1　周期变化　2　任意角（教师版）

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§1　周期变化
§2　任意角
1.了解现实生活中的周期现象，会利用周期函数的定义判断函数是否为周期函数．　2.了解最小正周期的定义，会求某些周期函数的最小正周期．　3.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角．　4.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合．　5.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题．
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INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
同学们，在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题中的角不仅有超出0°～360°范围的角，而且旋转的方向也不相同．为了准确地描述这些问题，我们需要扩大角的范围．
思考1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？
提示：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°.
思考2　小明要将射线OA绕着端点O旋转到OB位置．请问有几种旋转方向？
提示：两种，分别为顺时针方向与逆时针方向．
思考3　小明要将射线OA绕着端点O旋转到OB位置．请问旋转的角度确定吗？
提示：不确定，旋转的角度可以相差周角的整数倍．
1．一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有______________，且满足f(x＋T)＝____________，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．
2．如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期．
[答案自填] x＋T∈D　f(x)
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)探索下图所呈现的规律，判断2 022至2 024箭头的方向是(　　)
　　　　　　
(2)已知函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x).
①证明：函数f(x)是周期函数；
②若f(－1)＝1，求f(985).
【解】　(1)选C.由题图易知，周期T＝4，
因为2 022＝4×505＋2，
所以2 022至2 024箭头的方向和2至4箭头的方向相同，故选C.
(2)①证明：由于f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．
②由①知函数f(x)的周期为4，故 f(985)＝f(4×246＋1)＝f(1)＝f(－1＋2)＝－f(－1)＝－1.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
判断函数周期性的方法
(1)观察函数图象判断周期性，关键是观察图象是否是周而复始重复出现．
(2)用定义法判断周期性，关键是证明对于任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x).
[跟踪训练1] 定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x)＋f(x＋1)＋f(x＋2)＝3(x∈R)，f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝－1.
(1)求证：函数f(x)为周期函数；
(2)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(211)的值．
解：(1)证明：因为f(x)＋f(x＋1)＋f(x＋2)＝3，所以f(x＋1)＋f(x＋2)＋f(x＋3)＝3，两式相减得f(x)＝f(x＋3)，所以函数f(x)是周期为3的周期函数．
(2)由(1)可知f(1)＋f(2)＋f(3)＝3，f(4)＋f(5)＋f(6)＝3，…，f(208)＋f(209)＋f(210)＝3，f(211)＝f(70×3＋1)＝f(1)＝1，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(211)＝70[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(1)＝70×3＋1＝211.
1．角的概念
如图，平面内一条射线OA绕着它的____________按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的________，射线OA是角α的________，射线OB是角α的________．
2．角的分类(按旋转方向分为三类)
INCLUDEPICTURE "25SBE1学.TIF" INCLUDEPICTURE "../../25SBE1学.TIF" \* MERGEFORMAT
[答案自填] 端点O　顶点　始边　终边　逆时针　顺时针　没有作任何
【即时练】
1．(多选)下列说法错误的是(　　)
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边与始边都相同的两个角一定相等
C．小于90°的角是锐角
D．始边相同而终边不同的两个角一定不相等
解析：选ABC.对于A，周角的终边与始边也是重合的，故A错误；对于B，终边与始边都相同的两个角不一定相等，比如30°角，390°角的终边和始边相同，但两个角不相等，故B错误；对于C，锐角为大于0°小于90°的角，所以小于90°的角不一定是锐角，故C错误；对于D，始边相同而终边不同的两个角，旋转量不一样，所以两个角一定不相等，故D正确．故选ABC.
2．射线OA绕端点O逆时针旋转270°到达OB的位置，再顺时针旋转120°到达OC的位置，则∠AOC＝________．
解析：逆时针旋转是正角，顺时针旋转是负角，所以∠AOC＝270°－120°＝150°.
答案：150°
3．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________.
解析：因为时针每小时转30°，分针每小时转360°，又因为时针、分针都按顺时针方向旋转，故时针转过的角度数为－3×30°＝－100°，分针转过的角度数为－3×360°＝－1 200°.
答案：－100°　－1 200°
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
任意角的理解
(1)正确理解零角、正角、负角、锐角、钝角、周角等概念．
(2)处理任意角问题的两个关键点：
①定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，由顺时针方向旋转形成的角为负角．
②定大小：根据旋转角度的绝对值确定角的大小．
一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________________，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________________的和．
[答案自填] α＋k·360°　周角的整数倍
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例2、例3)写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合－360°<β<720°的元素β写出来．
【解】　如图，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个，即45°和225°角．因此，终边在直线y＝x上的角的集合S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}．由于－360°<β<720°，即－360°<45°＋k·180°<720°，k∈Z，解得－45°－2×180°＝－315°，
45°－1×180°＝－135°，
45°＋0×180°＝45°，
45°＋1×180°＝225°，
45°＋2×180°＝405°，
45°＋3×180°＝585°.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在0°～360°内，终边在直线上的角；
②用终边相同的角的表示方法写出角的集合；
③根据条件能合并一定要合并，使结果简洁．
(2)三个常用结论
①终边相同的角之间相差360°的整数倍；
②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；
③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
[跟踪训练2] (1)若角2α与240°角的终边相同，则α＝(　　)
A．120°＋k·360°，k∈Z
B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z
D．240°＋k·180°，k∈Z
解析：选B.角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.故选B.
(2)(多选)与－330°角终边相同的角是(　　)
A．390° B．－30°
C．30° D．－370°
解析：选AC.因为390°＝－330°＋2×360°，－30°＝－330°＋300°，30°＝－330°＋360°，－370°＝－330°－40°，所以，与－330°角终边相同的角是390°角，30°角．故选AC.
(3)终边在直线y＝x上的角β的集合S＝________________．
解析：在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个，即30°和210°角(如图)，
所以终边在直线y＝x上的角的集合是
S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝210°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}．
答案：{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}
在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在______________．以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是____________；如果角的终边在____________上，这个角就不属于任何象限．
[答案自填] x轴的非负半轴　第几象限角
坐标轴
角度1　象限角的判定
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例1)在0°～720°范围内，写出与－1 050°角终边相同的角的集合，并判断－1 050° 角是第几象限角．
【解】　与－1 050°角终边相同的角可以表示为α＝－1 050°＋k·360°(k∈Z)，
由0°≤－1 050°＋k·360°<720°，k∈Z，解得k＝3或k＝4，
当k＝3时，－1 050°＋3×360°＝30°，
当k＝4时，－1 050°＋4×360°＝390°，
所以在0°～720°范围内，与－1 050°角终边相同的角的集合为{30°，390°}．
因为30°角为第一象限角，所以－1 050°角为第一象限角．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求符合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值(或对k赋值)，从而求出满足条件的角．
[跟踪训练3] 求与3 900°角终边相同的最小正角和最大负角，并指出3 900°角是第几象限角．
解：因为3 900°＝300°＋10×360°，所以3 900°角与300°角终边相同，是第四象限角，所以与3 900°角终边相同的角可以表示为α＝300°＋k·360°(k∈Z)，当k＝0时，α＝300°；当k＝－1时，α＝－60°.所以与3 900°角终边相同的最小正角为300°，最大负角为－60°，3 900°角是第四象限角．
角度2　区域角的表示
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图，阴影部分表示角α的终边所在的位置，试写出角α的集合．
【解】　①{α|－30°＋k·360°≤α≤k·360°，k∈Z}∪{α|150°＋k·360°≤α≤180°＋k·360°，k∈Z}＝{α|－30°＋2k·180°≤α≤2k·180°，k∈Z}∪{α|－30°＋(2k＋1)·180°≤α≤(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|－30°＋k·180°≤α≤k·180°，k∈Z}．
②{α|－30°＋k·360°<α<60°＋k·360°，k∈Z}．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°.
第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
[跟踪训练4] 已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，试写出角β的集合．
解：终边落在x轴上方阴影部分的角的集合为A＝{β|k·360°＋60°≤β角度3　判定分角、倍角所在的象限
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　若角α是第一象限角，则角2α，各是第几象限角？
【解】　因为角α是第一象限角，
所以k·360°<α所以k·720°<2α故角2α是第一或第二象限角或是终边在y轴的非负半轴上的角．
方法一：由(*)式得k·180°<①当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，
得n·360°<②当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋180°<综合①②知，角是第一或第三象限角．
方法二：
如图，将各象限分成两等份，再从x轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅰ的区域(阴影部分)即为角的终边所在的区域，故角是第一或第三象限角．
【变式探究】
1．(条件变式)若角α是第三象限角，则角是第几象限角？
解：如本例方法二解析图所示，标有Ⅲ的区域即为角的终边所在的区域，故角是第二或第四象限角．
2．(设问变式)若角α是第一象限角，则角是第几象限角？
解：如图，将各象限分成三等份，再从x轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅰ的区域(阴影部分)即为角的终边所在的区域，故角是第一、第二或第三象限角．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
由角α所在象限确定角nα或所在象限的方法
(1)用不等式表示角α的范围，再确定角nα或的范围，再判断角所在象限．
(2)数形结合法，等分象限，确定角所在象限，即求角所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按逆时针顺序标记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，找到原象限数字即可．
[跟踪训练5] (1)(多选)角的终边在第三象限，则角θ的终边可能在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．y轴非负半轴 D．第三或四象限
解析：选ABC.因为角的终边在第三象限，所以180°＋k·360°<<270°＋k·360°，k∈Z，所以360°＋k·720°<θ<540°＋k·720°，k∈Z.所以角θ的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴．故选ABC.
(2)已知角α的终边在图中阴影部分内，则角2α的终边一定不在第________象限．
解析：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，
终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，
因此，终边在题图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
设β＝2α，则角β的取值范围为{β|60°＋k·360°≤β<210°＋k·360°，k∈Z}，
所以角2α的终边一定不在第四象限．
答案：四
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已知角α＝563°，那么α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.因为α＝563°＝360°＋203°，又180°<203°<270°，所以α的终边在第三象限．故选C.
2．已知函数y＝f(x)的周期为1，且当0解析：由题意可知，函数f(x)的周期为1，f＝f＝f＝＝.
答案：
3.如图所示，终边落在阴影部分的角α的集合是______________．
解析：因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式，所以题图中终边落在阴影部分的角α的集合为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
答案：{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}
4．(教材P8练习T3改编)写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角．
解：与75°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．当360°≤β<1 080°，即360°≤k·360°＋75°<1 080°时，解得≤k<.又k∈Z，所以k＝1或k＝2.
当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.
综上所述，在360°～1 080°范围内且与75°角终边相同的角为435°角和795°角．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：周期变化、角的概念、终边相同的角、象限角与区域角．
2．须贯通：终边相同的角以及区域角的表示．
3．应注意：(1)终边相同的角的表示中勿漏掉k∈Z；
(2)表示区域角时，按逆时针旋转方向来确定区域的始边与终边所对应的角．