6.1.4　第1课时　导数四则运算法则及应用（教师版）

6．1.4　求导法则及其应用
第1课时　导数四则运算法则及应用
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则．　2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF"
同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只学习幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导公式，我们知道，可以对基本初等函数进行加、减、乘、除等多种形式的组合，组合后的函数，又如何求导，将是我们本节课要学习的内容．
思考1　已知f(x)＝x2，g(x)＝x，由基本初等函数的求导公式写出两函数的导数．
提示：f′(x)＝2x，g′(x)＝1.
思考2　已知f(x)＝x2，g(x)＝x，利用定义求函数y＝f(x)＋g(x)的导数．
提示：Δy＝[f(x＋Δx)＋g(x＋Δx)]－[f(x)＋g(x)]＝2Δx·x＋(Δx)2＋Δx；＝＝2x＋Δx＋1，y′＝ ＝2x＋1.
思考3　由思考1与思考2，可猜想到什么结论？
提示： [f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x).
一　函数和与差的求导法则
一般地，如果f(x)，g(x)都可导，则[f(x)±g(x)]′＝________________．
点拨　推广[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x).
[答案自填] f′(x)±g′(x)
【即时练】
求下列函数的导数．
(1)y＝ln x＋；(2)f(x)＝ex＋ln x＋sin x；(3)f(x)＝x2－2x－；(4)y＝cos x＋x；(5)y＝x2＋＋.
解：(1)y′＝′＝′＋′＝－＝.
(2)f′(x)＝ex＋＋cos x.
(3)f′(x)＝2x－2x ln 2＋.
(4)y′＝(cos x)′＋(x)′＝－sin x＋1.
(5)y′＝′＝2x－＋.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF"
两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用导数的求导公式求导即可．
二　函数积与商的求导法则
1．当f(x)，g(x)都可导时，有[f(x)g(x)]′＝____________________________，特别地，[C·f(x)]′＝________．
2．当f(x)，g(x)都可导，且g(x)≠0时，有′＝________________，特别地，当f(x)＝1时，′＝____________．
点拨　在两个函数的积f(x)g(x)的求导法则中，f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之间为“＋”，而两个函数的商(g(x)≠0)的求导法则中，f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之间为“－”．
[答案自填] f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　Cf′(x)　　－
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" 　求下列函数的导数．
(1)y＝x3ex；(2)y＝(2x2－1)(3x＋1)；
(3)y＝；(4)y＝.
【解】　(1)因为y＝x3ex，则y′＝(x3ex)′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2ex(x＋3).
(2)方法一：y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′
＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3
＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.
方法二：因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，所以y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－1′＝18x2＋4x－3.
(3)y′＝
＝＝.
(4)方法一：y′＝′
＝＝3x2－.
方法二：因为y＝＝x3＋1＋，所以y′＝(x3)′＋1′＋′＝3x2－.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF"
一般情况下，使用积、商的求导法则运算量较大，可考虑先利用代数恒等变形，化简为代数式的加、减形式，再求导．
[跟踪训练1] 求下列函数的导数．
(1)y＝x ln x；(2)y＝；(3)y＝(x－1)(x－2)(x－3)；(4)f(x)＝.
解：(1)y′＝(x ln x)′＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
(2)y′＝′＝
＝.
(3)因为y＝(x－1)(x－2) (x－3)＝x3－6x2＋11x－6，所以y′＝3x2－12x＋11.
(4)f′(x)＝′＝＝.
三　导数的运算法则与求导公式的应用
角度1　导数的运算法则与求导公式的综合运算
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" 　(对接教材例1)求下列函数的导数．
(1)y＝x2＋x ln x；(2)f(x)＝ex ln x＋sin x；(3)y＝；(4)y＝ex tan x.
【解】　(1)y′＝(x2＋x ln x)′＝(x2)′＋(x ln x)′＝2x＋x′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·＝2x＋ln x＋1.
(2)f′(x)＝(ex ln x＋sin x)′＝ex ln x＋＋cos x.
(3)y′＝
＝.
(4)因为y＝ex tan x＝，
可得y′＝
＝
＝＝ex.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF"
利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．
(2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
角度2　含f′(c)函数的求导问题
　(1)已知函数f(x)满足f(x)＝f′()sin x－cos x，则f′()的值为(　　)
A． B．
C．－ D．－
(2)曲线f(x)＝3ln x －x2f′(1)在点(3，m)处的切线方程为______________．
【解析】　(1)由已知可得，f′(x)＝f′()cos x＋sin x，
则f′()＝f′()cos ＋sin ＝f′()＋，所以f′()＝.故选A．
(2)因为f(x)＝3ln x－x2f′(1)，
所以f′(x)＝－2f′(1)x，
所以f′(1)＝3－2f′(1)，解得f′(1)＝1，
所以f(x)＝3ln x－x2，
将点(3，m)代入f(x)＝3ln x－x2得，m＝3ln 3－9，
所以切点为(3，3ln 3－9).
因为f′(x)＝－2x，所以f′(3)＝1－6＝－5，
所以切线斜率为－5，
所以曲线f(x)＝3ln x－x2f′(1)在点(3，m)处的切线方程为y－(3ln 3－9)＝－5(x－3)，
整理得5x＋y－3ln 3－6＝0.
【答案】　(1)A　(2) 5x＋y－3ln 3－6＝0
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF"
含f′(c)函数的求导问题的解题策略
含f′(c)函数在求导时，一定要抓住f′(c)为常数这一特点，也就是说，不管应用和、差、积、商哪一个法则，求导时，一律把f′(c)当常数处理．
角度3　求导法则在导数几何意义中的应用
　(1)若曲线y＝在x＝m处的切线的斜率为3，则该切线在x轴上的截距为　(　　)
A．－ B．2
C．±2 D．±
(2)写出曲线y＝(2x＋1)ex过坐标原点的一条切线的方程________________．
【解析】　(1)因为y＝＝x3(x≠1)，
所以y′＝3x2(x≠1)，
由3m2＝3，得m＝－1或m＝1(舍去).
当m＝－1时，y＝－1,
所以该切线的方程为y－(－1)＝3(x＋1)，整理得y＝3x＋2，令y＝0，得x＝－，
所以该切线在x轴上的截距为－.故选A．
(2)y′＝(2x＋3)ex，设切点为(t，(2t＋1)et)，
故切线方程为y－(2t＋1)et＝(2t＋3)et(x－t)，
由于切线过原点，故0－(2t＋1)et＝(2t＋3)·et·(0－t)，整理得2t2＋t－1＝(t＋1)(2t－1)＝0，解得t＝－1或t＝.当t＝－1时，切线方程为y＋e－1＝e－1(x＋1)，即y＝x.当t＝时，切线方程为y－2e＝4e，即y＝4x.
【答案】　(1)A　(2)y＝4x或y＝x(任写一个即可)
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF"
(1)熟练掌握导数的运算法则和基本初等函数的求导公式．
(2)涉及切点、切点处的导数、切线方程等问题时，会根据题意进行转化，并分清“在点”和“过点”的问题．
[跟踪训练2] (1)已知曲线f(x)＝2x cos x在x＝0处的切线为l，则l的斜率为(　　)
A．ln 2 B．－ln 2
C．1 D．－1
解析：选A．对f(x)＝2x cos x求导得，f′(x)＝(ln 2)×2x·cos x－2x·sin x，由题意得曲线f(x)＝2x cos x在x＝0处的切线l的斜率为kl＝f′(0)＝(ln 2)×20·cos 0－20·sin 0＝ln 2.故选A．
(2)已知f(x)＝f′(2 026)ln x－x2＋x，则f′(2 026)＝(　　)
A．0 B．－2 025
C．－2 026 D．2 025
解析：选C．求导得f′(x)＝－x＋1，
所以f′(2 026)＝－2 026＋1，
即f′(2 026)＝－2 025，解得f′(2 026)＝－2 026.故选C．
(3)曲线y＝－ln x在x＝1处的切线的倾斜角为α，则cos (2α－)＝________．
解析：由y＝－ln x，则y′＝－－，
所以当x＝1时，tan α＝－3，
所以cos (2α－)＝sin 2α＝＝＝＝－.
答案：－
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF"
1．曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为　(　　)
A．y＝5x＋2 B．y＝5x－2
C．y＝－5x－2 D．y＝－5x＋2
解析：选A．因为y′＝＝，
所以所求切线斜率k＝＝5，
所以所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋2.故选A．
2．(多选)(教材P91T2改编)若f(x)＝cosx＋2xf′，则(　　)
A．f′＝－ B．f′＝
C．f′＝1－ D．f′＝1＋
解析：选BC．由f(x)＝cos x＋2xf′可得f′(x)＝－sin x＋2f′，
令x＝，则f′＝－sin ＋2f′，
解得f′＝sin ＝，故B正确，A不正确；
所以f′(x)＝－sin x＋1，令x＝，则f′＝
－sin ＋1＝－＋1，故C正确，D不正确．故选BC．
3．已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′＝0，则a＝________．
解析：函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，求导得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，于是f′(e)＝2ae＋2＝0，所以a＝－.
答案：－
4．(教材P89练习BT2改编)求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝x sin x＋ex ln x－2；(4)y＝.
解：(1)y′＝
＝.
(2)y＝＝－，
可得y′＝＋.
(3)y′＝sin x＋x cos x＋ex ln x＋.
(4)y′＝
＝
＝.
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF"
1．已学习：导数的四则运算法则及其应用．
2．须贯通：对于函数求导运算，一般遵循先化简、再求导的基本原则．
3．应注意：在两个函数的商的导数法则中，分母函数不能为0，否则无意义．