8　三角函数的简单应用（教师版）

§8　三角函数的简单应用
1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型．　2.初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题．
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INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
温州市区著名景点——江心屿，江心屿上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中有一副非常知名的对联，上联是：云朝朝　朝朝朝　朝朝朝散；下联是：潮长长　长长长　长长长消．该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面．如表是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：
时间 0 1 3 6 8 9 12 15 18 21 24
水深 6 6.25 7.5 5 2.84 2.5 5 7.5 5 2.5 5
思考1　仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？
提示：水深随时间的变化呈周期变化．
思考2　以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中数据对应的点描在平面直角坐标系中，你能得到什么结论？
提示：若用平滑的曲线顺次连接各点，则大致呈正弦曲线．
利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤
第一步：阅读理解，审清题意．
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：收集、整理数据，建立数学模型．
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化．
第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答．
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案．
【即时练】
1．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，当t∈[0，60](单位：s)时，A，B两点间的距离为d(单位：cm)，则d＝(　　)
A．5sin B．10sin
C．5sin D．10sin
解析：选D.由题知，圆心角∠AOB＝，过O作AB的垂线(图略)，则AB＝2×5×sin ＝10sin ，故选D.
2．某港口在一天24 h内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin (t－)，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是______m.
解析：当t＝12时，f(12)＝2sin (5π－)＝2sin ＝1，即12点时潮水的高度是1 m．
答案：1
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
三角函数模型的建立程序如下：
INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/23K50.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/23K50.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　为弘扬中华民族优秀传统文化，春节前后，各地积极开展各种非遗展演、文化庙会活动．某地庙会每天8点开始，17点结束．通过观察发现，游客数量f(x)(单位：人)与时间x之间，可以近似地用函数f(x)＝600sin (ωx＋φ)＋k(ω>0，|φ|<)来刻画，其中x∈[8，17]，8点开始后，游客逐渐增多，10点时大约为350人，14点时游客最多，大约为1 250人，之后游客逐渐减少．
(1)求出函数f(x)的解析式；
(2)腊月二十九，为了营造幸福祥和的氛围，该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字，计划选一时段分发给每位游客，为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在什么时间赠送福字？
【解】　(1)由题意得f(10)＝350，f(14)＝1 250，且sin (14ω＋φ)＝1，
故
故
又ω>0，|φ|<，解得ω＝，φ＝，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝600sin (x＋)＋650，x∈[8，17].
(2)当x∈[8，17]时，x＋∈，
令600sin ＋650＝950，解得x＋＝或x＋＝，解得x＝12或x＝16，
结合函数图象(图略)及x∈[8，17]，可得当x∈[8，12]或x∈[16，17]时，可保证在场的游客都能得到福字，所以应选择在8点到12点或16点到17点两个时间段赠送福字．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
已知函数模型求解实际问题的一般思路
(1)这类题一般明确指出了周期现象满足的变化规律，例如，周期现象可用形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b或y＝A cos (ωx＋φ)＋b的函数来刻画，解这样的题只需根据已知条件确定参数，求出函数解析式，再代入计算即可．
(2)对于函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，最大值为b＋A，最小值为b－A.
[跟踪训练1] 音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为__________．
INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/25PM22.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/25PM22.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：由题中图象可得，ω>0，T＝4×＝，即＝，则ω＝400π.
答案：400π
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/25BN8.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/25BN8.TIF" \* MERGEFORMAT
A．点P再次进入水中时用时30秒
B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D．点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒
【解析】　由题意，角速度ω＝＝(弧度/秒)，又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP0与水面所成角为，点P再次进入水中用时为＝40(秒)，故A错误；
当水轮转动50秒时，半径OP0转动了50×＝(弧度)，而－＝，点P正好处于最低点，故B正确；
INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/25BN9.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/25BN9.tif" \* MERGEFORMAT
建立如图所示的平面直角坐标系，
设点P距离水面的高度
H＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，
由
得
又角速度ω＝＝(弧度/秒)，
当t＝0时，∠tOP0＝，
所以ω＝，φ＝－，
所以点P距离水面的高度H＝2sin (t－)＋1，当水轮转动150秒时，将t＝150代入，得H＝2，所以此时点P距离水面2米，故C正确；
将H＝1＋代入H＝2sin ＋1中，
得t－＝2kπ＋(k∈N)或t－＝2kπ＋(k∈N)，
即t＝60k＋15或t＝60k＋25(k∈N).
所以点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒，故D正确．
【答案】　BCD
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
建立三角函数模型解决实际问题的步骤
INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/WQ21.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/WQ21.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练2] 如图，质点P在半径为2 cm的圆周上按逆时针方向匀速运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1 rad/s.　
(1)求点P的纵坐标y关于时间t的函数解析式；
(2)求点P的运动周期和频率．
解：(1)由P0(，－)，得∠P0Ox＝－，
角速度为1 rad/s，点P从P0逆时针运动t s后，∠P0OP＝t，所以∠xOP＝t－，
所以点P的纵坐标y关于时间t的函数解析式为y＝2sin (t－)(t≥0).
(2)由(1)知点P的运动周期为T＝＝2π，
所以频率为f＝＝.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．如图所示是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(单位：s)满足函数解析式θ＝sin ，则当t＝0时，角θ的大小及单摆的频率是(　　)
A．， B．2， C．，π D．2，π
解析：选A.当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆的周期为＝π，故单摆的频率为.
2．(多选)已知一质点做简谐运动的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/RASX-6.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/RASX-6.TIF" \* MERGEFORMAT
A．该质点的运动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8 s
解析：选BCD.由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，所以A错误，D正确；
该质点的振幅为5，所以B正确；
由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确．故选BCD.
3.如图，摩天轮的半径为50 m, 圆心O距地面的高度为60 m．已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15 min转动一圈．游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．游客进入摩天轮的舱位，开始转动5 min 后，他距离地面的高度为________m．
解析：因为摩天轮的半径为50 m, 圆心O距地面的高度为60 m，设在t min时，距离地面的高度为h＝60＋50sin (ωt＋φ)，其中－π＜φ＜π，由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15 min转动一圈，可得＝15，所以ω＝，即h＝60＋50sin (t＋φ)，
当t＝0时，可得60＋50sin φ＝10，
即sin φ＝－1，解得φ＝－，
所以h＝60＋50sin (t－)＝60－50cos t，令t＝5，可得h＝60－50cos (×5)＝60＋25＝85.
答案：85
4．已知某地一天中4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin ＋20，x∈[4，16].
(1)求该地区这一段时间内的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
解：(1)因为x∈[4，16]，所以x－∈，令x－＝，解得x＝14，所以当x＝14时，函数取最大值，此时最高温度为30 ℃；令x－＝－，解得x＝6，所以当x＝6时，函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，所以该地区这一段时间内的最大温差为20 ℃.
(2)令10sin ＋20＝15，可得sin ＝－，则x－＝－，所以x＝.令10sin ＋20＝25，可得sin ＝，则x－＝，所以x＝.当x∈时，x－∈，所以y在上单调递增，所以－＝(h).故该细菌能存活的最长时间为 h．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：三角函数在物理、几何及实际生活中的应用．
2．须贯通：面对实际问题，能够迅速地建立适当的数学模型是一种重要的基本技能，把问题中的“条件”逐条“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．
3．应注意：(1)注意函数的定义域，尤其是实际意义；
(2)注意作结论时应回到实际问题中．