6.2.2　第2课时　函数的导数与最值（教师版）

第2课时　函数的导数与最值
1.理解函数最值的概念，了解函数最值与函数极值的区别与联系．　2.会求某闭区间上函数的最值．
同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们要寻找最高的山峰和最低的山谷，这其实就是我们今天要探究的函数的最值．
思考1　如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．你能找到函数的最大值和最小值吗？
提示：最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在．
思考2　开区间上的连续函数有最值吗？
提示：如图．
容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到．
一　函数极值与最值的关系
1．函数的极值点与最值点
一般地，如果函数y＝f(x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在极值，则函数的最值点一定是某个极值点；如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在极值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是________．
2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的求法
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的___________________________.
(2)将函数y＝f(x)的各______________与________________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[答案自填] 极值点　极值　极值　端点处的函数值f(a)，f(b)
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)函数的最大值不一定是函数的极大值．(　　)
(2)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．(　　)
(3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．(　　)
(4)函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值．　(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．(多选)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．函数一定有三个极值点 B．函数有最小值
C．函数有最大值 D．函数图象一定经过坐标原点
解析：选AB．根据题中导函数的函数图象可知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，当x∈(0，1)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递增，当x∈(1，2)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(1，2)上单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，
所以，x＝0，x＝1，x＝2分别是函数f(x)的极值点，所以A正确；
函数f(x)的图象可能都在x轴上方，图象不一定过原点，所以D错误；
由单调性可知，x＝0和x＝2都是函数f(x)的极小值点，所以f(0)，f(2)都是函数f(x)的极小值，因此函数有最小值，且为f(0)，f(2)中的较小者，无最大值，所以B正确，C错误．故选AB．
3．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间(－2，－1)上的最大值就是函数f(x)的极大值，则实数m的取值范围是________．
解析：因为f(x)＝－x2＋mx＋1，
所以f′(x)＝m－2x，
令f′(x)＝m－2x＝0，得x＝.
由题意得∈(－2，－1)，故m∈(－4，－2).
答案：(－4，－2)
最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).
(3)函数f(x)的极值点在定义域内，但不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
二　不含参函数的最值
　(对接教材例3)求下列函数的最值：
(1)f(x)＝x3＋x2－2x＋1，x∈[－2，1]；
(2)f(x)＝(x2－1)－ln x．
【解】　(1)求导得f′(x)＝3x2＋x－2.
令f′(x)＝0，则x1＝－1，x2＝.
由于x1和x2都在区间[－2，1]内，所以可列表如下：
x [－2，－1) －1
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 单调递减 单调递增
又f(－2)＝－1，f(1)＝，将它们与极值比较可得，
该函数在[－2，1]上的最大值为，最小值为－1.
(2)由已知可得，f(x)＝(x2－1)－ln x的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝x－＝.
当x>1时，有f′(x)>0，
所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增；
当0所以函数f(x)在(0，1)上单调递减．
所以f(x)在x＝1处取得唯一极小值，也是最小值f(1)＝×(12－1)＝0，f(x)没有最大值．
求函数的最值的步骤
(1)确定函数的定义域，对函数进行求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内；
(2)判断函数的单调性，研究函数的极值；
(3)比较函数的极值与端点函数值的大小，确定函数的最大值或最小值．
[跟踪训练1] 已知函数f(x)＝ex(x2－6x＋1).
(1)求函数f(x)的极值；
(2)求函数f(x)在区间[0，6]上的最值．
解：(1)f′(x)＝ex(x2－4x－5)
＝ex(x－5)(x＋1).
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，
当x<－1或x>5时，f′(x)>0；
当－1所以f(x)的极大值是f(－1)＝8e－1，
f(x)的极小值是f(5)＝－4e5.
(2)因为f(0)＝1，f(6)＝e6，
由(1)知，在区间[0，6]上，f(x)有极小值f(5)＝－4e5，
所以函数f(x)在区间[0，6]上的最大值为e6，最小值为－4e5.
三　含参函数的最值
　已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b，若a>0，求f(x)在区间[0，1]上的最小值．
【解】　函数f(x)＝2x3－ax2＋b，定义域为R，
则f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)，
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝，
又a>0，令f′(x)>0，则x<0或x>，
令f′(x)<0，则0所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，，单调递减区间为；
当≥1，即a≥3时，f(x)在[0，1]上单调递减，
所以f(x)在[0，1]上的最小值为f(1)＝2－a＋b，
当0<<1，即0所以f(x)在[0，1]上的最小值为f＝－＋b，
所以f(x)min＝
求解含参函数的最大值和最小值的步骤
(1)求函数的导函数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的全部实根，同时，根据参数的范围，判断f′(x)＝0的根是否在区间[a，b]内；
(3)根据参数的取值范围，确定函数的极大值、极小值；
(4)将函数的极值与端点处的函数值进行比较，得到函数的最大值、最小值．
[跟踪训练2] 已知函数f(x)＝a ln x＋x－a，a∈R.讨论函数f(x)的最值．
解：由函数f(x)＝a ln x＋x－a，可得其定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝，
当a≥0时，可得f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无最值；
当a<0时，令f′(x)<0，可得0所以f(x)在(0，－2a)上单调递减；
令f′(x)>0，可得x>－2a，
所以f(x)在(－2a，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(－2a)＝a ln (－2a)－2a，无最大值．
综上可得，
当a≥0时，f(x)无最值；
当a<0时，f(x)的最小值为a ln (－2a)－2a，无最大值．
四　由函数最值求参数
　(1)已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，则函数f(x)在[－2，2]上的最小值为(　　)
A．－3　 B．－5
C．－37 D．－39
(2)如果函数y＝ax－ln x的值域为[1，＋∞)，那么a＝________．
【解析】　(1)由f(x)＝2x3－6x2＋m得
f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
故当x∈[－2，0)时，f′(x)>0，
f(x)在区间[－2，0)上单调递增，
当x∈(0，2]时，f′(x)≤0，f(x)在区间(0，2]上单调递减，
故当x＝0时，f(x)取得最大值，即f(0)＝m＝3，
此时f(x)＝2x3－6x2＋3，
当x∈[－2，0)时，f(x)≥f(－2)＝－37，
当x∈(0，2]时，f(x)≥f(2)＝－5，
故最小值为f(－2)＝－37.故选C．
(2)由题得函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝a－，当a≤0时，y′<0，y＝ax－ln x为减函数，当x＝1时，y＝a≤0，显然不合题意；
当a>0时，x∈时，y′<0，y＝ax－ln x为减函数，
x∈时，y′>0，y＝ax－ln x为增函数，
所以y≥1－ln ＝1＋ln a.
因为函数y＝ax－ln x的值域为[1，＋∞)，
所以1＋ln a＝1，解得a＝1.
【答案】　(1)C　(2)1
已知函数的最值求参数的方法
(1)解题思路
由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用．
(2)具体步骤
①求函数f(x)的导函数f′(x)，并求极值；
②将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值；
③利用最值列出关于参数的方程(组)，解方程(组)即可得参数．
[跟踪训练3] (1)当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则a＝(　　)
A．－2 B．－4
C．2 D．4
解析：选A．当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，所以f(1)＝b＝－2，即f(x)＝a ln x－，定义域为(0，＋∞), 又因为f(x)在x＝1处取得最大值，f′(x)＝， 所以f′(1)＝＝0，所以a＝－2.故选A．
(2)若函数f(x)＝在区间上的最小值为2e，则实数a的取值范围是__________．
解析：由f(x)＝，得f′(x)＝，
所以函数f(x)在上单调递减，
在上单调递增，且f＝2e，
所以∈，即a≥，
所以实数a的取值范围是.
答案：
1．(教材P100T5改编)函数f(x)＝x3＋在区间(0，＋∞)上的最小值是(　　)
A．4 B．5
C．3 D．1
解析：选A．f′(x)＝3x2－＝，当01时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值是f(1)＝4.故选A．
2．(多选)下列结论中不正确的是(　　)
A．若函数f(x)在区间[a，b]上有最大值，则这个最大值一定是函数f(x)在区间[a，b]上的极大值
B．若函数f(x)在区间[a，b]上有最小值，则这个最小值一定是函数f(x)在区间[a，b]上的极小值
C．若函数f(x)在区间[a，b]上有最值，则最值一定在x＝a或x＝b处取得
D．若函数f(x)在区间[a，b]内连续，则f(x)在区间[a，b]内必有最大值与最小值
解析：选ABC．若函数f(x)在区间[a，b]上有最值，则最值可能在极值点或区间端点处取得，故A，B，C都不正确；连续函数在闭区间上一定有最值，故D正确．故选ABC．
3．若函数f(x)＝x－ex在区间(a－4，a)上存在最大值，则实数a的取值范围是__________．
解析：由题意知f′(x)＝1－ex，令f′(x)>0，得x<0，f(x)在(－∞，0)上单调递增，令f′(x)<0，得x>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在x＝0时取最大值，所以a－4<0答案：(0，4)
4．(教材P102习题6－2CT2改编)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋b，若曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝－x＋1.
(1)求a，b的值；
(2)求函数y＝f(x)在[－2，2]上的最小值．
解：(1)由题可得f(0)＝b＝1.
又f′(x)＝3x2－2x＋a，所以f′(0)＝a＝－1.
所以a＝－1，b＝1.
(2)由(1)可知，f(x)＝x3－x2－x＋1，f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)>0，解得x<－或x>1，令f′(x)＜0，解得－＜x＜1，所以f(x)在和(1，2]上单调递增，在上单调递减．又f(－2)＝－9，f(1)＝0，
所以函数y＝f(x)在[－2，2]上的最小值为－9.
1．已学习：函数极值与最值的关系，求已知函数的最值，由函数最值求参数．
2．须贯通：(1)求函数的最值的关键就是用函数的极值与函数区间端点的函数值比较大小；
(2)若函数解析式含有参数，则需对参数进行分类讨论，再求函数的最值．
3．应注意：(1)混淆最值和极值；(2)含参数分类讨论不全面；(3)注意函数的定义域．