8　课后达标 检测（教师版）

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1．简谐运动f(x)＝2sin 的图象经过点P(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
A．T＝6，φ＝
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
D．T＝6π，φ＝
解析：选A.由周期公式知T＝＝6，当x＝0时，由f(x)＝2sin φ＝1及|φ|＜知φ＝.故选A.
2. 已知单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式为S(t)＝3sin (t＋)，则单摆来回摆动的振幅和摆动一次所需的时间分别为(　　)
A．3 cm，4 s B．－3 cm，4 s
C．3 cm，2 s D．－3 cm，2 s
解析：选A.由题意得单摆来回摆动的振幅为3 cm，摆动一次所需的时间为T＝＝4 s．故选A.
3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(单位：s)时离开平衡位置的位移s1(单位：cm)和s2(单位：cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin (2t＋)，s2＝5cos (2t－).则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是(　　)
A．s1＞s2 B．s1＜s2
C．s1＝s2 D．s1≥s2
解析：选C.当t＝时，s1＝5sin (2×＋)＝－5，s2＝5cos (2×－)＝－5，所以s1＝s2.
4．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin (0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列时间段内车流量逐渐增加的是(　　)
A．[0，5] B．[5，10]
C．[10，15] D．[15，20]
解析：选C.由函数y＝sin x的单调递增区间为－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋2kπ≤≤＋2kπ，k∈Z，解得－π＋4kπ≤t≤π＋4kπ，k∈Z，当k＝1时，3π≤t≤5π，因为[10，15] [3π，5π].故选C.
5．重庆被誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分(开口向下的抛物线)与主桁(图中粗线)部分(可视为余弦函数一个周期的图象)相结合．已知桥拱部分长552 m，两端引桥各有190 m，主桁最高处距离桥面89.5 m，则将下列函数等比例放大后，与主桁形状最相似的是(　　)
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A．y＝0.45cos x
B．y＝4.5cos x
C．y＝0.9cos x
D．y＝9cos x
解析：选A.设主桁(图中粗线)部分对应的余弦函数为f(x)＝A cos ωx，可得函数的周期为T＝552＋190×2＝932，即ω＝＝，又由2A＝89.5，解得A＝，所以函数的解析式为f(x)＝
cos x，按1∶100的比例等比变换，可得f(x)＝cos x，对比选项，可得与函数y＝0.45cos x相似．故选A.
6．(多选)阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝2sin (ωt＋φ)，其中ω＞0，若该阻尼器模型在摆动过程中位移为1 cm的相邻时刻差为，则ω的可能取值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选AC.令2sin (ωt＋φ)＝1，则ωt＋φ＝2kπ＋，k∈Z或ωt＋φ＝2kπ＋，k∈Z，得t＝，k∈Z或t＝，k∈Z，
所以两相邻时刻差为或，
当＝时，得ω＝2；当＝时，得ω＝4.故选AC.
7．点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系式为________________．
解析：设位移x关于时间t的函数为x＝f(t)＝A sin (ωt＋φ)(ω>0)，
根据题中条件，可得A＝3，周期T＝＝3，故ω＝，
由题意可知当t＝0时，f(t)取得最大值3，故3sin φ＝3，则φ＝＋2kπ，
所以x＝3sin ＝3sin ＝3cos t.
答案：x＝3cos t
8．国际油价P(单位：美元)在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝A sin ＋60，t为天数，A>0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价为80美元，当t＝150时，油价最低，则ω的最小值为________．
解析：由A＋60＝80得A＝20，且150πω＋＝－＋2kπ，k∈Z，解得ω＝－＋，k∈Z，又因为ω>0，
所以k＝1时，ω取最小值为.
答案：
9．函数f(n)＝200cos (n＋)＋300(n∈{1，2，3，…，12}为月份)近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则当n＝________时，游客流量最大．
解析：因为n∈{1，2，3，…，12}，所以n＋∈{，π，，，，，，2π，，，，}，所以当n＋＝2π，即n＝8时，cos (n＋)取得最大值1，所以当n＝8时，f(n)取得最大值， 又游客流量越大所需服务工作的人数越多，
所以当n＝8时，游客流量最大．
答案：8
10．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足p(t)＝115＋25sin (160πt)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min).求：
(1)此人每分钟心跳的次数；
(2)此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．
解：(1)函数p(t)＝115＋25sin (160πt)的最小正周期T＝＝，根据题意可知，在一个周期内，心脏跳动一次，所以此人每分钟心跳的次数为＝80.
(2)由题意得，p(t)max＝115＋25＝140，p(t)min＝115－25＝90，所以此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，与标准值120/80 mmHg相比较，此人血压偏高．
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11．如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)
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解析：选C.设 所对的圆心角为α，则α＝l，弦AP的长d＝2·|OA|·sin ，
即有d＝f(l)＝2sin .故选C.
12．(多选)对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单位：℃)与时间t(单位：h)近似地满足函数关系θ＝A sin ωt＋B(A>0，B>0，0<ω<)，其中0≤t≤24.已知当天开始计时(t＝0)时的温度为25 ℃，第二天凌晨3：00时温度最低为19 ℃，则(　　)
A．ω＝
B．当天下午3：00温度最高
C．温度为28 ℃是当天晚上7：00
D．从当天晚上11：00到第二天清晨5：00温度都不高于22 ℃
解析：选ABD.当 t＝0时，θ＝25 ℃，所以B＝25，第二天凌晨3：00时温度最低为19 ℃，此时t＝18，
所以所以A正确．
f(t)＝6sin t＋25，令t＝即t＝6时f(t)取得最大值，t＝6对应当天下午3：00，B正确．
f(t)＝28，解得t＝2或t＝10，即为当天上午11：00或当天晚上7：00，C错误．
令f(t)≤22，即6sin t＋25≤22，
解得－＋2kπ≤t≤－＋2kπ，k∈Z，
即－10＋24k≤t≤－2＋24k，k∈Z.
当k＝1时，14≤t≤22，即从当天晚上11：00到第二天清晨7：00温度都不高于22 ℃，D正确．故选ABD.
13．如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．
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(1)点P距离水面的高度z(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数为__________________________；
(2)点P第一次到达最高点需要的时间为________s.
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解析：(1)如图，建立平面直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度为＝，又水轮的半径为4 m，圆心O距离水面2 m，
所以z＝4sin ＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，
即φ＝－.故所求的函数表达式为
z＝4sin ＋2(t≥0).
(2)令z＝4sin ＋2＝6，
得sin ＝1.
令t－＝，得t＝4.
故点P第一次到达最高点需要4 s.
答案：(1)z＝4sin ＋2(t≥0)　(2)4
14.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0 ℃时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温(单位：℃)随时间t(0≤t≤24，单位：h)的大致变化曲线，若该曲线近似满足函数关系：f(t)＝A sin (ωt－)＋b(A>0，ω>0).
(1)求y＝f(t)的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
解：(1)因为f(t)＝A sin (ωt－)＋b(A>0，ω>0)图象上最低点的坐标为(2，－4)，与之相邻的最高点坐标为(14，12)，所以A＝＝8，＝14－2＝12，b＝－4＋A＝－4＋8＝4，
所以T＝＝24，解得ω＝.
所以f(t)＝8sin (t－)＋4，0≤t≤24.
(2)由(1)得，8sin (t－)＋4<0，
所以sin (t－)<－，
所以＋2kπ解得22＋24k因为0≤t≤24，所以0≤t<6，22所以该商场的中央空调在一天内开启的时长为8 h．
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15.如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线(也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线)，它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点P，其对应的方程为|y|＝|sin ωx|(x≥0，其中[x]为不超过x的最大整数，0<ω<5).若该葫芦曲线上一点M到y轴的距离为π，则点M到x轴的距离为(　　)
A． B． C． D．
解析：选D.将P代入|y|＝·|sin ωx|中得，＝2，
即＝1，因为0<ω<5，所以0<<，所以＝，解得ω＝2，故|y|＝·|sin 2x|，当x＝π时，|y|＝＝＝.故选D.
16.某研究小组调查了某港口水深情况，发现在一天(24 h)之内呈周期性变化，且符合函数f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋k(A>0，ω>0，－<φ<)，其中f(t)为水深(单位：m)，t为时间(单位：h)，t∈[0，24).研究小组绘制了水深图．
(1)求f(t)的解析式；
(2)某艘货船满载时吃水深度为4.5 m，空载时为2.5 m，按安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(船底与海底之间的距离)，问：
①该船满载时一天之内何时能进出港口？
②该船凌晨3点已经在港口卸货完毕准备空载离港，为确保安全，需在安全水深到达前半小时提前离港，问最迟在几点之前离港才能确保安全？
解：(1)由题意得
解得T＝2×(8－2)＝12＝，
所以ω＝.
当t＝2时，f(t)最大，所以2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z.又φ∈ ，
所以φ＝，所以f(t)＝2sin ＋5，t∈[0，24).
(2)①由题意得2sin ＋5≥4.5＋1.5，得sin ≥，
所以2kπ＋≤t＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得12k≤t≤12k＋4，k∈Z.
因为t∈[0，24)，所以k＝0或k＝1，所以0≤t≤4或12≤t≤16，
所以该船满载时，在一天之内从0点到4点或从12点到16点能安全进出港口．
②空载时由2sin ＋5≥2.5＋1.5，得sin ≥－，
所以2kπ－≤t＋≤2kπ＋，k∈Z，
所以12k－2≤t≤12k＋6，k∈Z.
又t∈[0，24)，
所以0≤t≤6或10≤t≤18或22≤t<24，
因为6－0.5＝5.5，
所以最迟在五点半之前离港可确保安全．