6.2.1　第1课时　课后达标检测（教师版）

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1．函数f(x)＝x＋sin x在R上是(　　)
A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数
C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数
解析：选D．f(x)＝x＋sin x，则f(－x)＝－x－sin x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，f′(x)＝1＋cos x≥0，所以f(x)在R上是增函数．故选D．
2．已知函数y＝f(x)(x∈R)的导函数f′(x) 的图象如图所示，则函数y＝f(x)(　　)
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A．在(－∞，－2)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递减
C．在(－∞，3)上单调递增 D．在(3，＋∞)上单调递减
解析：选D．由题图可知，当x<－2 时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－23 时，f′(x)<0，f(x)单调递减．故选D．
3．函数f(x)＝x3＋x2的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－1)，(0，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
C．(－1，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：选A．由题意得f′(x)＝x2＋x＝x(x＋1)，令f′(x)>0，解得x>0或x<－1，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞).故选A．
4．函数f(x)＝的大致图象为(　　)
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解析：选A．f′(x)＝＝＝－＝－≤0恒成立，所以函数f(x)＝在定义域R上单调递减，且对任意x∈R，都有x2＋1>0，ex>0，所以对任意x∈R，都有f(x)>0，所以结合选项可知A满足．故选A．
5．函数f(x)＝x－2ln (2x)的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，1) B．(0，1)
C．(0，2) D．(2，＋∞)
解析：选C．f(x)＝x－2ln (2x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1－2··2＝1－＝，
由f′(x)<0，可得x∈(0，2)，
故f(x)＝x－2ln (2x)的单调递减区间为(0，2).故选C．
6．(多选)已知函数f(x)＝(x2－5x＋7)ex，则函数f(x)在下列区间上单调递增的有(　　)
A．(－∞，1) B．(1，2)
C．(2，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选AC．因为f(x)的定义域为R，
f′(x)＝(x2－5x＋7＋2x－5)ex＝(x2－3x＋2)ex
＝(x－1)(x－2)ex，
令f′(x)>0，得x<1或x>2，
所以f(x)在区间(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增．故选AC．
7．f(x)＝x＋的单调递减区间是________．
解析：f(x)＝x＋的定义域是
{x|x≠0}，f′(x)＝1－＝，
令f′(x)<0，解得x∈(－，0)∪(0，)，
故f(x)的单调递减区间是(－，0)，(0，).
答案：(－，0)，(0，)
8．已知定义域为[0，e]的函数y＝f(x)，它的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递减区间是________．
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解析：观察题中图象可得当0≤x0，
当b当d0，
所以函数y＝f(x)的单调递减区间是(b，d).
答案：(b，d)
9．已知函数f(x)＝，若f(a＋3)>f(2a)，则实数a的取值范围是__________．
解析：由函数f(x)＝，
可得f′(x)＝>0，
即f(x)为R上的增函数，
故由f(a＋3)>f(2a)可得a＋3>2a，所以a<3，
即实数a的取值范围是(－∞，3).
答案：(－∞，3)
10．求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x2－ln x；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝－x3＋3x2.
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝.
令f′(x)>0，得x>；
令f′(x)<0，得0所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，
单调递减区间为(0，).
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
f′(x)＝，令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得x<2，或2所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)和(2，3).
(3)函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)，令f′(x)>0，得02.
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞).
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11．若双曲正切函数为tanh x＝，则tanh x(　　)
A．是偶函数，且在R上单调递减 B．是偶函数，且在R上单调递增
C．是奇函数，且在R上单调递减 D．是奇函数，且在R上单调递增
解析：选D．令f(x)＝，定义域为R，
因为f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，又因为f′(x)＝＝>0 ，所以f(x)在R上单调递增．故选D．
12．(多选)函数f(x)＝x3－的图象可能是(　　)
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解析：选ABD．由题意可知，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
当m>0时，f′(x)＝3x2＋>0，函数f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故B正确；
当m＝0时，f(x)＝x3，f′(x)＝3x2>0，所以在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故D正确；
当m<0时，当x>0时，f(x)＝x3－>0；
当x<0时，f(x)＝x3－<0，故A正确，C错误．故选ABD．
13．函数f(x)＝sin 2x＋2cos x在(0，π)上的单调递减区间为____________．
解析：由题意知，f′(x)＝2cos 2x－2sin x＝2(1－2sin2x)－2sinx<0.即2sin2x＋sinx－1>0，即(2sin x－1)(sin x＋1)>0，
因为在(0，π)中，sin x>0，所以得sin x>，
所以答案：(，)
14．已知函数f(x)＝ln (ex－1)－ln x，判断f(x)的单调性，并说明理由．
解：函数f(x)在其定义域上单调递增．
由ex－1>0且x>0，得x>0，即f(x)的定义域为(0，＋∞)，
所以f′(x)＝－＝＝，
令g(x)＝(x－1)ex＋1(x>0)，
则g′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex>0，
所以g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)>g(0)＝0，
而(ex－1)x>0在区间(0，＋∞)上恒成立，
所以f′(x)>0在区间(0，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
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15.(多选)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)
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解析：选BD．从导函数的图象可知两个函数在x0处切线斜率相同，可以排除C，再由导函数的函数值反映的是原函数的切线斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数切线斜率应该慢慢变小，排除A，选项B，D中的图象，都符合题意．故选BD．
16．已知函数f(x)＝，其图象在x＝e处的切线过点(2e，2e2).
(1)求a的值；
(2)讨论f(x)的单调性．
解：(1)因为函数f(x)＝，
所以f(e)＝ae2－1，
f′(x)＝，
则f′(e)＝ae＋，
所以函数图象在x＝e处的切线方程为
y－(ae2－1)＝(ae＋)(x－e)，
又因为切线过点(2e，2e2)，
所以2e2－(ae2－1)＝(ae＋)(2e－e)，
即2ae2＝2e2，解得a＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝，则f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝，
令g(x)＝2x2ln x－x2＋1，则g′(x)＝4x ln x，
当01时，g′(x)>0，
所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，画出y＝g(x)的图象(图略)，
易知g(x)>g(1)＝0，
即当00；
当x>1时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0，1)和(1，＋∞)上单调递增．