6.2.2　第1课时　课后达标检测（教师版）

1．函数f(x)＝的极大值为(　　)
A．e－6　 B．e－7
C．e－8 D．e－9
解析：选B．f′(x)＝，当x<7时，f′(x)>0；
当x>7时，f′(x)<0.所以f(x)＝的极大值为f(7)＝＝＝e－7.故选B．
2．已知f(x)＝sin x－a cos x的一个极值点为x0，若tan x0＝3，则实数a的值为(　　)
A．－3 B．－
C．3 D．
解析：选B．函数f(x)＝sin x－a cos x的图象连续，且f′(x)＝cos x＋a sin x，因为x0为f(x)的一个极值点，所以f′(x0)＝cos x0＋a sin x0＝0，解得tan x0＝－.而tan x0＝3，所以－＝3，所以a＝－.故选B．
3．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的极大值为f()，极小值为f(－)
B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f()　
C．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)
D．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)
解析：选C．由题图可知，当x＝－3和x＝3时，
xf′(x)＝0，
则f′(－3)＝f′(3)＝0；
当x<－3时，xf′(x)>0，则f′(x)<0；
当－30；
当00，则f′(x)>0；
当x>3时，xf′(x)<0，则f′(x)<0.
所以f(x)在(－∞，－3)，(3，＋∞)上单调递减；在(－3，3)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(－3)，极大值为f(3).故选C．
4．已知函数f(x)的导函数g(x)＝(x－1)(x2－3x＋a)，若1不是函数f(x)的极值点，则实数a的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选D．由题意可知f′(x)＝g(x)＝(x－1)(x2－3x＋a)，若1不是函数f(x)的极值点，令h(x)＝x2－3x＋a，则h(1)＝0，即1－3＋a＝0，得a＝2，当a＝2时，f′(x)＝(x－1)(x2－3x＋2)＝(x－1)2(x－2)，故当x>2时，f′(x)>0；当x<2时，f′(x)≤0，因此2是f(x)的极值点，1不是f(x)的极值点，故a＝2满足题意．故选D．
5．已知函数f(x)＝若f(x)有且只有1个极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(0，1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选C．函数f(x)＝
有且只有1个极值点，
当a＝0时，没有极值点；
当a≠0时，f′(x)＝
取2ax＋2＝0，
得到x＝－，
当x≤a时，函数f(x)为二次函数，
则－0.
综上所述，a>0.故选C．
6．(多选)若函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx既有极大值又有极小值，则(　　)
A．a>0 B．b>0
C．b2－8a>0 D．b2＝8a
解析：选AC．f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＋b＝，
因为函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx既有极大值又有极小值，所以方程2ax2＋bx＋1＝0有两个不相等的正根x1，x2，所以
解得a>0，b<0，b2－8a>0，
所以A，C正确，B，D错误．故选AC．
7．函数f(x)＝xex的极值点为________．
解析：由题设f′(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)有极小值点为－1，无极大值点．
答案：－1
8．若函数f(x)＝2x3＋ax2－3x－2在x＝1处取得极小值，则函数f(x)的极大值为________．
解析：f′(x)＝6x2＋2ax－3，
由题意得f′(1)＝6＋2a－3＝0，解得a＝－，
故f(x)＝2x3－x2－3x－2，
f′(x)＝6x2－3x－3＝3(2x＋1)(x－1)，
当－当x<－或x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
故f(x)在x＝－处取得极大值，
故极大值为f(－)＝2×(－)－×＋－2＝－.
答案： －
9．已知函数f(x)＝x3－x2＋ax(x∈R)，g(x)＝x2＋(2－a)ln x，若f(x)与g(x)中恰有一个函数无极值，则实数a的取值范围是________．
解析：若f(x)＝x3－x2＋ax(x∈R)无极值，
则f′(x)＝3x2－2x＋a≥0恒成立，
即Δ＝4－12a≤0，解得a≥；
若g(x)＝x2＋(2－a)ln x无极值，
则g′(x)＝≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，
所以2－a≥0，即a≤2.
所以f(x)与g(x)中恰有一个函数无极值，
则或
解得a∈(－∞，)∪(2，＋∞).
答案：(－∞，)∪(2，＋∞)
10．已知函数f(x)＝ax2＋b ln x在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)求出f(x)的单调区间，并求极值．
解：(1)因为f(x)＝ax2＋b ln x，该函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2ax＋，
则解得
此时，f(x)＝x2－ln x，
经检验，a＝，b＝－1符合题意．
因此，a＝，b＝－1.
(2)因为f(x)＝x2－ln x，该函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝，
令f′(x)＝0，可得x＝1，列表如下：
x (0，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)，函数f(x)的极小值为f(1)＝－ln 1＝，无极大值．
11.已知函数f(x)＝，则f(x)在区间(a，a＋)(a>0)上存在极值的充分不必要条件是(　　)
A．C．0解析：选A．由f(x)＝，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，
当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当00，f(x)单调递增，
因此1是函数f(x)的极大值点，欲使f(x)在区间(a，a＋)(a>0)上存在极值，
只需a<112．(多选)若函数f(x)＝aex－x2－2x＋b有两个不相等的极值点，则实数a的取值可以是(　　)
A．e　 B．2
C．1　 D．0
解析：选BC．由f(x)＝aex－x2－2x＋b
得f′(x)＝aex－x－2，
由于f(x)＝aex－x2－2x＋b有两个不相等的极值点，则f′(x)＝aex－x－2＝0有两个不相等的实数根，则a＝有两个不相等的实数根，
记g(x)＝，则g′(x)＝，
故当x>－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x<－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，如图所示，
所以当x＝－1时，g(x)取得极大值g(－1)＝e，
又当x>－2时，g(x)>0恒成立，
故013．若函数f(x)＝(x2－a)ex在区间(－2，2)内只有极小值，无极大值，则实数a的取值范围是________．
解析：因为f(x)＝(x2－a)ex在区间(－2，2)内只有极小值，无极大值，所以f′(x)＝(x2＋2x－a)ex＝0在区间(－2，2)内只有一个左负右正的异号根，即关于x的方程x2＋2x－a＝0在区间(－2，2)内只有一个左负右正的异号根，所以得a∈[0，8).
答案：[0，8)
14．已知f(x)＝ln x．
(1)求的极值；
(2)若函数y＝f(x)－ax存在两个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)令g(x)＝＝且x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝，当00；
当x>e时g′(x)<0，
所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
故g(x)＝的极大值为g(e)＝，无极小值．
(2)由题设，a＝有两个根，即y＝a与g(x)＝有两个交点，作出y＝a与g(x)＝的简图，如图所示，
由图知，g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
在(0，1)上g(x)<0，在(1，＋∞)上g(x)>0，且当x趋向于正无穷时g(x)趋向于0.
综上，只需015.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)
A．a<0，b<0，c<0，d>0 B．a<0，b<0，c>0，d>0
C．a<0，b>0，c<0，d>0 D．a>0，b>0，c>0，d>0
解析：选A．观察题图知，f(0)＝d>0，函数f(x)有3个零点，设3个零点为x1，x2，x3(x1x3时，f(x)<0，而此时(x－x1)(x－x2)(x－x3)>0，
因此a<0，又f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
设函数f(x)的两个极值点为α1，α2，
且α1<α2<0，即f′(x)＝0有两个不等实根，
－＝α1＋α2<0，＝α1α2>0，因此b<0，c<0，所以a<0，b<0，c<0，d>0.故选A．
16．已知函数f(x)＝x2＋a ln (x＋2)，a∈R，存在两个极值点x1，x2，求f(x1)＋f(x2)的取值范围.
解：由题，函数f(x)的定义域为(－2，＋∞)，
且f′(x)＝2x＋＝，
由于f(x)有两个极值点，则二次函数g(x)＝2x2＋4x＋a在(－2，＋∞)上有两个零点x1，x2.
又g(x)的对称轴为直线x＝－1，图象开口向上，
则解得0又x1，x2是方程2x2＋4x＋a＝0的两根，
从而x1＋x2＝－2，x1x2＝，
则f(x1)＋f(x2)＝x＋a ln (x1＋2)＋x＋a ln (x2＋2)
＝(x1＋x2)2－2x1x2＋a ln [2(x1＋x2)＋x1x2＋4]
＝4－a＋a ln ，其中0令h(x)＝4－x＋x ln ，0则h′(x)＝－1＋ln ＋1＝ln <0，
从而h(x)在(0，2)上单调递减，
又当x→0(x>0)，h(x)→4，x→2，h(x)→2，
所以h(x)的值域为(2，4).
综上所述，f(x1)＋f(x2)的取值范围是(2，4).