7．1　正切函数的定义　7．2　正切函数的诱导公式（教师版）

§7　正切函数
7．1　正切函数的定义
7．2　正切函数的诱导公式
1.理解任意角的正切函数的定义．　2.会根据任意角终边上一点的坐标求正切函数值．　3.掌握正切函数的诱导公式的推导及应用．
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思考1　初中我们所学的正弦、余弦及正切函数是如何定义的？它们之间有何关系？
提示：如图，在Rt△ABC中，C＝90°，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则对于锐角A有sin A＝，cos A＝，tan A＝；tan A＝.
思考2　对于任意实数x，结合思考1，正切函数如何定义呢？
提示：任意实数x，比值唯一确定(cos x≠0)，根据函数的定义，是x的函数，称为x的正切函数．
1．正切函数的定义
根据函数的定义，比值____________是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域为________________________．
2．用坐标表示角α的正切值
若角α的终边上任取一点Q(x0，y0)(x0≠0)，则tan α＝____________．
[答案自填] 　　
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)(对接教材例1)tan ＝(　　)
A．－ B．－1 C． D．1
(2)(对接教材例2)已知角α的终边经过点P(－4a，3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．
【解】　(1)选D.因为sin ＝sin (π＋)＝－sin ＝－，cos ＝cos (π＋)＝－cos ＝－.
由正切函数的定义得，tan ＝＝＝1，故选D.
(2)r＝＝5|a|，
若a＞0，则r＝5a，角α的终边在第二象限，
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－；
若a＜0，则r＝－5a，角α的终边在第四象限，
sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求正切函数值的两种方法
(1)先求出角的正弦函数、余弦函数值，再利用正切函数的定义求解．
(2)已知角α终边上的一点M(a，b)(a≠0)，利用结论tan α＝.
[跟踪训练1] (1)若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝________．
解析：由正切函数的定义得，＝，解得m＝－.
答案：－
(2)若tan α＝，利用三角函数的定义，求sin α和cos α.
解：因为tan α＝＞0，所以角α是第一或第三象限角．
①若角α是第一象限角，则由tan α＝知，角α的终边上必有一点P(2，1)，若O为坐标原点，
所以r＝|OP|＝＝.
所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝.
②若角α是第三象限角，则由tan α＝知，角α的终边上必有一点P(－2，－1)，若O为坐标原点，
所以r＝|OP|＝＝.
所以sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝－.
tan (x＋kπ)＝________(k∈Z)；
tan (－x)＝________；
tan (x＋π)＝________；
tan (π－x)＝________；
tan ＝－；
tan ＝.
[答案自填] tan x　－tan x　tan x
－tan x
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例3)求值：
(1)tan ；
(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°).
【解】　(1)tan (－)＝－tan ＝－tan (8π＋)＝－tan ＝tan ＝.
(2)原式＝tan 10°＋tan (180°－10°)＋sin (5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°]＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin (180°－66°)＝sin 66°－sin 66°＝0.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
利用正切函数的诱导公式求值的方法
(1)正切函数的诱导公式通常结合已知实数x求值，即“已知实数x求值”，关键是利用诱导公式将任意实数x的正切函数值转化为上的正切函数值，通常是特殊角的正切函数值．
(2)“给值求值”时，要注意分析已知角与未知角之间的内在关系，选择恰当的诱导公式求值．
[跟踪训练2] 求下列三角函数的值：
(1)tan 150°；
解：tan 150°＝tan (180°－30°)＝－tan 30°＝－.
(2)tan .
解：tan (－)＝－tan ＝－tan (3π＋)＝－tan ＝－.
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)化简：＝__________；
(2)在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于点P，若将射线OP绕点O逆时针旋转，得到角 β，求的值．
【解】　(1)原式＝
＝
＝＝2＋.故填2＋.
(2)由三角函数的定义可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－ .由题意知β＝α＋，则sin β＝sin (α＋)＝cos α＝－，cos β＝cos (α＋)＝－sin α＝－，则＝＝＝－4.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
利用诱导公式化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的．
(2)化简时一定要注意函数的符号有没有改变．
(3)对同时含有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子进行化简时，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
[跟踪训练3] 化简下列各式：
(1)＝________；
解析：
＝
＝＝＝.
答案：
(2) ··＝________．
解析： ··＝··＝··＝··＝－sin αcos α.
答案：－sin αcos α
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1．(教材P65习题1－7A组T2改编)已知角α的终边在直线y＝2x上，则tan α的值为(　　)
A．2 B．±2 C． D．±
解析：选A.在角α的终边上任取一点(k，2k)(k≠0)，则tan α＝＝2.故选A.
2．(教材P64T1改编)tan 300°＋sin 450°的值为(　　)
A．1＋ B．1－
C．－1－ D．－1＋
解析：选B.tan 300°＋sin 450°＝tan (360°－60°)＋sin (360°＋90°)＝－tan 60°＋sin 90°＝1－.故选B.
3．计算7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°＝__________．
解析：原式＝7cos (180°＋90°)＋3sin (180°＋90°)＋tan (2×360°＋45°)
＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2.
答案：－2
4．f(α)＝＝________．
解析：f(α)＝
＝＝－cos α.
答案：－cos α
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：正切函数的定义、正切函数的诱导公式．
2．须贯通：利用正切函数的诱导公式化简求值．
3．应注意：(1)在tan ＝－和tan ＝中注意符号的选取；
(2)正切函数中注意α≠＋kπ(k∈Z).