6.2.2　第2课时　课后达标检测（教师版）

1．下列说法正确的是(　　)
A．函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值
B．函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值
C．函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值
D．函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值
解析：选B．如图为函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象：极大值f(x1)<极小值f(x4)，故A错误；根据最大值的概念可知，函数的最大值一定大于或等于它的最小值，故B正确；如图所示，函数f(x)在区间[a，b]上有一极大值f(x3)，但它并不是最大值，故C错误；同时，最大值f(b)不是极大值，故D也错误．故选B．
2．函数f(x)＝2x＋sin x在区间[0，π]上的(　　)
A．最小值为0，最大值为π＋1 B．最小值为0，最大值为2π
C．最小值为π＋1，最大值为2π D．最小值为0，最大值为2
解析：选B．f′(x)＝2＋cos x>0，所以f(x)在区间[0，π]上单调递增，因此f(x)的最小值为f(0)＝0，最大值为f(π)＝2π.故选B．
3．已知函数y＝(x＋a)ex的最小值为－1，则实数a＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选A．y′＝(x＋a＋1)ex，当x∈(－∞，－a－1)时，y′<0，函数单调递减，当x∈(－a－1，＋∞)时，y′>0，函数单调递增．故当x＝－a－1时函数取得极小值，也是最小值－e－a－1.故－e－a－1＝－1，所以a＝－1.故选A．
4．若3为函数f(x)＝x2－ax－3ln x的极值点，则函数f(x)的最小值为(　　)
A．－ B．－
C．－－3ln 3 D．3－3ln 3
解析：选C．由题知x>0，f′(x)＝x－a－，因为3是函数f(x)的极值点，所以f′(3)＝3－a－1＝0，则a＝2，所以f′(x)＝x－2－＝，当x∈(0，3)时，f′(x)<0，当x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值是f(3)＝－－3ln 3.故选C．
5．已知函数f(x)＝a(ln x－1)－x(a∈R)在区间(e，＋∞)内有最值，则实数a的取值范围是　(　　)
A．(e，＋∞) B．
C．(－∞，e] D．(－∞，－e)
解析：选A．f′(x)＝－1＝，其中x>e，当a≤e时，f′(x)<0，故f(x)在(e，＋∞)上单调递减，此时f(x)在(e，＋∞)内无最值．当a>e时，若x∈(e，a)，则f′(x)>0，若x∈(a，＋∞)，则f′(x)<0，故f(x)在(e，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，故f(x)在x＝a处取最大值．故选A．
6．(多选)已知函数f(x)＝x2ex，x∈R.下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)不存在最大值，也不存在最小值
B．函数f(x)存在极大值和极小值
C．函数f(x)有且只有一个零点
D．函数f(x)的极小值就是f(x)的最小值
解析：选BCD．f(x)＝x2ex，x∈R，则f′(x)＝x(x＋2)·ex，令f′(x)<0，得－20，得x<－2或x>0，所以函数f(x)在(－2，0)上单调递减，在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝0，f(x)＝x2ex≥0，如图，
所以f(x)min＝f(0)＝0，函数在x＝－2处取得极大值，在x＝0处取得极小值，极小值f(0)即为最小值，且函数有且只有一个零点0.故选BCD．
7．已知函数f(x)＝ex－x，则函数f(x)的最小值为________．
解析：函数f(x)的定义域为R，且f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，可得x＝0.
当x<0时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x>0时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
故f(x)min＝f(0)＝e0－0＝1.
答案：1
8．已知函数f(x)＝x3－3x－1，在区间[－3，2]上的最大值为M，最小值为N，则M－N＝________．
解析：因为f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－1，当－3≤x<－1和10；当－1答案：20
9．已知函数f(x)＝aex－x2是R上的增函数，则a的最小值为________．
解析：因为函数f(x)＝aex－x2是R上的增函数，
所以f′(x)＝aex－2x≥0，即a≥.
令g(x)＝，则g′(x)＝，
令g′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(－∞，1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减．
所以g(x)max＝g(1)＝，
要使a≥恒成立，则a≥，故a的最小值为.
答案：
10．设函数f(x)＝x－－4ln x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在上的最大值与最小值．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝.
当x∈(0，1)∪(3，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(1，3)时，f′(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，(3，＋∞)，
单调递减区间为(1，3).
(2)令f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.
因为1∈，3 ，
由(1)知f(x)在上单调递增，在[1，e]上单调递减，
故f(x)的最大值为f(1)＝－2.
又f＝－3e＋4，f(e)＝e－－4，
因为f－f(e)＝8－4<0，
所以f(x)在上的最小值为f＝－3e＋4.
11．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x＋1，若f(x1)＝g(x2)，则x1－x2的最小值为(　　)
A．2－2ln 2 B．－2ln 2－2
C．4－2ln 2 D．－2ln 2－4
解析：选C．设f(x1)＝g(x2)＝t，则x1＝et，x2＝2t－2，所以x1－x2＝et－2t＋2，令h(t)＝et－2t＋2，则h′(t)＝et－2，令h′(t)<0，得t0，得t>ln 2，函数h(t)单调递增，所以h(t)min＝h(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2，即x1－x2的最小值为4－2ln 2.故选C．
12．(多选)已知函数f(x)＝ax4－4ax3＋b，x∈[1，4]，f(x)的最大值为3，最小值为－6，则a＋b的值可能为(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选AC．由题意可得，f′(x)＝4ax2(x－3)，1≤x≤4，当a＝0时，则f(x)＝b，显然不合题意，舍去；当a>0时，令f′(x)>0，而1≤x≤4，则30，而1≤x≤4，则1≤x<3，故f(x)在(3，4]上单调递减，在[1，3)上单调递增，且f(3)＝b－27a，f(1)＝b－3a，f(4)＝b，即f(1)>f(4)，故解得则a＋b＝－.综上所述，a＋b＝或－.故选AC．
13．已知不等式ax≤(2x＋1)ex对任意x∈[1，＋∞)恒成立，则正实数a的取值范围是________．
解析：因为x≥1，不等式ax≤(2x＋1)ex可变形为a≤.
设g(x)＝(x≥1)，
则g′(x)＝＝.
当x∈[1，＋∞)时，g′(x)>0，
所以函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增．
则g(x)min＝g(1)＝3e，
所以0答案：(0，3e]
14．已知函数f(x)＝(x－k－1)ex(k∈R).
(1)当k＝1时，求f(x)在(0，－2)处的切线方程；
(2)讨论f(x)在区间[0，3]上的最小值．
解：(1)当k＝1时，f(x)＝(x－2)ex，则f′(x)＝(x－1)ex，所以f′(0)＝－1，
则f(x)在(0，－2)处的切线方程为y＝－x－2，
即x＋y＋2＝0.
(2)函数f(x)＝(x－k－1)ex，
则f′(x)＝(x－k)ex，
当x>k时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；
当x当k>3时，函数f(x)在[0，3]上单调递减，
故f(x)min＝f(3)＝(2－k)e3；
当k<0时，函数f(x)在[0，3]上单调递增，
故f(x)min＝f(0)＝－1－k；
当0≤k≤3时，函数的最小值f(x)min＝f(k)＝－ek.
综上可得f(x)min＝
15．已知方程ae－x＝x＋1有两个不相等的实数解，则a的取值范围为(　　)
A．(－，0) B．
C． D．
解析：选C．由题意得a＝(x＋1)ex有两个不相等的实数解，
令g(x)＝(x＋1)ex，定义域为R，
g′(x)＝(x＋2)ex，当x>－2时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x<－2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
故g(x)＝(x＋1)ex在x＝－2时取得极小值，也是最小值，
故g(－2)＝(－2＋1)e－2＝－，
又当x>－1时，g(x)>0恒成立，当x<－1时，g(x)<0恒成立，故要想a＝(x＋1)ex有两个不相等的实数解，则a∈.故选C．
16．已知函数f(x)＝eln x－ex.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：在(0，＋∞)上f(x)≤－2e.
解：(1)函数f(x)＝eln x－ex的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝－e＝，
由f′(x)>0，得01，
所以f(x)在区间(0，1)上单调递增，
在区间(1，＋∞)上单调递减．
(2)证明：由(1)可知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
则f(x)max＝f(1)＝－e，
即f(x)≤f(x)max＝f(1)＝－e，
令g(x)＝－2e，x>0，
求导得g′(x)＝，
当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)min＝g(1)＝－e，
即g(x)≥g(x)min＝g(1)＝－e，
所以当x>0时，f(x)≤－e≤－2e，
即f(x)≤－2e.