6.1.4　第2课时　课后达标检测（教师版）

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1．已知函数f(x)＝cos 2x，则f(x)的导数f′(x)＝　(　　)
A．sin 2x B．2sin 2x
C．－sin 2x D．－2sin 2x
解析：选D．f′(x)＝(cos 2x)′＝－sin 2x·(2x)′＝－2sin 2x.故选D．
2．函数f(x)＝ln (2x)－的图象在点(，f())处的切线方程为(　　)
A．y＝6x－5 B．y＝8x－6
C．y＝4x－4 D．y＝10x－7
解析：选A．因为f(x)＝ln (2x)－，
所以f′(x)＝＋，
所以f()＝ln 1－2＝－2，f′()＝6，
则所求切线方程为y－(－2)＝6(x－)，
即y＝6x－5.故选A．
3．已知函数f(x)＝xex－a，曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝　(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
解析：选B．由题得f′(x)＝(x＋1)ex－a，所以f′(a)＝a＋1＝3，解得a＝2，所以f(x)＝xex－2，可得f(2)＝2×e2－2＝2，所以切点为(2，2)，将(2，2)的坐标代入切线方程得b＝－4，所以a＋b＝－2.故选B．
4．某研究所发现湿地中某种生物种群数量的增长规律可以用逻辑斯谛模型N(t)＝刻画，其中r是该种群的内禀增长率，若r＝0.08，则t＝0时，N(t)的瞬时变化率为(　　)
A．0.02 B．0.03
C．0.04 D．0.06
解析：选C． 当r＝0.08时，N(t)＝，
则N′(t)＝，
则t＝0时，N(t)的瞬时变化率为N′(0)＝＝0.04.故选C．
5．已知曲线y＝x＋k ln (1＋x)在x＝1处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则实数k的值为(　　)
A．4 B．2
C．－3 D．－6
解析：选B．因为y′＝1＋，
可得当x＝1时，y′＝1＋，即曲线y＝x＋k ln (1＋x)在x＝1处的切线斜率为1＋，
且直线x＋2y＝0的斜率为－，
则－(1＋)＝－1，解得k＝2.故选B．
6．(多选)已知曲线y＝e2xcos 3x在点(0，1)处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为(　　)
A．y＝2x＋6 B．y＝2x－4
C．y＝3x＋1 D．y＝3x－4
解析：选AB．y′＝2e2xcos 3x＋e2x(－3sin 3x)＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，当x＝0时，y′＝2,
所以曲线y＝e2xcos 3x在点(0，1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0，
设直线l：2x－y＋t＝0(t≠1)，
依题意得＝，解得t＝6或t＝－4，
所以直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.故选AB．
7．函数y＝是由________________两个函数复合而成的．
解析：函数y＝是由y＝和u＝sin x两个函数复合而成的．
答案：y＝和u＝sin x
8．已知函数f(x)满足f(x)＝f′(0)·e2x－1＋(e－2)x，则f(1)＝________．
解析：由f(x)＝f′(0)·e2x－1＋(e－2)x，
得f′(x)＝2f′(0)·e2x－1＋e－2，
令x＝0，则f′(0)＝2f′(0)·e－1＋e－2，
解得f′(0)＝e，
所以f(x)＝e2x＋(e－2)x，所以f(1)＝e2＋e－2.
答案：e2＋e－2
9．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln (3x－m)相切，则实数m＝________．
解析：设切点坐标为(x0，ln (3x0－m))，
由y＝ln (3x－m)，
得y′＝，
所以即
解得m＝ln .
答案：ln
10．求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝x sin (2x＋)cos (2x＋).
解：(1)y′＝′
＝
＝
＝
＝.
(2)因为y＝x sin (2x＋)cos (2x＋)
＝x sin (4x＋π)＝－x sin 4x，
所以y′＝(－x)′sin 4x＋(－x)(sin 4x)′
＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2x cos 4x.
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11．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标，其定义为：若f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f′(x)的导函数，则曲线y＝f(x)在点(x，f(x))处的曲率K＝.已知f(x)＝2cos (x－1)，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的曲率为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B．f′(x)＝－2sin (x－1)，
f″(x)＝－2cos (x－1)，
故f′(1)＝－2sin 0＝0，f″(1)＝－2cos 0＝－2，
则K＝＝＝2.故选B．
12．(多选)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选CD．因为y＝，
所以y′＝＝＝.
因为ex>0，所以ex＋≥2，当且仅当x＝0时取等号，
所以y′∈[－1，0)，所以tan α∈[－1，0).
又因为α∈[0，π)，所以α∈.
故选CD．
13．若曲线y＝ln 的一条切线为y＝ex＋b，其中a，b为正实数，则a＋的取值范围是________．
解析：设切点为，由y＝ln ，
所以y′＝，且过切点的直线为y＝ex＋b，
所以
整理得b＝ae－2，因为b>0，
所以a>，
所以a＋＝a＋＝a＋≥2＝2，
当且仅当a＝，即a＝1时取等号，
故所求取值范围为[2，＋∞).
答案：[2，＋∞)
14．已知函数f(x)＝sin2x＋sin2x.
(1)求f′(x)；
(2)求曲线y＝f(x)在点(，f())处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
解：(1)f′(x)＝2sin x cos x＋2cos 2x＝sin 2x＋2cos 2x.
(2)由(1)知f′()＝1，f()＝，
得切线方程为y＝x－＋，
当x＝0时，y＝－，当y＝0时，x＝－，
所以所围成的三角形的面积S＝＝.
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15．记f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数．若存在x0∈R，满足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”．若函数f(x)＝ax2－1与g(x)＝ln (ax)存在“S点”，则a＝ (　　)
A．e B．2e
C． D．
解析：选D．函数f(x)＝ax2－1，g(x)＝ln (ax)，其中ax>0，则f′(x)＝2ax，g′(x)＝，
设x0为f(x)与g(x)的“S点”，
由
可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax－1＝ln (ax0)，,2ax0＝\f(1,x0)，))
解得故选D．
16．已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，设曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相交，求实数a的取值范围．
解：因为f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，
所以f(1)＝a，所以f′(x)＝2ax－，
所以f′(1)＝2a－2，
所以切线l的方程为y－a＝(2a－2)(x－1)，
即(2a－2)x－y＋2－a＝0，
因为直线l与圆C：x2＋y2＝相交，
所以圆心(0，0)到直线l的距离小于半径，
即d＝<，化简得a>，
所以实数a的取值范围是(，＋∞).