6.2　课后达标 检测（教师版）

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1．下列函数中，在上单调递增的是(　　)
A.y＝sin x B．y＝cos x
C.y＝sin 2x D．y＝cos 2x
解析：选D.对于A，y＝sin x在x∈上单调递减，所以不正确；对于B，y＝cos x在x∈上单调递减，所以不正确；对于C，因为x∈，所以2x∈[π，2π]，所以y＝sin 2x在上是先减后增，所以不正确；对于D，因为x∈，所以2x∈[π，2π]，所以y＝cos 2x在上单调递增，所以正确．故选D.
2．已知函数f(x)＝cos (x∈R)，则f(x)在区间上的最小值为(　　)
A. B．－ C．－1 D．0
解析：选C.因为x∈，所以≤2x＋≤，所以当2x＋＝π，即x＝时，函数f(x)有最小值－1.故选C.
3．已知函数f(x)＝cos (ω>0)的相邻两个零点的距离为，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos ωx的图象(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
解析：选A.由已知得＝2×，故ω＝2.y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度可得y＝cos 2＝cos 的图象．故选A.
4．将函数f(x)＝cos (ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在(，π)上单调递减，则ω的最大值为(　　)
A. B． C． D．1
解析：选D.由题知，将函数f(x)＝cos (ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos (ωx－＋)的图象，因为x∈(，π)，所以<ωx－＋<＋，因为g(x)在(，π)上单调递减，所以<＋≤π，所以0<ω≤1，所以ω的最大值为1.故选D.
5．(多选)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则(　　)
A.A＝4
B.ω＝2
C.φ＝
D.k＝1
解析：选BD.由题图知，函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋k的最大值为3，最小值为－1，
所以A＝2，k＝1，A错误，D正确；
由题图，可得T＝2×(＋)＝π，所以＝π，又因为ω>0，所以ω＝2，B正确；所以f(x)＝2sin (2x＋φ)＋1，因为f(－)＝3，所以2sin ＋1＝3，
即sin (－＋φ)＝1，又因为0<φ<π，所以φ＝，C错误．故选BD.
6．(多选)若函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为3π，f()＝－f(0)，则(　　)
A.φ＝
B.直线x＝4π是f(x)图象的对称轴
C.点(－，0)是f(x)图象的对称中心
D.f(x)在(0，π)上单调递增
解析：选BD.因为f(x)的最小正周期T＝3π，所以ω＝＝，则f(x)＝sin (x＋φ).
对于A，因为f()＝－f(0)，－0<＝，
所以f(x)关于点(，0)中心对称，
所以×＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝－＋kπ(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝－，A错误；
对于B，由A知f(x)＝sin (x－)，
当x＝4π时，x－＝－＝，所以直线x＝4π是f(x)图象的对称轴，B正确；
对于C，当x＝－时，x－＝－－＝－，所以点(－，0)不是f(x)图象的对称中心，C错误；
对于D，当x∈(0，π)时，x－∈(－，)，所以f(x)在(0，π)上单调递增，D正确．故选BD.
7．设函数f(x)＝sin (ω≠0)，则f(x)是________函数，若f(x)的最小正周期为π，则ω＝________．
解析：因为f(x)＝sin ＝－cos ωx，所以f(－x)＝－cos (－ωx)＝－cos ωx＝f(x)，所以f(x)为偶函数，又T＝π，所以＝π，所以ω＝±2.
答案：偶　±2
8．函数f(x)＝cos 的单调递减区间是________．
解析：令2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即f(x)的单调递减区间是(k∈Z).
答案：(k∈Z)
9．若函数f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为1，则ω的值为__________________．
解析：因为0≤x≤，0<ω<1，所以0≤ωx≤<，所以sin 0≤sin ωx≤sin ，所以0≤2sin ωx≤2sin ，所以函数f(x)在区间上的最大值为2sin ，所以2sin ＝1，故＝，因此ω＝.
答案：
10．已知函数f(x)＝sin .
(1)请用“五点(画图)法”画出函数f(x)在一个周期内(闭区间上)的简图；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)试问y＝f(x)的图象是由y＝sin x的图象经过怎样变换得到的？
解：(1)列表如下：
2x－ 0 π 2π
x
f(x) 0 1 0 －1 0
描点连线，图象如图所示．
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(2)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(3)先将y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得y＝sin 的图象，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，即可得到y＝f(x)＝sin 的图象．(或先将y＝sin x的图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得y＝sin 2x的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，即可得y＝f(x)＝sin 的图象．)
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11．(多选)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，f(x)≥f()恒成立，且f(x)的最小正周期为π，则(　　)
A．f(x)＝sin (2x－)
B．f(x)的图象关于点(，0)对称
C．将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称
D．f(x)在(0，)上单调递增
解析：选ABD.因为T＝π，所以ω＝＝2.依题意得 f(x)min＝f()＝sin (＋φ)＝－1，所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，即φ＝2kπ－(k∈Z)，且|φ|≤，所以φ＝－，即f(x)＝sin (2x－)，则A正确；令2x－＝kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，对称中心为(，0)，则B正确；将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin (2x＋)的图象，不关于y轴对称，则C错误；因为x∈(0，)，所以2x－∈(－，)，所以f(x)在(0，)上单调递增，则D正确．故选ABD.
12．已知函数f(x)＝sin (ω＞0)在x＝θ处取得最大值，则f(2θ)－f(4θ)＝________．
解析：方法一：由已知得sin ＝1，所以ωθ＋＝＋2kπ，k∈Z，所以ωθ＝＋2kπ，k∈Z.f(2θ)－f(4θ)＝sin －sin ＝sin －sin π＝.
方法二：不妨令ω＝1，则θ＝＋2kπ，k∈Z，所以f(2θ)－f(4θ)＝sin －sin π＝.
答案：
13．已知函数f(x)＝cos (x＋)，若f(x1)＝f(x2)且x1x2<0，则|x1－x2|的取值范围为________．
解析：如图，A(－，)，B(0，)，则AB＝.
设点C，D是平行于x轴的直线与函数f(x)的图象的两个交点(C，D分别位于y轴两侧)，
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根据条件，记这两个点的横坐标分别为x1，x2，x1x2<0，
结合图象，可知|x1－x2|>AB＝，
所以|x1－x2|的取值范围为(，＋∞).
答案：(，＋∞)
14．已知直线x＝是函数f(x)＝2sin (2x＋φ)－1的对称轴，其中φ∈.
(1)求φ的值；
(2)当x∈时，求 f(x)的单调递增区间和值域．
解：(1)因为直线x＝是函数f(x)＝2sin (2x＋φ)－1的对称轴，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z).又因为φ∈，所以φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝2sin －1，
令2x＋∈(k∈Z)，得x∈(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，
当k＝0时，函数f(x)的单调递增区间是，
又因为x∈，所以f(x)的单调递增区间为.
当x∈时，2x＋∈，由正弦函数y＝sin x的性质可得
sin ∈，
所以2sin －1∈[－2，1]，
即f(x)在上的值域为[－2，1].
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15．已知函数f(x)＝sin (ω>0)，f＝f ，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________．
解析：依题意知，f(x)的图象关于直线x＝对称，即关于直线x＝对称，且－≤T＝，所以ω＋＝＋2kπ，k∈Z，且0<ω≤12，所以ω＝.
答案：
16．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为 π，图象的一个对称中心为(，0)，若先把函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象．
(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；
(2)设函数φ(x)＝g(x)－2cos2x＋1，试判断φ(x)在(0，2π)内的零点个数．
解：(1)根据题意可得，T＝＝π，则ω＝2.
因为图象的一个对称中心为(，0)，则2×＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.
又因为0<φ<π，则k＝1，φ＝.
所以f(x)＝sin (2x＋).函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得到y＝f(x＋)＝sin ＝sin (2x＋)＝cos 2x的图象，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)＝cos x 的图象，所以f(x)＝sin (2x＋)，g(x)＝cos x.
(2)φ(x)＝g(x)－2cos2x＋1＝－2cos2x＋cosx＋1＝(2cos x＋1)(－cos x＋1).
令φ(x)＝0，则cos x＝－或cos x＝1.
因为x∈(0，2π)，若cos x＝－，则x＝或x＝；若cos x＝1，无解．
所以φ(x)在(0，2π)内有2个零点．