6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法则（教师版）
文档属性
| 名称 | 6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法则（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 287.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
第2课时 简单复合函数的求导法则
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数．
思考1 函数y＝ln (2x－1)是对数函数吗？
提示：不是．
思考2 函数y＝ln (2x－1)与y＝ln x及y＝2x－1是何关系？
提示：y＝ln (2x－1)中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x 中x的位置，若f(x)＝ln x，则f(2x－1)＝ln (2x－1).
一 复合函数的概念
一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定 x 的任意一个值，就能确定 u 的值，如果此时还能确定 y 的值，则 y 可以看成 ________，此时称 f(g(x))有意义，且称 y＝h(x)＝________为函数 f(u)与 g(x)的复合函数，其中 u 称为____________．
[答案自填] x 的函数 f(g(x)) 中间变量
【即时练】
1．(多选)下列函数是复合函数的是( )
A．y＝x ln x B．y＝(3x＋6)2
C．y＝ecos x D．y＝sin
解析：选BCD．A不是复合函数；B，C，D都是复合函数．
2．指出下列函数的复合关系．
(1)y＝(a＋bx)5；
(2)y＝ln ；
(3)y＝3log2(x2－2x＋3)；
(4)y＝sin3(x＋).
解：(1)对于y＝(a＋bx)5，可分解为y＝u5，
u＝a＋bx.
(2)对于y＝ln ，可分解为y＝ln u，u＝υ，
υ＝ex＋2.
(3)对于y＝3log2(x2－2x＋3)，
可分解为y＝3log2u，u＝x2－2x＋3.
(4)对于y＝sin3(x＋)，
可分解为y＝u3，u＝sinυ，υ＝x＋.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
划分复合函数中的外层函数与内层函数注意事项
(1)内外两层或多层函数都应是基本初等函数．
(2)复合函数是通过中间变量把内外两层函数“复合”而成的，而非加、减、乘、除的关系．
(3)内层函数的值域全部或部分应包含在外层函数的定义域内．
二 复合函数的求导法则
一般地，如果函数 y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝_______________，也可表示为y′x＝______________．
点拨 (1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；
(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层函数不变的原则；
(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．
[答案自填] f′(g(x))g′(x) y′uu′x
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例3)求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝esin x；
(3)y＝cos (2x＋)；
(4)y＝5log2(2x＋1).
【解】 (1)设u＝1－2x2，则y＝＝u，
所以y′x＝y′u·u′x＝(u)′·(1－2x2)′＝u eq \s\up6(－)·(－4x)＝(1－2x2) eq \s\up6(－)·(－4x)＝.
(2)设u＝sin x，则y＝eu，
所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(sin x)′＝eu·cos x＝esin xcos x.
(3)设u＝2x＋，则y＝cos u，
所以y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(2x＋)′＝－sin u·2
＝－2sin (2x＋).
(4)设u＝2x＋1，则y＝5log2u，
所以y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(2x＋1)′＝5××2＝.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
求复合函数的导数的步骤
INCLUDEPICTURE "B12.TIF" INCLUDEPICTURE "B12.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练1] 求下列函数的导数．
(1)y＝cos (1＋x2)；
(2)y＝ln (2x2＋x)；
(3)y＝e－2x＋1.
解：(1)设u＝1＋x2，则y＝cos u，
所以y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(1＋x2)′＝－sin u·2x＝－2x sin (1＋x2).
(2)设u＝2x2＋x，则y＝ln u，所以y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(2x2＋x)′＝·(4x＋1)＝.
(3)设u＝－2x＋1，则y＝eu，所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－2x＋1)′＝－2eu＝－2e－2x＋1.
三 复合函数导数的应用
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A． B．2
C．3 D．0
(2)若曲线f(x)＝(a≠0)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则a＝________．
【解析】 (1)设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．因为y′＝，所以当x＝x0时，＝2，解得x0＝1，
所以y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1，0).
所以切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.故选A．
(2)由f(x)＝，可得f′(x)＝＝，因为f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，可得f′(0)＝＝0，解得a＝.
【答案】 (1)A (2)
【变式探究】
(综合变式)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最短距离为2”，求实数m的值．
解：由题意可知，设切点P(x0，y0)，
则当x＝x0时，＝2，
所以x0＝1，即切点P(1，0)，
所以＝2，解得m＝8或m＝－12.当m＝－12时，直线2x－y－12＝0与曲线y＝ln (2x－1)有交点，
则曲线上的点到直线2x－y＋m＝0的最短距离为0，故m＝－12舍去．经检验实数m的值为8.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数．解决与切线有关的问题的前提是正确求出复合函数的导数，其次关注已知点是否为切点．若切点没有给出，一般是先把切点坐标设出来，并求出切点的坐标，从而求出切线方程．
[跟踪训练2] (1)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选C． 直线x＋2y＋1＝0的斜率为k＝－，由题设知，y＝e2ax在(0，1)处的切线的斜率为2，
又y′＝2a·e2ax，所以当x＝0时，2a＝2，可得a＝1.故选C．
(2)已知函数f(x)＝－x2＋3xf′(1)＋6ln (2x＋1)，则f(1)＝________．
解析：f′(x)＝－2x＋3f′(1)＋，
则f′(1)＝－2＋3f′(1)＋4，得f′(1)＝－1，
所以f(x)＝－x2－3x＋6ln (2x＋1)，
故f(1)＝6ln 3－4.
答案： 6ln 3－4
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P89练习BT4改编)设f(x)＝e2x－x，则f(x)在x＝0处的导数f′(0)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．e
解析：选C．由已知可得，f′(x)＝e2x·(2x)′－x′＝2e2x－1，所以f′(0)＝1.故选C．
2．(多选)已知f(x)＝sin4x＋cos4x，则下列结论中正确的是( )
A．f′(x)＝sin4x B．f′(x)＝－sin 4x
C．f′()＝ D．f′()＝－
解析：选BD．因为f(x)＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x cos2x＝1－sin22x＝cos4x＋，所以f′(x)＝－sin 4x·(4x)′＝－sin 4x，故A错误，B正确；f′()＝－sin ＝－，故C错误，D正确．故选BD．
3．设函数f(x)＝(a≠0)，若f′(0)＝1，则a＝________．
解析：由题意可知f′(x)＝，且f′(0)＝1，则＝1，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
答案：1
4．(教材P90习题6－1BT4改编)已知函数f(x)＝(3x＋1)2ln (3x).
(1)求f(x)的导数；
(2)求f(x)的图象在(，0)处的切线方程．
解：(1)因为f(x)＝(3x＋1)2ln (3x)，所以f′(x)＝2(3x＋1)×3ln (3x)＋(3x＋1)2＝6(3x＋1)·ln (3x)＋.
(2)由f′(x)＝6(3x＋1)ln (3x)＋，
得f′()＝6(3×＋1)ln (3×)＋＝12，所以f(x)的图象在(，0)处的切线方程为y＝12(x－)，即y＝12x－4.
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：复合函数的概念、复合函数的求导法则．
2．须贯通：对复合函数求导，熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，可直接运用公式，由外及内逐层求导．
3．应注意：(1)求复合函数的导数时应把握结构特征正确分解函数；(2)求导时要分清是对哪个变量求导．
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导．
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INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数．
思考1 函数y＝ln (2x－1)是对数函数吗？
提示：不是．
思考2 函数y＝ln (2x－1)与y＝ln x及y＝2x－1是何关系？
提示：y＝ln (2x－1)中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x 中x的位置，若f(x)＝ln x，则f(2x－1)＝ln (2x－1).
一 复合函数的概念
一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定 x 的任意一个值，就能确定 u 的值，如果此时还能确定 y 的值，则 y 可以看成 ________，此时称 f(g(x))有意义，且称 y＝h(x)＝________为函数 f(u)与 g(x)的复合函数，其中 u 称为____________．
[答案自填] x 的函数 f(g(x)) 中间变量
【即时练】
1．(多选)下列函数是复合函数的是( )
A．y＝x ln x B．y＝(3x＋6)2
C．y＝ecos x D．y＝sin
解析：选BCD．A不是复合函数；B，C，D都是复合函数．
2．指出下列函数的复合关系．
(1)y＝(a＋bx)5；
(2)y＝ln ；
(3)y＝3log2(x2－2x＋3)；
(4)y＝sin3(x＋).
解：(1)对于y＝(a＋bx)5，可分解为y＝u5，
u＝a＋bx.
(2)对于y＝ln ，可分解为y＝ln u，u＝υ，
υ＝ex＋2.
(3)对于y＝3log2(x2－2x＋3)，
可分解为y＝3log2u，u＝x2－2x＋3.
(4)对于y＝sin3(x＋)，
可分解为y＝u3，u＝sinυ，υ＝x＋.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
划分复合函数中的外层函数与内层函数注意事项
(1)内外两层或多层函数都应是基本初等函数．
(2)复合函数是通过中间变量把内外两层函数“复合”而成的，而非加、减、乘、除的关系．
(3)内层函数的值域全部或部分应包含在外层函数的定义域内．
二 复合函数的求导法则
一般地，如果函数 y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝_______________，也可表示为y′x＝______________．
点拨 (1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；
(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层函数不变的原则；
(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．
[答案自填] f′(g(x))g′(x) y′uu′x
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例3)求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝esin x；
(3)y＝cos (2x＋)；
(4)y＝5log2(2x＋1).
【解】 (1)设u＝1－2x2，则y＝＝u，
所以y′x＝y′u·u′x＝(u)′·(1－2x2)′＝u eq \s\up6(－)·(－4x)＝(1－2x2) eq \s\up6(－)·(－4x)＝.
(2)设u＝sin x，则y＝eu，
所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(sin x)′＝eu·cos x＝esin xcos x.
(3)设u＝2x＋，则y＝cos u，
所以y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(2x＋)′＝－sin u·2
＝－2sin (2x＋).
(4)设u＝2x＋1，则y＝5log2u，
所以y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(2x＋1)′＝5××2＝.
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求复合函数的导数的步骤
INCLUDEPICTURE "B12.TIF" INCLUDEPICTURE "B12.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练1] 求下列函数的导数．
(1)y＝cos (1＋x2)；
(2)y＝ln (2x2＋x)；
(3)y＝e－2x＋1.
解：(1)设u＝1＋x2，则y＝cos u，
所以y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(1＋x2)′＝－sin u·2x＝－2x sin (1＋x2).
(2)设u＝2x2＋x，则y＝ln u，所以y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(2x2＋x)′＝·(4x＋1)＝.
(3)设u＝－2x＋1，则y＝eu，所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－2x＋1)′＝－2eu＝－2e－2x＋1.
三 复合函数导数的应用
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A． B．2
C．3 D．0
(2)若曲线f(x)＝(a≠0)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则a＝________．
【解析】 (1)设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．因为y′＝，所以当x＝x0时，＝2，解得x0＝1，
所以y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1，0).
所以切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.故选A．
(2)由f(x)＝，可得f′(x)＝＝，因为f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，可得f′(0)＝＝0，解得a＝.
【答案】 (1)A (2)
【变式探究】
(综合变式)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最短距离为2”，求实数m的值．
解：由题意可知，设切点P(x0，y0)，
则当x＝x0时，＝2，
所以x0＝1，即切点P(1，0)，
所以＝2，解得m＝8或m＝－12.当m＝－12时，直线2x－y－12＝0与曲线y＝ln (2x－1)有交点，
则曲线上的点到直线2x－y＋m＝0的最短距离为0，故m＝－12舍去．经检验实数m的值为8.
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数．解决与切线有关的问题的前提是正确求出复合函数的导数，其次关注已知点是否为切点．若切点没有给出，一般是先把切点坐标设出来，并求出切点的坐标，从而求出切线方程．
[跟踪训练2] (1)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选C． 直线x＋2y＋1＝0的斜率为k＝－，由题设知，y＝e2ax在(0，1)处的切线的斜率为2，
又y′＝2a·e2ax，所以当x＝0时，2a＝2，可得a＝1.故选C．
(2)已知函数f(x)＝－x2＋3xf′(1)＋6ln (2x＋1)，则f(1)＝________．
解析：f′(x)＝－2x＋3f′(1)＋，
则f′(1)＝－2＋3f′(1)＋4，得f′(1)＝－1，
所以f(x)＝－x2－3x＋6ln (2x＋1)，
故f(1)＝6ln 3－4.
答案： 6ln 3－4
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P89练习BT4改编)设f(x)＝e2x－x，则f(x)在x＝0处的导数f′(0)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．e
解析：选C．由已知可得，f′(x)＝e2x·(2x)′－x′＝2e2x－1，所以f′(0)＝1.故选C．
2．(多选)已知f(x)＝sin4x＋cos4x，则下列结论中正确的是( )
A．f′(x)＝sin4x B．f′(x)＝－sin 4x
C．f′()＝ D．f′()＝－
解析：选BD．因为f(x)＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x cos2x＝1－sin22x＝cos4x＋，所以f′(x)＝－sin 4x·(4x)′＝－sin 4x，故A错误，B正确；f′()＝－sin ＝－，故C错误，D正确．故选BD．
3．设函数f(x)＝(a≠0)，若f′(0)＝1，则a＝________．
解析：由题意可知f′(x)＝，且f′(0)＝1，则＝1，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
答案：1
4．(教材P90习题6－1BT4改编)已知函数f(x)＝(3x＋1)2ln (3x).
(1)求f(x)的导数；
(2)求f(x)的图象在(，0)处的切线方程．
解：(1)因为f(x)＝(3x＋1)2ln (3x)，所以f′(x)＝2(3x＋1)×3ln (3x)＋(3x＋1)2＝6(3x＋1)·ln (3x)＋.
(2)由f′(x)＝6(3x＋1)ln (3x)＋，
得f′()＝6(3×＋1)ln (3×)＋＝12，所以f(x)的图象在(，0)处的切线方程为y＝12(x－)，即y＝12x－4.
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：复合函数的概念、复合函数的求导法则．
2．须贯通：对复合函数求导，熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，可直接运用公式，由外及内逐层求导．
3．应注意：(1)求复合函数的导数时应把握结构特征正确分解函数；(2)求导时要分清是对哪个变量求导．