7．3　正切函数的图象与性质（教师版）

7．3　正切函数的图象与性质
1.能画出y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z的图象．　2.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间上的单调性．　3.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题．
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同学们，三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象和性质就成为我们学习的必然，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？
思考1　正切函数y＝tan x的定义域是什么？
提示：{x∈R|x≠＋kπ，k∈Z}．
思考2　回忆正切函数的诱导公式，你能说明正切函数有什么性质？
提示：tan (π＋x)＝tan x说明y＝tan x是周期函数，tan (－x)＝－tan x说明y＝tan x是奇函数．
解析式 y＝tan x
图象 INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/JM53.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/JM53.TIF" \* MERGEFORMAT
定义域
值域 R
最小正周期 ______
奇偶性 奇函数
单调性 在每一个区间________________上单调递增
对称性 对称中心(，0)(k∈Z)
[答案自填] π　(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　)
(2)正切函数在整个定义域上是增函数．(　　)
(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．(　　)
(4)存在某个区间，使正切函数单调递减．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．函数y＝tan (x－)的零点是________，对称中心是________．
解析：令y＝tan (x－)＝0，得x－＝kπ，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z，
所以y＝tan (x－)的零点是kπ＋，k∈Z.
令x－＝，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，
所以y＝tan (x－)的对称中心是(＋，0)，
k∈Z.
答案：kπ＋，k∈Z　(＋，0)，k∈Z
3．函数f(x)＝－2tan (2x＋)的定义域是________．
解析：由正切函数的定义域可得，2x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，故函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠＋，k∈Z}．
答案：
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
对正切函数的图象与性质的理解
(1)正切曲线是由相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的，这些平行直线称为正切曲线的渐近线，与正切曲线无限接近但不相交．
(2)正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增，不能说正切函数在其定义域上单调递增．
(3)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间．
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)函数y＝－3tan (2x－)的最小正周期为(　　)
A． B．
C．π D．2π
(2)已知函数f(x)＝ax3－bx－tan x＋2，若f(m)＝1，则f(－m)＝________．
【解析】　(1)函数y＝－3tan (2x－)的最小正周期为.故选B.
(2)由题得f(m)＝am3－bm－tan m＋2＝1，
所以am3－bm－tan m＝－1，
所以f(－m)＝－am3＋bm＋tan m＋2＝－(am3－bm－tan m)＋2＝1＋2＝3.
【答案】　(1)B　(2)3
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
解决正切函数有关的周期性、奇偶性问题的策略
(1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期T＝，常常利用此公式来求最小正周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
[跟踪训练1] (1)函数f(x)＝|tan 2x|是(　　)
A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数
解析：选A.由2x≠kπ＋，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，
所以f(x)的定义域是{x∈R＋，k∈Z}，关于原点对称．
f(－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，由此排除B，D选项．
f(x＋)＝|tan (2x＋π)|＝|tan 2x|＝f(x)，所以f(x)的一个周期为，A选项正确．
f(x＋)＝
＝＝
＝≠f(x)，
所以不是f(x)的周期，C选项错误．故选A.
(2)若函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支被直线y＝所截得的线段长为，则f()的值是________．
解析：由题意知函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的最小正周期为，所以ω＝＝8.
所以f()＝tan ＝tan ＝.
答案：
角度1　求正切型函数的单调区间
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　函数y＝tan (－3x＋)的单调递减区间为____________________．
【解析】　y＝tan (－3x＋)＝－tan (3x－).
由－＋kπ＜3x－＜＋kπ(k∈Z)，得－＋＜x＜＋(k∈Z)，
故函数y＝tan (－3x＋)的单调递减区间为
(－＋，＋)(k∈Z).
【答案】　(－＋，＋)(k∈Z)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的求法是当ω>0时，把ωx＋φ看成一个整体，解不等式－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把x的系数化为正值再求单调区间．
角度2　比较大小
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　比较下列各组中三角函数值的大小：
(1)tan 138°与tan 143°；
(2)tan (－)与tan (－).
【解】　(1)因为当90°＜x＜180°时，函数y＝tan x单调递增，且90°＜138°＜143°＜180° ，
所以tan 138°＜tan 143° .
(2)因为tan (－)＝tan (－＋3π)＝tan ，
tan (－)＝tan (－＋3π)＝tan ，且0＜＜＜，
结合函数y＝tan x在(0，)上单调递增，
所以tan ＜tan ，
即tan (－)＜tan (－).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用正切函数单调性比较大小关系．
角度3　值域与最值
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)函数y＝tan (x－)，x∈(－，)的值域为(　　)
A．(－，1) B．(－1，)
C．(1，) D．(，1)
(2)函数y＝－tan2x＋4tanx－1，x∈[－，]的值域为________．
【解析】　(1)设z＝x－，因为x∈(－，)，所以z∈(－，).
因为正切函数y＝tan z在(－，)上单调递增，且tan (－)＝－，tan ＝1，
所以tan z∈(－，1).故选A.
(2)令t＝tan x，y＝－t2＋4t－1，
因为函数t＝tan x在[－，]上单调递增，当x∈[－，]时，－1≤tan x≤1，即－1≤t≤1，
又因为函数y＝－t2＋4t－1在[－1，1]上单调递增，当t∈[－1，1]时，y＝－t2＋4t－1∈[－6，2]，所以函数y＝－tan2x＋4tanx－1，x∈[－，]的值域为[－6，2].
【答案】　(1)A　(2)[－6，2]
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求正切函数值域的方法
(1)对于y＝A tan (ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域．
(2)对于与y＝tan x相关的一元函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域．
[跟踪训练2] (1)设a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a＞c＞b B．a＜b＜c
C．a＞b＞c D．a＜c＜b
解析：选A.由题意得，函数y＝tan x在(0，)上单调递增且tan x＞0，在(，π)上单调递增且tan x＜0，因为0＜1＜＜2＜3＜π，所以tan 2＜tan 3＜0，tan 1＞0，所以a＞c＞b.故选A.
(2)函数f(x)＝tan (3x－)在[0，)上的值域为________．
解析：由x∈[0，)，可得3x－∈[－，)，根据正切函数的性质，可得tan (3x－)∈[－，＋∞)，即函数f(x)＝tan (3x－)在[0，)上的值域为.
答案：
(3)若函数y＝tan 3x在区间(m，)上单调递增，则实数m的取值范围为________．
解析：令kπ－＜3x＜kπ＋，k∈Z，解得－＜x＜＋，k∈Z，
令k＝0，则其一个单调递增区间为(－，)，则实数m的取值范围为[－，).
答案：[－，)
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．函数y＝的定义域为(　　)
A．[kπ－，kπ]，k∈Z
B．[kπ，kπ＋]，k∈Z
C．(kπ－，kπ＋]，k∈Z
D．[kπ＋，kπ＋)，k∈Z
解析：选C.由题意可得1－tan x≥0，且x≠＋kπ，k∈Z，即tan x≤1，
所以x∈(kπ－，kπ＋]，k∈Z.故选C.
2．(多选)已知函数f(x)＝tan (x＋)，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的定义域为
C.f(x)是奇函数
D．f() ＜f()
解析：选BD.对A，由f(x)＝tan (x＋)，得函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，故A错误；
对B，由x＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋kπ，k∈Z，所以f(x)的定义域为
，故B正确；
对C，由B知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)不具有奇偶性，故C错误；
对D，由B知f(x)在(，)上单调递增，又因为<<<，所以f()＜f()，故D正确．故选BD.
3．(教材P65T4改编)函数f(x)＝tan (x＋)的单调递增区间为________________．
解析：对于函数f(x)＝tan (x＋)，由kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)，
可得2k－＜x＜2k＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(2k－，2k＋)(k∈Z).
答案：(2k－，2k＋)(k∈Z)
4．已知函数f(x)＝a－tan 2x在闭区间[－，b]上的最大值为7，最小值为3，求实数a，b的值．
解：取－＜2x＜，解得－＜x＜，所以y＝tan 2x在(－，)上单调递增，
即f(x)＝a－tan 2x在(－，)上单调递减，因为f(x)在闭区间[－，b]上有最大值为7，最小值为3，所以－＜b＜，且f(b)＝3，f(－)＝7，即
解得
因为－＜b＜，所以b＝，
故a＝4，b＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：正切函数图象的画法；正切函数的性质．
2．须贯通：研究函数y＝A tan (ωx＋φ)的性质与图象时，仍遵循定义域优先的原则，视ωx＋φ为一个整体，借助正切函数的性质与图象解决有关问题．
3．应注意：(1)函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝，而不是T＝；(2)函数y＝tan x在定义域内不单调，对称中心为(，0)(k∈Z).