3　弧度制（教师版）

§3　弧度制
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．　2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．　3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．
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同学们，弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度，世界才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵…….而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变．
思考1　在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？
提示：1度的角等于周角的.
思考2　在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？
提示：圆心角是确定的．
思考3　射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在旋转过程中，射线OA上的两点P，Q(不同于点O)形成的轨迹的长度为l，l1，其中OP＝r，OQ＝r1，在旋转过程中，弧长l1与半径r1的比值和弧长l与半径r的比值有何关系？
提示：设α＝n°，因为l1＝，所以＝n. 故＝.
1．单位圆：半径为____________的圆．
2．弧度制
(1)弧度
在单位圆中，把长度等于________的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其单位用符号rad表示，读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写).
(2)弧度制
在单位圆中，每一段弧的________就是它所对圆心角的弧度数．这种以________作为单位来度量角的方法，称作弧度制．
3．弧度数
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[答案自填] 单位长度1　1　长度　弧度　正数　负数　0
【即时练】
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．(　　)
(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关.(　　)
(3)1弧度是1度的圆心角所对的弧．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．下列说法正确的是(　　)
A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
解析：选A.对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误．
3．若圆O上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角(正角)的大小为________．
解析：圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，弧长等于半径的弧所对圆心角为1弧度角．
答案：1弧度
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
关于弧度制的理解
(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的．
(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系．
1．常见角度与弧度互化公式如下：
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝________ rad π rad＝________
1°＝ rad＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝＝≈57°18′
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
[答案自填] π　180°
角度1　角度制与弧度制的互化
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例1、例2)将下列角度与弧度进行互化：
(1)37°30′；(2)－216°；(3)；(4)－.
【解】　(1)37°30′＝37.5°＝＝×＝.
(2)－216°＝－216×＝－.
(3)＝×＝×180°＝105°.
(4)－＝－×＝－396°.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
角度制与弧度制的互化原则及方法
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·；n°＝n· rad.
[跟踪训练1] (1)200°的弧度数为(　　)
A． B． C．9π D．10π
解析：选B.由200×＝.故选B.
(2)(多选)下列转化结果正确的是(　　)
A．67°30′化成弧度是
B．－化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－
D．化成角度是15°
解析：选ABD.对于A，67°30′化成弧度是×67.5＝，故A正确；对于B，－＝－×＝－600°，故B正确；对于C，－150°＝－150×＝－，故C错误；对于D，＝×＝15°，故D正确．故选ABD.
(3)将－157°30′化成弧度为________．
解析：－157°30′＝－157.5°＝－157.5×＝－.
答案：－
角度2　用弧度制表示角
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)与60°角终边相同的角的集合是(　　)
A．
B．{α|α＝2kπ＋60°，k∈Z}
C．{α|α＝2k·360°＋60°，k∈Z}
D．
(2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(包含边界)的角θ的集合是_______________________．
INCLUDEPICTURE "../WK15.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../WK15.TIF" \* MERGEFORMAT
【解析】　(1)对于A，B，弧度和角度属于不同度量单位，不能混用，A，B错误；对于C，D，因为60°换算成弧度制为，所以与60°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}或{α|α＝2kπ＋，k∈Z}，C错误，D正确．故选D.
(2)由题图，终边OB对应角为2kπ－，k∈Z，终边OA对应角为2kπ＋，k∈Z，所以终边落在题图中阴影部分角θ的集合是[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z.
【答案】　(1)D　(2)[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
用弧度制表示终边相同的角的两个关注点
(1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍．
(2)注意角度制与弧度制不能混用．
[跟踪训练2] (1)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
INCLUDEPICTURE "../BS2-9.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../BS2-9.TIF" \* MERGEFORMAT 　 INCLUDEPICTURE "../BS2-10.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../BS2-10.TIF" \* MERGEFORMAT 　 INCLUDEPICTURE "../BS2-11.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../BS2-11.TIF" \* MERGEFORMAT 　 INCLUDEPICTURE "../BS2-12.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../BS2-12.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：选B.当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边相同，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋的终边相同．故选B.
(2)①把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角；
②若β∈[－4π，0]，且β与①中α的终边相同，求β.
解：①－1 480°＝－1 480×＝－＝－8π－＝－10π＋＝＋2×(－5)π，
其中<<2π，所以是第四象限角，
所以－1 480°是第四象限角．
②由题意知，β＝α＋2kπ＝＋2kπ(k∈Z)，
又因为β∈[－4π，0]，所以令k＝－1，得β＝－，令k＝－2，得β＝－.
综上所述，β＝－或β＝－.
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝________．
(2)扇形面积公式：S＝________＝________．
[答案自填] αR　lR　αR2
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝120°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角．
【解】　(1)由题意知α＝120°＝，所以弧长l＝αR＝×10＝(cm).
(2)由题意得解得 (舍去)或故扇形的圆心角为.
【变式探究】
(综合变式)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解：由题意知l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5 cm时，S取得最大值，最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的弧长公式：l＝αR，面积公式：S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π).
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用扇形弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解．
[跟踪训练3] (1)一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选D.设扇形圆心角的弧度数为α，半径为r，由题意可知，扇形面积S＝αr2＝2，弧长l＝αr＝2，解得r＝2，α＝1，即这个扇形圆心角的弧度数为1.故选D.
(2)已知扇形的圆心角为α(α>0)，半径为r.
①若α＝2，r＝2，求扇形的周长和面积；
②若扇形的面积是定值S(S>0)，求扇形的周长最小时，圆心角α的值．
解：①由题意可得扇形的周长C＝2r＋αr＝2×2＋2×2＝8，
面积S＝αr2＝×2×4＝4.
②由题意可得S＝αr2，则αr＝，则扇形周长为C＝2r＋αr＝2r＋≥2＝4，当且仅当2r＝，即r＝时等号成立，此时α＝＝2.即扇形的周长取最小值4时，α＝2.
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1．(多选)(教材P12练习T1，T2改编)下列转化结果正确的是(　　)
A．150°化成弧度是
B．－化成角度是45°
C．－120°化成弧度是－
D．化成角度是315°
解析：选ACD.150°化成弧度是，故A正确；－化成角度是－45°，故B错误；－120°化成弧度是－，故C正确；＝×＝315°，故D正确．故选ACD.
2．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度是(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选B.因为分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，将分针拨快是顺时针旋转，所以分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度数为－×2π＝－.故选B.
3．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在第二、四象限的平分线上，则角α的集合是______________________________．
(用弧度制表示)
解析：因为角的终边所在直线在第二、四象限的平分线上，所以角α的集合为.
答案：
4．若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积．
解：设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，因为216°＝216×＝，所以l＝αr＝r＝30π，解得r＝25，所以S＝lr＝×30π×25＝375π.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：弧度制的概念、角度制与弧度制的互化、扇形的弧长与面积的计算．
2．须贯通：角度制与弧度制是两种不同度量角的制度，任何一个角无论是以弧度为单位还是以角度为单位，都是一个与半径无关的定值，并且它们之间存在着一定的换算关系．
3．应注意：(1)弧度与角度不能混用；
(2)弧长公式、扇形面积公式的圆心角必须以弧度为单位．