趋近于的定值即为函数y＝f(x)的导数．
一 常数函数与幂函数的导数
1．导函数
一般地，如果函数y＝f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导．此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x).于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作________(或y′，y′x)，即f′(x)＝y′＝y′x＝________________________．导函数通常也简称为导数．
2．常数函数与几个常用幂函数的导数
函数 导函数
f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝________
f(x)＝x f′(x)＝________
f(x)＝x2 f′(x)＝________
f(x)＝x3 f′(x)＝________
f(x)＝ f′(x)＝________
f(x)＝ f′(x)＝________
[答案自填] f′(x)
0 1 2x 3x2 －
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 求函数y＝f(x)＝(x＞－1)的导函数．
【解】 令f(x)＝，
则f′(x)＝
＝
＝
＝ ＝.
【变式探究】
1．(设问变式)在本例的条件下，求函数y＝f(x)在x＝0处的导数．
解：由例题知f′(x)＝，所以f′(0)＝.
2．(设问变式)在本例的条件下，函数y＝f(x)在x＝a处的导数为，求实数a的值．
解：由例题知f′(x)＝，所以f′(a)＝＝，解得a＝3.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
求导函数的一般步骤：
(1)Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
(2)＝；
(3)求极限 .
[跟踪训练1] (1)已知f(x)＝x2，则f(f′(－2))＝________；若f′(x0)＝8，则x0＝________．
解析：因为f(x)＝x2，所以f′(x)＝2x，
于是f′(－2)＝－4，
故f(f′(－2))＝f(－4)＝(－4)2＝16.
由f′(x0)＝8知2x0＝8，故x0＝4.
答案：16 4
(2)已知函数y＝f(x)＝x2－x.求f′(x)，f′(1)，f′(－1).
解：因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx，所以＝2x＋Δx－.
所以f′(x)＝ ＝2x－.
所以f′(1)＝2×1－＝，f′(－1)＝2×(－1)－＝－.
二 基本初等函数的求导公式
函数 导数
f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝________
f(x)＝xα(α∈R且α≠0) f′(x)＝________
f(x)＝sin x f′(x)＝________
f(x)＝cos x f′(x)＝________
f(x)＝ax(a＞0且a≠1) f′(x)＝________
f(x)＝ex f′(x)＝________
f(x)＝logax(a＞0且a≠1) f′(x)＝________
f(x)＝ln x f′(x)＝________
[答案自填] 0 αxα－1 cos x －sin x
ax ln a ex
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 求下列函数的导数：
(1)y＝x0；(2)y＝；(3)y＝log3x；(4)y＝2cos2－1.
【解】 (1)因为y＝x0＝1，所以y′＝0.
(2)因为y＝＝x eq \s\up6(－)，所以y′＝－x eq \s\up6(－).
(3)y′＝.
(4)因为y＝2cos 2－1＝cos x，所以y′＝－sin x．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
用公式求导函数的方法
(1)若所求函数符合求导公式，则直接利用公式求解．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的求导公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导．
[跟踪训练2] 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝π； (2)f(x)＝； (3)y＝2x; (4)y＝cos .
解：(1)f′(x)＝(π)′＝0.
(2)f′(x)＝(x)′＝x.
(3)y′＝2xln 2.
(4)因为y＝cos ＝sin x，所以y′＝cos x．
三 利用导数公式求曲线的切线
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例4)已知曲线y＝ln x，求曲线在点P(e，1)处的切线方程．
【解】 经验证点P(e，1)在曲线上，又因为y′＝，
所以当x＝e时，斜率k＝，
所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
【变式探究】
(条件变式)本例中的“求曲线在点P(e，1)处的切线方程”改为“求曲线过点O(0，0)的切线方程”．
解：因为O(0，0)不在曲线y＝ln x上．
所以设切点为Q(x0，y0)，则切线的斜率k＝.
又切线的斜率k＝＝，
所以＝，即x0＝e，
所以Q(e，1)，所以k＝，
所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况：
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤：
INCLUDEPICTURE "WW8+.TIF" INCLUDEPICTURE "WW8+.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练3] (1)曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为( )
A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16
C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16
解析：选A．因为y′＝3x2，当x＝2时，y′＝12，
故切线的斜率为12，
则切线方程为y＝12x－16.故选A．
(2)若直线y＝kx是y＝ex的一条切线，则k＝________．
解析：设切点为(m，n)，且y′＝ex，
由题意可得解得
答案：e
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P81T3改编)已知f(x)＝，则f′(8)＝( )
A．0 B．2
C． D．－1
解析：选C．由f(x)＝，得f′(x)＝x eq \s\up6(－)，
所以f′(8)＝×8 eq \s\up6(－)＝.故选C．
2．(多选)下列选项正确的是( )
A．y＝f(x)＝ln 2，则y′＝ B．y＝f(x)＝，则f′(3)＝－
C．y＝f(x)＝10x，则y′＝10xln 10 D．y＝f(x)＝log2x，则y′＝
解析：选BCD．对于A，y′＝0，故A错误；对于B，因为y′＝－，所以f′(3)＝－，故B正确；显然C，D正确．故选BCD．
3．(教材P81T2改编)已知函数f(x)＝sin x，曲线y＝f(x)在点(π，0)处的切线方程是________．
解析：f′(x)＝cos x，f(π)＝0，f′(π)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点(π，0)处的切线方程是y－0＝－(x－π)，即y＝－x＋π.
答案：y＝－x＋π
4．求下列函数的导数：
(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝lg x；(4) y＝1－2sin 2.
解：(1)y′＝x ln ＝－x ln 2，
即y′＝－x ln 2.
(2)因为y＝x，所以y′＝x＝，即y′＝.
(3)y′＝.
(4)因为y＝1－2sin 2＝cos x，所以y′＝－sin x．
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：几个常用幂函数的导数、基本初等函数的导数公式及其简单应用．
2．须贯通：(1)熟记基本初等函数的求导公式；
(2)利用导数公式研究切线问题，常利用方程思想．
3．应注意：导数公式记忆错误，因公式变形不够彻底导致求导错误．
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
中国高铁被视为中国的新四大发明之首，不少第一次来中国坐高铁的外国人都感到非常的震惊．设一高铁驶过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数s＝f(t)＝2t2，求t＝1，t＝2，t＝3时的瞬时速度，过程重复而繁琐，有没有更好的运算方法呢？而且，有的函数如y＝sin x，y＝ln x等很难运用定义求在某点处的导数．是否有更简便的求导数的方法呢？
思考1 函数在x＝x0的导数f′(x0)＝，当x0变化时，f′(x0)是否也发生变化？f′(x0)是否可作为x0的函数？
提示：x0变化时，f′(x0)也发生变化；且f′(x0)是x0的函数．
思考2 类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何求函数y＝f(x)的导数？
提示：计算并化简，当Δx→0时，趋近于的定值即为函数y＝f(x)的导数．
一 常数函数与幂函数的导数
1．导函数
一般地，如果函数y＝f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导．此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x).于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作________(或y′，y′x)，即f′(x)＝y′＝y′x＝________________________．导函数通常也简称为导数．
2．常数函数与几个常用幂函数的导数
函数 导函数
f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝________
f(x)＝x f′(x)＝________
f(x)＝x2 f′(x)＝________
f(x)＝x3 f′(x)＝________
f(x)＝ f′(x)＝________
f(x)＝ f′(x)＝________
[答案自填] f′(x)
0 1 2x 3x2 －
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 求函数y＝f(x)＝(x＞－1)的导函数．
【解】 令f(x)＝，
则f′(x)＝
＝
＝
＝ ＝.
【变式探究】
1．(设问变式)在本例的条件下，求函数y＝f(x)在x＝0处的导数．
解：由例题知f′(x)＝，所以f′(0)＝.
2．(设问变式)在本例的条件下，函数y＝f(x)在x＝a处的导数为，求实数a的值．
解：由例题知f′(x)＝，所以f′(a)＝＝，解得a＝3.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
求导函数的一般步骤：
(1)Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
(2)＝；
(3)求极限 .
[跟踪训练1] (1)已知f(x)＝x2，则f(f′(－2))＝________；若f′(x0)＝8，则x0＝________．
解析：因为f(x)＝x2，所以f′(x)＝2x，
于是f′(－2)＝－4，
故f(f′(－2))＝f(－4)＝(－4)2＝16.
由f′(x0)＝8知2x0＝8，故x0＝4.
答案：16 4
(2)已知函数y＝f(x)＝x2－x.求f′(x)，f′(1)，f′(－1).
解：因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx，所以＝2x＋Δx－.
所以f′(x)＝ ＝2x－.
所以f′(1)＝2×1－＝，f′(－1)＝2×(－1)－＝－.
二 基本初等函数的求导公式
函数 导数
f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝________
f(x)＝xα(α∈R且α≠0) f′(x)＝________
f(x)＝sin x f′(x)＝________
f(x)＝cos x f′(x)＝________
f(x)＝ax(a＞0且a≠1) f′(x)＝________
f(x)＝ex f′(x)＝________
f(x)＝logax(a＞0且a≠1) f′(x)＝________
f(x)＝ln x f′(x)＝________
[答案自填] 0 αxα－1 cos x －sin x
ax ln a ex
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 求下列函数的导数：
(1)y＝x0；(2)y＝；(3)y＝log3x；(4)y＝2cos2－1.
【解】 (1)因为y＝x0＝1，所以y′＝0.
(2)因为y＝＝x eq \s\up6(－)，所以y′＝－x eq \s\up6(－).
(3)y′＝.
(4)因为y＝2cos 2－1＝cos x，所以y′＝－sin x．
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
用公式求导函数的方法
(1)若所求函数符合求导公式，则直接利用公式求解．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的求导公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导．
[跟踪训练2] 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝π； (2)f(x)＝； (3)y＝2x; (4)y＝cos .
解：(1)f′(x)＝(π)′＝0.
(2)f′(x)＝(x)′＝x.
(3)y′＝2xln 2.
(4)因为y＝cos ＝sin x，所以y′＝cos x．
三 利用导数公式求曲线的切线
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例4)已知曲线y＝ln x，求曲线在点P(e，1)处的切线方程．
【解】 经验证点P(e，1)在曲线上，又因为y′＝，
所以当x＝e时，斜率k＝，
所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
【变式探究】
(条件变式)本例中的“求曲线在点P(e，1)处的切线方程”改为“求曲线过点O(0，0)的切线方程”．
解：因为O(0，0)不在曲线y＝ln x上．
所以设切点为Q(x0，y0)，则切线的斜率k＝.
又切线的斜率k＝＝，
所以＝，即x0＝e，
所以Q(e，1)，所以k＝，
所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况：
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤：
INCLUDEPICTURE "WW8+.TIF" INCLUDEPICTURE "WW8+.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练3] (1)曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为( )
A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16
C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16
解析：选A．因为y′＝3x2，当x＝2时，y′＝12，
故切线的斜率为12，
则切线方程为y＝12x－16.故选A．
(2)若直线y＝kx是y＝ex的一条切线，则k＝________．
解析：设切点为(m，n)，且y′＝ex，
由题意可得解得
答案：e
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P81T3改编)已知f(x)＝，则f′(8)＝( )
A．0 B．2
C． D．－1
解析：选C．由f(x)＝，得f′(x)＝x eq \s\up6(－)，
所以f′(8)＝×8 eq \s\up6(－)＝.故选C．
2．(多选)下列选项正确的是( )
A．y＝f(x)＝ln 2，则y′＝ B．y＝f(x)＝，则f′(3)＝－
C．y＝f(x)＝10x，则y′＝10xln 10 D．y＝f(x)＝log2x，则y′＝
解析：选BCD．对于A，y′＝0，故A错误；对于B，因为y′＝－，所以f′(3)＝－，故B正确；显然C，D正确．故选BCD．
3．(教材P81T2改编)已知函数f(x)＝sin x，曲线y＝f(x)在点(π，0)处的切线方程是________．
解析：f′(x)＝cos x，f(π)＝0，f′(π)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点(π，0)处的切线方程是y－0＝－(x－π)，即y＝－x＋π.
答案：y＝－x＋π
4．求下列函数的导数：
(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝lg x；(4) y＝1－2sin 2.
解：(1)y′＝x ln ＝－x ln 2，
即y′＝－x ln 2.
(2)因为y＝x，所以y′＝x＝，即y′＝.
(3)y′＝.
(4)因为y＝1－2sin 2＝cos x，所以y′＝－sin x．
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：几个常用幂函数的导数、基本初等函数的导数公式及其简单应用．
2．须贯通：(1)熟记基本初等函数的求导公式；
(2)利用导数公式研究切线问题，常利用方程思想．
3．应注意：导数公式记忆错误，因公式变形不够彻底导致求导错误．