湖北省直天门、仙桃、潜江2025-2026学年度第一学期高三教学质量监测数学试题(含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北省直天门、仙桃、潜江2025-2026学年度第一学期高三教学质量监测数学试题(含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 157.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
湖北天门、仙桃、潜江2025-2026学年度第一学期高三教学质量监测
数学试题
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. 或 B. 或
C. D.
3.某学术会议有个相邻座位编号至，安排来自所不同大学的位教授入座，每校人甲校、乙校、丙校，要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知数列的前项和为，且满足，若数列满足，则数列是( )
A. 单调递增数列 B. 单调递减数列 C. 常数列 D. 等比数列
5.一个质点在随机外力的作用下，从数轴上数字所对应的位置出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为，则秒后质点最有可能落在数轴上 所对应的位置．
A. B. C. D.
6.已知三点，点在圆上运动，则的值不可能取到的值是( )
A. B. C. D.
7.已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知正实数满足，则的大小关系不可能是( )
A. B. C. D.
9.下列关于函数的说法中正确的有( )
A. 函数的值域为 B. 函数的最小正周期为
C. 函数在其一个周期内是单调递减函数 D. 函数图象关于对称
10.定义：双曲线与双曲线互为共轭双曲线已知函数的图象是一条双曲线，记为曲线，下列关于曲线的说法正确的有( )
A. 曲线的渐近线为和
B. 曲线的顶点坐标为和
C. 直线是曲线的一条对称轴
D. 曲线的共轭双曲线方程为
11.已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，正方体过三点的截面记为截面，则( )
A. 截面的面积为
B. 直线与截面所成角的正弦值为
C. 在截面上存在一点，使得直线截面
D. 若点是平面上一点且满足，则动点的轨迹所围成几何图形的面积为
12.小龙虾是江汉平原的一种特色美食，它的口味有多种，据调查江汉平原地区喜欢麻辣口味的食客占，喜欢蒜蓉口味的食客占，既喜欢麻辣口味又喜欢蒜蓉口味的食客占，现从不喜欢蒜蓉口味的食客中随机抽取一人，则此人喜欢麻辣口味的概率为 ．
13.已知函数，若函数有四个零点，那么实数的取值范围是 ；记四个零点从左至右为，那么的取值范围为 ．
14.将数列中随机剔除两项其中然后在原数列中添加一项叫做数列的一次变换，那么数列经过次变换后数列中还剩下的一项为 ．
15.已知函数．
若，求实数的取值范围；
试证明不等式．
16.在中，角对应边分别为，且，的面积．
求角的大小；
设边的中点为，与的外接圆交于一点异于点，求的最小值．
17.如图，已知圆台上底面半径为，下底面半径为，高为，为圆台的轴截面，点是下底面圆周上一点且为线段的中点．
求证：平面；
求四面体的体积；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.已知是圆上一动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上且，动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过作轴的垂线与曲线在第一象限交于点，过点的两条直线交曲线于另外两点，若直线的斜率之和为，试证明直线过定点；
在的条件下，设所过定点为，试问曲线上是否存在第二象限的点，使得最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
19.数列是公差不为的等差数列，从集合其中中任取三项，记为这三项能成等差数列的概率．
求；
讨论与的大小关系，并给出证明；
求出所有满足的正整数的值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由 得，
。
可化为 ，
令，则。
令 得， 得，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 的最小值为，
所以；
法一：由可知，即，故时，等号成立，
下证，即证，
因为，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，
故．
又不能同时取“”，所以．
法二：要证明不等式；令，，
只需证，
由，得，
当时，，当时，，
所以在单增，在单减，
所以，
，因为，
所以．
16.解：由 得：，
即，两边约去，
得，故；
由余弦定理 及，
得，
在 中，为中线，则，
即，
整理得，
在外接圆中，由相交弦定理得，
即，
故
由 及基本不等式，得，
当 时，．
17.解：在 中，为 的中点，为 的中点，
则 是 的中位线，所以．
又平面，平面，故平面．
；
即四面体的体积为．
以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，
则：，
向量，，设平面 的法向量，
则：
令，解得，得，
，设平面 的法向量，
则：
设，则，得，
设平面与平面的夹角为，
．
平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：由平面几何知识可得，则，因为，所以，
因为，则，
所以，即动点 的轨迹是以 为焦点的双曲线，，
所以，
故双曲线方程为；
法一：由题可知
设直线 的方程为，，
联立 与 得：，
则，
又，代入，，化简得：
，
所以，，即，
故或，
当 时，直线 过定点与点重合，舍去，
当 时，直线 的方程化为，过定点，故直线过定点 ．
法二：平移齐次化
以为基准点将整个图像左移个单位，下移个单位即将移到原点，
所以双曲线方程变为，
设直线的方程为，齐次化，
所以，所以，
所以，
即，
两边同除以：，
所以，
因为，平移前后斜率相等，所以，
，所以，即，
所以直线方程为过定点，所以平移之前直线过定点．
由双曲线定义可知，只需找 的最大值，
因为三角形两边之差小于第三边，
当 在直线延长线与双曲线第二象限交点时等号成立，其中，
验证可知直线 与双曲线 联立，
解得第二象限交点存在，故．
19.解：从中取三项成等差数列等价于下标成等差数列．
从中取三项的选法总数为种，能构成等差数列的组合有和两种，故
设为从 中取三个不同数成等差数列的取法总数，则
当时，，
故
当时，，
故
因为，，故对，均有
由单调递减，求满足的最大：
偶数情形：，即满足；
奇数情形：，故不满足，时满足，时满足；
综上，满足条件的正整数为．
数学试题
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. 或 B. 或
C. D.
3.某学术会议有个相邻座位编号至，安排来自所不同大学的位教授入座，每校人甲校、乙校、丙校，要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知数列的前项和为，且满足，若数列满足，则数列是( )
A. 单调递增数列 B. 单调递减数列 C. 常数列 D. 等比数列
5.一个质点在随机外力的作用下，从数轴上数字所对应的位置出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为，则秒后质点最有可能落在数轴上 所对应的位置．
A. B. C. D.
6.已知三点，点在圆上运动，则的值不可能取到的值是( )
A. B. C. D.
7.已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知正实数满足，则的大小关系不可能是( )
A. B. C. D.
9.下列关于函数的说法中正确的有( )
A. 函数的值域为 B. 函数的最小正周期为
C. 函数在其一个周期内是单调递减函数 D. 函数图象关于对称
10.定义：双曲线与双曲线互为共轭双曲线已知函数的图象是一条双曲线，记为曲线，下列关于曲线的说法正确的有( )
A. 曲线的渐近线为和
B. 曲线的顶点坐标为和
C. 直线是曲线的一条对称轴
D. 曲线的共轭双曲线方程为
11.已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，正方体过三点的截面记为截面，则( )
A. 截面的面积为
B. 直线与截面所成角的正弦值为
C. 在截面上存在一点，使得直线截面
D. 若点是平面上一点且满足，则动点的轨迹所围成几何图形的面积为
12.小龙虾是江汉平原的一种特色美食，它的口味有多种，据调查江汉平原地区喜欢麻辣口味的食客占，喜欢蒜蓉口味的食客占，既喜欢麻辣口味又喜欢蒜蓉口味的食客占，现从不喜欢蒜蓉口味的食客中随机抽取一人，则此人喜欢麻辣口味的概率为 ．
13.已知函数，若函数有四个零点，那么实数的取值范围是 ；记四个零点从左至右为，那么的取值范围为 ．
14.将数列中随机剔除两项其中然后在原数列中添加一项叫做数列的一次变换，那么数列经过次变换后数列中还剩下的一项为 ．
15.已知函数．
若，求实数的取值范围；
试证明不等式．
16.在中，角对应边分别为，且，的面积．
求角的大小；
设边的中点为，与的外接圆交于一点异于点，求的最小值．
17.如图，已知圆台上底面半径为，下底面半径为，高为，为圆台的轴截面，点是下底面圆周上一点且为线段的中点．
求证：平面；
求四面体的体积；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.已知是圆上一动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上且，动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过作轴的垂线与曲线在第一象限交于点，过点的两条直线交曲线于另外两点，若直线的斜率之和为，试证明直线过定点；
在的条件下，设所过定点为，试问曲线上是否存在第二象限的点，使得最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
19.数列是公差不为的等差数列，从集合其中中任取三项，记为这三项能成等差数列的概率．
求；
讨论与的大小关系，并给出证明；
求出所有满足的正整数的值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由 得，
。
可化为 ，
令，则。
令 得， 得，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 的最小值为，
所以；
法一：由可知，即，故时，等号成立，
下证，即证，
因为，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，
故．
又不能同时取“”，所以．
法二：要证明不等式；令，，
只需证，
由，得，
当时，，当时，，
所以在单增，在单减，
所以，
，因为，
所以．
16.解：由 得：，
即，两边约去，
得，故；
由余弦定理 及，
得，
在 中，为中线，则，
即，
整理得，
在外接圆中，由相交弦定理得，
即，
故
由 及基本不等式，得，
当 时，．
17.解：在 中，为 的中点，为 的中点，
则 是 的中位线，所以．
又平面，平面，故平面．
；
即四面体的体积为．
以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，
则：，
向量，，设平面 的法向量，
则：
令，解得，得，
，设平面 的法向量，
则：
设，则，得，
设平面与平面的夹角为，
．
平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：由平面几何知识可得，则，因为，所以，
因为，则，
所以，即动点 的轨迹是以 为焦点的双曲线，，
所以，
故双曲线方程为；
法一：由题可知
设直线 的方程为，，
联立 与 得：，
则，
又，代入，，化简得：
，
所以，，即，
故或，
当 时，直线 过定点与点重合，舍去，
当 时，直线 的方程化为，过定点，故直线过定点 ．
法二：平移齐次化
以为基准点将整个图像左移个单位，下移个单位即将移到原点，
所以双曲线方程变为，
设直线的方程为，齐次化，
所以，所以，
所以，
即，
两边同除以：，
所以，
因为，平移前后斜率相等，所以，
，所以，即，
所以直线方程为过定点，所以平移之前直线过定点．
由双曲线定义可知，只需找 的最大值，
因为三角形两边之差小于第三边，
当 在直线延长线与双曲线第二象限交点时等号成立，其中，
验证可知直线 与双曲线 联立，
解得第二象限交点存在，故．
19.解：从中取三项成等差数列等价于下标成等差数列．
从中取三项的选法总数为种，能构成等差数列的组合有和两种，故
设为从 中取三个不同数成等差数列的取法总数，则
当时，，
故
当时，，
故
因为，，故对，均有
由单调递减，求满足的最大：
偶数情形：，即满足；
奇数情形：，故不满足，时满足，时满足；
综上，满足条件的正整数为．
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