7．3　课后达标 检测（教师版）

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1．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为(　　)
A．y＝tan 2x B．y＝tan (x＋)
C．y＝cos (2x＋) D．y＝sin (2x＋)
解析：选C.y＝tan 2x的最小正周期为，故A错误；y＝tan (x＋)为非奇非偶函数，故B错误；y＝cos (2x＋)＝sin 2x，易知为奇函数，且最小正周期为＝π，故C正确；y＝sin (2x＋)＝cos 2x为偶函数，故D错误．故选C.
2．函数f(x)＝tan x在上的最小值为(　　)
A．1 B．2 C． D．－
解析：选D.由正切函数y＝tan x的单调性可知，f(x)＝tan x在[－，]上单调递增，所以最小值为f(x)min＝tan (－)＝－.故选D.
3．若函数y＝tan (x－φ)(φ≥0)的图象与直线x＝π没有交点，则φ的最小值为(　　)
A．0 B． C． D．π
解析：选C.函数y＝tan x的图象与直线x＝＋kπ(k∈Z)没有交点．
若函数y＝tan (x－φ)(φ≥0)的图象与直线x＝π没有交点，
则π－φ＝＋kπ，k∈Z，φ＝－kπ，k∈Z，φ≥0，则φ的最小值为.故选C.
4．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间上的图象是(　　)
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解析：选D.当sin x，y＝2sin x，排除C.故选D.
5．若a＝tan 7，b＝sin ，c＝tan ，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
解析：选B.由于<7－2π＜，故a＝tan 7＝tan (7－2π)∈，而＞＝sin ＝b，故a＞b，又c＝tan ＝tan ＝tan ＝，即b6．(多选)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期是2π
B．f(x)的值域是(0，＋∞)
C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋]，k∈Z
解析：选AD.对于A，因为f(x)的最小正周期和y＝tan 的最小正周期相同，即T＝＝2π，故A正确；
对于B，因为y＝tan 的值域为R，所以f(x)≥0，即函数f(x)的值域为[0，＋∞)，故B错误；
对于C，结合绝对值的意义，由x－＝，k∈Z得x＝kπ＋，k∈Z，则直线x＝不是函数f(x)图象的对称轴，故C错误；
对于D，由kπ－＜x－≤kπ，k∈Z，得2kπ－＜x≤2kπ＋，k∈Z，则函数f(x)的单调递减区间是，k∈Z，故D正确．故选AD.
7．不等式|tan x|≤的解集是_________________________________．
解析：由|tan x|≤可得－≤tan x≤，
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
答案：
8．函数y＝ 的定义域为_______________________________________．
解析：要使函数y＝ 有意义，则tan x－≥0，即tan x≥，
所以＋kπ≤x<＋kπ，k∈Z，即函数y＝的定义域为
.
答案：
9．已知函数f(x)＝2tan ＋1(ω＞0)的最小正周期为2π，则f(x)的一个对称中心的坐标为________．
解析：根据T＝＝2π，得ω＝，则f(x)＝2 tan ＋1，
令＋＝(k∈Z)，即＝－(k∈Z)，所以x＝kπ－(k∈Z).所以f(x)的一个对称中心的坐标为.
答案：(答案不唯一，横坐标只需符合x＝kπ－，k∈Z且纵坐标为1即可)
10．已知f(x)＝tan (2x＋).
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|<的φ值．
解：(1)由题意得函数f(x)的最小正周期为T＝.
(2)f(x＋φ)＝tan ＝tan (2x＋2φ＋)＝tan 2.
若f(x＋φ)是奇函数，则＋φ＝，k∈Z，即＋φ＝，k∈Z，
解得φ＝－，k∈Z.令<，解得－所以k＝－1，0，1，2.
故φ＝－，－，，.
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11．已知偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，若a＝tan 114°，b＝tan 172°，c＝tan 287°，则下列不等关系中正确的是(　　)
A．f(c)＞f(b)＞f(a)
B．f(c)＞f(a)＞f(b)
C．f(b)＞f(c)＞f(a)
D．f(b)＞f(a)＞f(c)
解析：选D.因为a＝tan 114°＝tan (180°－66°)＝－tan 66°，b＝tan 172°＝tan (180°－8°)＝－tan 8°，c＝tan 287°＝tan (360°－73°)＝－tan 73°，又由f(x)为偶函数，则f(a)＝f(tan 66°)，f(b)＝f(tan 8°)，f(c)＝f(tan 73°)，又函数y＝tan x在0°＜x＜90°上单调递增，所以tan 8°＜tan 66°＜tan 73°，又f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则有f(b)＞f(a)＞f(c).故选D.
12．(多选)已知函数f(x)＝tan (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则(　　)
A．ω＝ B．φ＝－
C．φ＝ D．f＝
解析：选ABD.如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积，可得AB＝3，
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设函数f(x)的最小正周期为T，则AD＝T，由题意得3T＝6π，解得T＝2π，故＝2π，得ω＝，所以A正确；由A得f(x)＝tan ，f(x)的图象过点，即tan ＝tan ＝－1，因为φ∈，则＋φ∈，由上可得＋φ＝－，解得φ＝－，所以B正确，C错误；所以f(x)＝tan ，所以f＝tan ＝tan ＝，所以D正确．故选ABD.
13．已知函数f(x)＝ln (＋3x)＋5tan x－4，若f(a)＝2 024，则f(－a)＝________．
解析：令g(x)＝ln (＋3x)＋5tan x，x≠＋kπ，k∈Z，由g(－x)＋g(x)＝ln (－3x)－5tan x＋ln (＋3x)＋5tan x＝ln [(－3x)(＋3x)]＝ln 1＝0，可得函数g(x)为奇函数，则由f(a)＝g(a)－4＝2 024得g(a)＝2 028，故f(－a)＝g(－a)－4＝－g(a)－4＝－2 032.
答案：－2 032
14．已知函数f(x)＝3tan (ω＞0)的最小正周期为4π.
(1)求ω的值及f(x)的单调递减区间；
(2)试比较f(π)与f的大小．
解：(1)因为函数f(x)的最小正周期为4π，
所以T＝＝4π，所以ω＝4，所以f(x)＝3 tan ＝－3tan ，
由kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z，得4kπ－＜x＜4kπ＋，k∈Z，
因为y＝tan
在，k∈Z上单调递增，
所以f(x)＝3tan 在(4kπ－，4kπ＋)，k∈Z上单调递减．
综上，ω＝4 ，函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)f(π)＝3tan ＝3tan ＝－3tan ，f＝3tan ＝3tan ＝－3tan ，因为＜，且y＝tan x在上单调递增，所以tan ＜tan ，即－3tan >－3tan ，
所以f(π)＞f.
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15．已知直线y＝a与函数f(x)＝tan (ωx＋φ)的图象所有交点之间的最小距离为2，且其中一个交点为(1，－1)，则函数y＝f(x)的图象与函数y＝的图象所有交点的横坐标之和为________．
解析：依题意，函数f(x)＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为2，则＝2，解得ω＝，
于是f(x)＝tan ，由f(1)＝tan ＝－1，得＋φ＝＋kπ，k∈Z，而0＜φ＜，取k＝0，则φ＝，因此f(x)＝tan ，显然f＝tan ＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点成中心对称，又函数y＝的图象关于点成中心对称，在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)和函数y＝的图象，如图，
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观察图象知，两个函数在的图象共有4个公共点，且关于点成中心对称，所以4个交点的横坐标之和为×4＝6.
答案：6
16．对于函数f(x)，若f(x)的图象上存在关于原点对称的点，则称f(x)为定义域上的“G函数”．
(1)试判断f(x)＝|cos x|(x≠0)是否为“G函数”，简要说明理由；
(2)若f(x)＝log2(tan x＋m)＋1是定义在区间∪上的“G函数”，求实数m的取值范围．
解：(1)根据题意，f＝0＝f，可得f＋f＝0，故f(x)＝|cos x|是“G函数”．
(2)因为f(x)为“G函数”，
所以存在x∈∪，使f(x)＋f(－x)＝0，即log2(tan x＋m)＋1＋log2(－tan x＋m)＋1＝0，
即m2－tan2x＝在∪上有解．
因为tanx∈[－，0)∪(0，]，
所以m2＝tan 2x＋∈，可得＜|m|≤，结合tan x＋m＞0在∪上恒成立，可得m＞(－tan x)max＝，
综上所述，＜m≤，即实数m的取值范围是.