6.1.4　第1课时　课后达标检测（教师版）

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1．下列运算正确的是(　　)
A．(2－cos x)′＝2＋sin x　　 B．(x2sin x)′＝2x sin x
C．()′＝ D．()′＝－
解析：选C．(2－cos x)′＝0－(cos x)′＝sin x，故A不正确；(x2sin x)′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x，故B不正确；()′＝·(ln x)′＝，故C正确；()′＝＝，故D不正确．故选C．
2．已知函数f(x)＝ax4＋bx2＋c，若f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)
A．－1 B．－2
C．2 D．0
解析：选B．由f(x)＝ax4＋bx2＋c，
得f′(x)＝4ax3＋2bx，
故由f′(1)＝2得4a＋2b＝2，
所以f′(－1)＝－4a－2b＝－2.故选B．
3．已知函数f(x)＝－x＋1，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为(　　)
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－1＝0
解析：选C．由f(x)＝－x＋1，
得f′(x)＝－e－x－1，
则f′(0)＝－2，
由f(0)＝2，则切点为(0，2)，故切线方程为
y＝－2x＋2，
即2x＋y－2＝0.故选C．
4．某质点的位移y(单位：m)与时间t(单位：s)满足函数关系式y＝t4＋3t2－t，当t＝t0时，该质点的瞬时加速度大于9 m/s2，则t0的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(，＋∞)
解析：选B．由题意可得，y′＝4t3＋6t－1，
设f(t)＝4t3＋6t－1，则f′(t)＝12t2＋6，
因为当t＝t0时，该质点的瞬时加速度大于9 m/s2，
即f′(t0)＝12t＋6>9，
显然t不是负数，解得t0>，
所以t0的取值范围是(，＋∞).故选B．
5．已知函数f(x)＝(2x－a)ex的图象在点(0，f(0))处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则实数a的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A．因为f′(x)＝(2x＋2－a)ex，
所以函数y＝f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线斜率为f′(0)＝2－a.
又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，
所以(2－a)×(－)＝－1，
即2－a＝2，解得a＝0.故选A．
6．(多选)若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2－3f′(1)x＋m(m∈R)，则(　　)
A．f′(1)＝ B．f′(0)＝－
C．f(0)f(1)
解析：选ABD．因为f(x)＝x2－3f′(1)x＋m(m∈R)，
所以f′(x)＝2x－3f′(1)，
所以f′(1)＝2－3f′(1)，
即f′(1)＝，故A正确；
所以f′(x)＝2x－，f(x)＝x2－x＋m，
所以f′(0)＝－，故B正确；
所以f(0)＝m，f(1)＝1－＋m＝m－，
所以f(0)>f(1)，故C错误，D正确．故选ABD．
7．曲线f(x)＝ 在点(0，f(0))处的切线方程为________．
解析：由已知f′(x)＝＝，
所以f′(0)＝2，又f(0)＝－1，
所以曲线f(x)＝ 在点(0，f(0))处的切线方程为y＋1＝2x，即2x－y－1＝0.
答案：2x－y－1＝0
8．设函数f(x)＝x(2x＋1)(3x＋2)(4x＋3)，则f′(0)的值为____________．
解析：方法一：因为f(x)＝x(2x＋1)(3x＋2)(4x＋3)＝(2x2＋x)(12x2＋17x＋6)
＝24x4＋46x3＋29x2＋6x，
所以f′(x)＝96x3＋138x2＋58x＋6，则f′(0)＝6.
方法二：设g(x)＝(2x＋1)(3x＋2)(4x＋3)，
则f(x)＝xg(x)，
所以f′(x)＝g(x)＋xg′(x)，
即f′(0)＝g(0)＋0×g′(0)，
故f′(0)＝6.
答案：6
9．已知函数y＝f(x)＝ax3＋bx2的图象在(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0，则a－b＝____________．
解析：将(1，f(1))代入3x－y－2＝0得f(1)＝1，即a＋b＝1，f′(x)＝3ax2＋2bx，k＝f′(1)＝3，即3a＋2b＝3，则a＝1，b＝0，所以a－b＝1.
答案：1
10．求下列各函数的导数．
(1)y＝(＋1)(－1)；
(2)y＝x－sin cos ；
(3)y＝.
解：(1)y＝(＋1)(－1)＝－＝x eq \s\up6(－)－x，
所以y′＝－x eq \s\up6(－)－x eq \s\up6(－)＝－x eq \s\up6(－) (x－1＋1).
(2)y＝x－sin cos ＝x－sin x，
所以y′＝1－cos x.
(3)y＝，所以y′＝.
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11．若点P是曲线y＝ln x－x2上任意一点，则点P到直线l：x＋y－6＝0的距离的最小值为(　　)
A．2 B．3
C． D．
解析：选B．由y＝ln x－x2，
可得y′＝－2x，x>0，
令－2x＝－1，可得(x－1)(2x＋1)＝0，
因为x>0，可得x＝1，则y＝－1，
即平行于直线l：x＋y－6＝0且与曲线y＝ln x－x2相切的切点坐标为P(1，－1)，
由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离的最小值为d＝＝3.故选B．
12．(多选)已知函数f(x)＝x3－3x2＋1的图象在点(m，f(m))处的切线为lm，则(　　)
A．lm的斜率的最小值为－3 B．l2的斜率为0
C．l0的方程为y＝0 D．l－1的方程为y＝9x＋6
解析：选ABD．因为f′(x)＝3x2－6x＝3(x－1)2－3≥－3，所以lm的斜率的最小值为－3，A正确；
因为f′(2)＝0，所以k＝0，所以l2的斜率为0，B正确；
因为f′(0)＝0，f(0)＝1，所以l0的方程为y＝1，C错误；
因为f′(－1)＝9，f(－1)＝－3，所以l－1的方程为y＋3＝9(x＋1)，即y＝9x＋6，D正确．故选ABD．
13．已知曲线y＝xex，过点(3，0)作该曲线的两条切线，切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝________．
解析：设切点为(x0，x0ex0)，由y＝f(x)＝xex，
得f′(x)＝ex(x＋1)，
则切线的斜率k＝f′(x0)＝ex0(x0＋1)，
所以切线方程为y－x0ex0＝ex0(x0＋1)(x－x0)，
又切线过点(3，0)，
所以－x0ex0＝ex0(x0＋1)(3－x0)，
整理得x－3x0－3＝0，
而x1，x2是此方程的两个实根，
所以x1＋x2＝3.
答案：3
14．已知函数f(x)＝x2＋x与函数g(x)＝ln x＋2x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程；
(2)求曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在公共点处的公切线方程．
解：(1)因为f(x)＝x2＋x，
所以f′(x)＝2x＋1，f′(0)＝1.
所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.
(2)设曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的公切点为P(x0，y0)，
因为f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln x＋2x，
所以f′(x)＝2x＋1，g′(x)＝＋2，x>0，
令f′(x0)＝g′(x0)，
即2x0＋1＝＋2，
所以x0＝1或x0＝－(舍去)，
所以P(1，2)，f′(1)＝3，
所以所求公切线方程为y－2＝3(x－1)，
即3x－y－1＝0.
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15．已知函数f(x)＝ln x＋x的零点为x0，过原点作曲线y＝f(x)的切线l，切点为P(m，n)，则mx0ex0＝(　　)
A． B．e
C． D．e2
解析：选B．由题意知，f′(x)＝＋1，切点为P(m，ln m＋m)，
则切线方程为y＝(x－m)＋ln m＋m，
因为切线l过原点，所以0＝(－m)＋ln m＋m，
解得m＝e，则P(e，e＋1)，
由ln x0＋x0＝0，可得x0＝－ln x0，
故mx0e＝ex0·e＝ex0·＝e.故选B．
16．已知函数f(x)＝(1－x)ex.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
(2)过点A(a，0)作曲线y＝(1－x)ex的切线，若切线有且仅有1条，求实数a的值．
解：(1)f′(x)＝(1－x)ex－ex＝－xex，
则f′(1)＝－e，f(1)＝0，
故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－e(x－1)，分别令x＝0，y＝0，
得y＝e，x＝1，则切线与两坐标轴交点为(1，0)，(0，e)，
则所围成的三角形面积为×1×e＝.
(2)设切点为(x0，(1－x0)ex0)，
由已知得y′＝－xex，则切线斜率k＝－x0ex0，
切线方程为y－(1－x0)ex0＝－x0ex0(x－x0).
直线过点A(a，0)，则－(1－x0)ex0＝－x0ex0(a－x0)，化简得x－(a＋1)x0＋1＝0，
切线有且仅有1条，即Δ＝(a＋1)2－4＝0，
即(a＋3)(a－1)＝0，解得a＝－3或a＝1.