6.2.2　第1课时　函数的导数与极值（教师版）

6．2.2　导数与函数的极值、最值
第1课时　函数的导数与极值
1.理解函数极值的概念．　2.会从几何方面理解函数极值与导数的关系．　3.掌握函数极值的求法．　4.掌握函数在某一点存在极值的条件．
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同学们，前面我们通过对函数的求导，得到了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点．这就是我们今天要研究的函数的极值．
思考1　如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？
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提示：x1，x3，x5处是山峰，x2，x4处是山谷．
思考2　你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？
提示：以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)>0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)<0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0.
一　函数的导数与极值
1．极值点与极值的概念
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有
(1)________________，则称__________为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值；
(2)________________，则称__________为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值．
极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．
2．函数的导数与极值的关系
(1)一般地，如果x0是y＝f(x)的极值点，且f(x)在x0处可导，则必有f′(x0)＝0.
(2)设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0.
①如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的____________．
②如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的____________．
③如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点．
[答案自填] f(x)＜f(x0)　x0　f(x)＞f(x0)　x0　极大值点　极小值点
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)导数为0的点一定是极值点．(　　)
(2)函数的极大值一定大于极小值．(　　)
(3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(　　)
(4)单调函数不存在极值. (　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．若函数f(x)存在一个极大值f(x1)与一个极小值f(x2)满足f(x2)>f(x1)，则f(x)的单调区间的个数至少为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B． 若f(x)有3个单调区间，总有f(x2)f(x1)，可取f(x)＝x＋，其定义域为{x|x≠0}，由图象(图略)可知，f(x)有4个单调区间．故选B．
3．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则(　　)
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A．函数f(x)在区间(1，3)上单调递减
B．f(1)C．函数f(x)在x＝1处取极大值
D．函数f(x)在区间(－2，5)内有两个极小值点
解析：选BD．由导函数y＝f′(x)的图象可知，函数f(x)在(1，2)上单调递增，在(2，3)上单调递减，故f(1)由导函数的图象可知f(x)在(－1，2)上单调递增，故1不是函数的极大值点，C错误；
由导函数图象可得在区间(－2，5)内有f′(－1)＝f′(2)＝f′(4)＝0，且在(－2，－1)与(2，4)上导函数小于0，在(－1，2)和(4，5)上导函数大于0，
故－1和4为函数的两个极小值点，2为函数的一个极大值点，故在区间(－2，5)内有两个极小值点，D正确．故选BD．
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对于有关函数极值概念的理解，关键是弄清导函数的图象，在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在交点附近的导数值是如何变化的：若是由正值变为负值，则原函数在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则原函数在该点处取得极小值．
二　利用函数的导数求极值
角度1　求不含参数函数的极值
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例2)已知函数f(x)＝＋1，求f(x)的极值．
【解】　函数f(x)＝＋1的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝，
由f′(x)＝0可得，1－ln x＝0，解得x＝e，
当x变化时，f′(x) ，f(x) 的变化情况如下表所示：
x (0，e) e (e，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 ＋1 单调递减
所以当x＝e时，f(x)有极大值，极大值为f(e)＝＋1，无极小值．
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函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
[跟踪训练1] 已知函数f(x)＝x4－8x3＋18x2－1，求函数f(x)的极值．
解：f′(x)＝4x3－24x2＋36x＝4x(x2－6x＋9)＝4x(x－3)2，　
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝3.
当x变化时，f′(x)，f(x) 的变化情况如下表所示：
x (－∞，0) 0 (0，3) 3 (3，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 ＋
f(x) 单调递减 －1 单调递增 26 单调递增
所以当x＝0时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝－1，无极大值．
角度2　讨论含参数函数的极值
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知函数f(x)＝x＋＋1(a∈R)，求此函数的极值．
【解】　易得函数的定义域为{x|x≠0}，
f′(x)＝1－＝，
当a≤0时，显然f′(x)>0，
函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递增，此时函数无极值；
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝±，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－) － (－，0) (0，) (，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋
f(x) 单调递增 －2＋1 单调递减 单调递减 2＋1 单调递增
由上表可知，当x＝－时，函数取得极大值f(－)＝－2＋1，当x＝时，函数取得极小值f()＝2＋1.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝－处取得极大值－2＋1，在x＝处取得极小值2＋1.
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解析式中含参数的函数极值的求法
由于求函数的极值时首先需要确定函数的单调区间，因此解析式中含参数的函数极值的求法是：先根据参数对导函数的零点的影响确定分类讨论的标准(导函数是否存在零点以及导函数存在零点时零点的大小)，然后根据函数的单调区间确定函数的极值．
[跟踪训练2] 已知函数f(x)＝aex－x(a∈R).求f(x)的极值．
解：易得函数f(x)＝aex－x的定义域为R，
f′(x)＝aex－1，
当a≤0时，f′(x)<0在R上恒成立，
f(x)在R上单调递减，故f(x)无极值；
当a>0时，令f′(x)＝aex－1＝0，得x＝ln ＝－ln a，
当x∈(－∞，－ln a)时，
f′(x)<0，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，
当x∈(－ln a，＋∞)时，
f′(x)>0，f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增，
故f(x)在x＝－ln a时取得极小值，
且f(－ln a)＝1＋ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，f(x)无极值；
当a>0时，f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值．
三　利用函数极值确定参数
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值8，则f(1)＝(　　)
A．－4 B．16
C．－4或16 D．16或18
(2)若函数f(x)＝(x2－a)ex在R上无极值点，则实数a的取值范围是________．
【解析】　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
若函数f(x)在x＝－1处有极值8，
则即
解得或
当a＝3，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时x＝－1不是极值点，故舍去，
当a＝－2，b＝－7时，f′(x)＝3x2－4x－7＝(3x－7)(x＋1)，
当x>或x<－1时，f′(x)>0；当－1故a＝－2，b＝－7符合题意，
故f(x)＝x3－2x2－7x＋4，故f(1)＝－4.故选A．
(2)由f(x)＝(x2－a)ex得f′(x)＝(x2＋2x－a)ex，
由于f(x)＝(x2－a)ex在R上无极值点，所以y＝f′(x)在R上无变号零点，
所以y＝x2＋2x－a在R上无变号零点，
所以Δ＝4＋4a≤0，故a≤－1.
【答案】　(1)A　(2)(－∞，－1]
【变式探究】
1．(条件变式)本例(2)“无极值点”变为“有极值点”，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________．
解析：由于f(x)＝(x2－a)ex在R上有极值点，
所以y＝f′(x)＝(x2＋2x－a)ex在R上有变号零点，所以y＝x2＋2x－a在R上有变号零点，
所以Δ＝4＋4a>0，故a>－1.
答案：(－1，＋∞)
2．(条件变式)本例(2)“在R上无极值点”变为“在区间[1，2]上无极值点”，则实数a的取值范围是____________．
解析：由f(x)＝(x2－a)ex得f′(x)＝(x2＋2x－a)ex，
由于f(x)＝(x2－a)ex在区间[1，2]上无极值点，
所以f(x)在[1，2]上单调，
当f(x)单调递增时，故f′(x)≥0，
即f′(x)＝(x2＋2x－a)ex≥0 a≤x2＋2x恒成立，
故a≤(x2＋2x)min，
而y＝x2＋2x在[1，2]上单调递增，故a≤3；
当f(x)单调递减时，故f′(x)≤0，即f′(x)＝(x2＋2x－a)ex≤0 a≥x2＋2x恒成立，故a≥(x2＋2x)max，
而y＝x2＋2x在[1，2]上单调递增，故a≥8.
综上可知，f(x)在区间[1，2]上无极值点，
则实数a的取值范围是a≤3或a≥8.
答案：(－∞，3]∪[8，＋∞)
已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．特别注意，求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
[跟踪训练3] (1)已知函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处有极大值，则m的值为(　　)
A．1　　 B．2
C．3 D．1或3
解析：选C．因为f′(x)＝(x－m)(3x－m)，
所以f′(1)＝(1－m)(3－m)＝0，
解得m＝1或m＝3，
当m＝1时，f′(x)＝(x－1)(3x－1)，
令f′(x)>0，得x<或x>1；令f′(x)<0，得从而f(x)在(－∞，)，(1，＋∞)上单调递增，在(，1)上单调递减，
所以f(x)在x＝1处有极小值，不符合题意，
当m＝3时，经检验，满足题意．综上，m＝3.故选C．
(2)已知函数f (x)＝在其定义域的一个子区间(e，e2)上有极值，则实数a的取值范围是______________．
解析：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为f′(x)＝，令f′(x)＝0 1－ln x－a＝0 x＝e1－a，f′(x)>0 0e1－a，
所以f(x)在(0，e1－a)上单调递增，在(e1－a，＋∞)上单调递减，
所以f(x)的极大值点为e1－a，
极大值f(e1－a)＝＝ea－1，
又因为f(x)在(e，e2)上有极值，所以e所以－1答案：(－1，0)
1．(教材P100T2改编)函数y＝x3－3x2－9x(－2A．极大值5，无极小值 B．极小值－27，无极大值
C．极大值5，极小值－27 D．极大值5，极小值－11
解析：选A．y′＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，x∈(－2，2)，
由y′>0，得－2所以函数y＝x3－3x2－9x(－2所以y＝x3－3x2－9x(－22.(多选)(教材P100练习AT1改编)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下列结论中不正确的有(　　)
A．1是f(x)的极小值点 B．f(－2)>f(－1)
C．函数f(x)在(－1，1)上有极大值 D．函数f(x)有三个极值点
解析：选ACD．由题图可知，当x<－3时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当－3f(－1)，因此选项B正确；当－10，f(x)单调递增，所以f(x)在(－1，1)上没有极大值，因此选项C不正确；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，于是x＝1附近导函数f′(x)不变号，因此1不是f(x)的极值点，只有－3和－1为函数的极值点，因此选项A不正确，选项D不正确．故选ACD．
3．(教材 P101练习BT3改编)若函数f(x)＝x3＋ax2＋6x－3在R上存在极值，则正整数a的最小值为________．
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋6，由函数f(x)在R上存在极值，
则f′(x)＝0有两个不相等的实数根，
得Δ＝4a2－72>0，解得a>3或a<－3，
又a为正整数，所以a的最小值为5.
答案：5
4．已知f(x)＝a ln x＋－3x＋1，f(x)在点(1，f(1))处取得极值．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解：(1)由题意，函数f(x)＝a ln x＋－3x＋1，
可得f′(x)＝－－3，x>0，
因为f(x)在点(1，f(1))处取得极值，
可得f′(1)＝a－1－3＝0，解得a＝4，
经检验a＝4符合题意，所以a＝4.
(2)由(1)可知，函数f(x)＝4ln x＋－3x＋1，x>0，
则f′(x)＝－，x>0，
当01时，f′(x)<0；当0，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，
x 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调递减 3－4ln 3 单调递增 －1 单调递减
故f(x)的极大值为f(1)＝－1，f(x)的极小值为f()＝3－4ln 3.
1．已学习：函数的导数与极值，利用函数的导数求极值，利用函数的极值求参数．
2．须贯通：求函数的极值需考虑两个问题：一是函数的定义域，二是检查导数值为0(即f′(x0)＝0)的点x＝x0的附近左右两侧的导数值是否异号，若异号，则x0是极值点，否则不是极值点．
3．应注意：(1)导数值等于零不是此点为极值点的充要条件；(2)极值点不是点，而是一个数．