6.1.3　课后达标检测（教师版）

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1．若f(x)＝2π，则f′(x)＝ (　　)
A．π2π－1 B．2πln π
C．1 D．0
解析：选D．由f(x)＝2π，所以函数f(x)是常函数，所以f′(x)＝0.故选D．
2．函数y＝ (x>0)的导数为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．y＝x，则y′＝x eq \s\up6(－)＝.故选B．
3．已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f′(1)＝1，则a＝(　　)
A．e B．
C． D．
解析：选A．f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
则f′(x)＝，
所以f′(1)＝＝1，所以a＝e.故选A．
4．已知函数f(x)＝cos x，则曲线y＝f(x)在x＝处的切线的倾斜角为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．f′(x)＝－sin x，则f′＝－sin ＝－1，则切线斜率为－1，因为倾斜角范围是[0，π)，则倾斜角为.故选B．
5．已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)x2m－1在(0，＋∞)上单调递减，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为(　　)
A．3x－y－2＝0 B．x－y－2＝0
C．3x＋y－4＝0 D．x＋y－2＝0
解析：选C．由于f(x)为幂函数，则m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，又f(x)在(0，＋∞)上单调递减，得2m－1<0，即m<，故m＝－1，则f(x)＝x－3，可得f(1)＝1，f′(x)＝－3x－4，则f′(1)＝－3，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.故选C．
6．(多选)下列函数中，其图象在某点处的切线与直线y＝x＋b平行的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x4
C．f(x)＝cos x D．f(x)＝ln x
解析：选BCD．对于A，由f(x)＝，
可得f′(x)＝－<0，f′(x)＝无解，所以A不符合题意；
对于B，由f(x)＝x4，可得f′(x)＝4x3，f′(x)＝有解，所以B符合题意；
对于C，由f(x)＝cos x，可得f′(x)＝－sin x，
f′(x)＝有解，所以C符合题意；
对于D，由f(x)＝ln x，可得f′(x)＝，f′(x)＝有解，所以D符合题意．
故选BCD．
7．在曲线C：y＝x3的切线中，斜率最小的切线的方程为________________．
解析：因为y＝x3，所以y′＝3x2≥0，
所以当x＝0时，斜率最小为0，切点为(0，0)，
此时切线方程为y＝0.
答案：y＝0
8．曲线y＝f(x)＝ex的倾斜角为的切线的切点坐标为________．
解析：由已知得f′(x)＝ex，
切线的斜率k＝tan ＝.
设切点坐标为(x0，y0)，则ex0＝，
所以x0＝－ln 3.
又y0＝f(x0)＝ex0＝，
所以切点坐标为(－ln 3，).
答案：(－ln 3，)
9．设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·x4·…·x2 024＝________．
解析：因为f′(x)＝(n＋1)xn，所以f′(1)＝n＋1，
所以f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0得，xn＝－＋1＝，
所以x1·x2·x3·x4·…·x2 024＝××××…×＝.
答案：
10．求下列函数的导数．
(1)y＝cos ；
(2)y＝2 024x；
(3)y＝－2sin ；
(4)y＝log2x2－log2x.
解：(1)因为y＝cos＝，所以y′＝0.
(2)y′＝(2 024x)′＝2 024xln 2 024.
(3)因为y＝－2sin
＝2sin(2cos2－1)＝2sincos ＝sin x，
所以y′＝(sin x)′＝cos x.
(4)因为y＝log2x2－log2x＝log2x，
所以y′＝(log2x)′＝.
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11．已知直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为(　　)
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2
解析：选C．因为y＝ln x的导数为y′＝，
所以令＝，得x＝2，所以切点为(2，ln 2).
代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.故选C．
12．(多选)若直线l为曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线，则直线l的斜率为(　　)
A．0 B．2
C． D．
解析：选AD．曲线C1：y＝x2，则y′＝2x，曲线C2：y＝x3，则y′＝3x2，设直线l与曲线C1的切点坐标为(a，a2)，则切线方程为y＝2ax－a2，设直线l与曲线C2的切点坐标为(m，m3)，则切线方程为y＝3m2x－2m3，所以2a＝3m2，a2＝2m3，所以m＝0或m＝，所以直线l的斜率为0或.故选AD．
13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 024(x)＝________．
解析：由已知得，f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 024(x)＝f4(x)＝f0(x)＝sin x.
答案：sin x
14．设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S(t).
(1)求切线l的方程；
(2)求S(t)的解析式．
解：(1)因为y＝e－x(x≥0)，所以y＝()x(x≥0)，则y′＝()x ln ＝－e－x，可得在点M(t，e－t)处的切线斜率k＝－e－t，则切线方程为y－e－t＝－e－t(x－t)，即x＋ety－(t＋1)＝0.
(2)令y＝0，则x＝t＋1，令x＝0，则y＝e－t(t＋1)，所以S(t)＝(t＋1)·e－t(t＋1)＝(t＋1)2e－t，t≥0.
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF"
15．已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则当P的坐标为________时，PQ最小，此时最小值为________．
解析：如图，当直线l与曲线y＝ln x相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为PQ的最小值．
INCLUDEPICTURE "WW9.TIF"
易知(ln x)′＝，令＝1，得x＝1，
故此时点P的坐标为(1，0)，
所以PQ的最小值为＝.
答案：(1，0)　
16．设函数y＝f(x)的定义域是R，它的导数是f′(x).若存在常数m(m∈R)，使得f(x＋m)＝－f′(x)对一切x恒成立，那么称函数y＝f(x)具有性质P(m).
(1)求证：函数y＝ex不具有性质P(m)；
(2)判断函数y＝sin x是否具有性质P(m).若具有性质P(m)，则求出m的取值集合；若不具有，请说明理由．
解：(1)证明：假设y＝ex具有性质P(m)，
即ex＋m＝－(ex)′对一切x恒成立．
化简ex＋m＝－ex得到em＝－1，显然不存在实数m使得em＝－1成立，所以假设错误，
因此函数y＝ex不具有性质P(m).
(2)假设y＝sin x具有性质P(m)，
即sin (x＋m)＝－(sin x)′对一切x恒成立，
即sin (x＋m)＝－cos x对一切x恒成立，
则sin x cos m＋(sin m＋1)cos x＝0对一切x恒成立，由所以当m＝2kπ－，k∈Z时，y＝sin x具有性质P(m)，
所以函数y＝sin x具有性质P(m)，m的取值集合为.