3　课后达标 检测（教师版）

INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF" INCLUDEPICTURE "../基础达标.TIF" \* MERGEFORMAT
1．角的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.＝＋2π，是第一象限角，故是第一象限角．故选A.
2．与－330°角终边相同的角的集合为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选B.－330°角的弧度数为－，故与其终边相同的角的集合为
＝
.故选B.
3．荡秋千是我国许多民族共有的民族传统体育项目．据现有文献记载，它源自先秦．位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来的最大摆角为170°，则该秋千最大摆角所对的弧长为(　　)
A． 米 B． 米
C．13.6米 D．198米
解析：选A.由题意得，最大摆角α＝＝，半径r＝8，由弧长公式可得l＝α·r＝×8＝(米).故选A.
4．若三角形的三个内角之比为4∶5∶6，则该三角形中最大内角的弧度数是(　　)
A． B． C． D．
解析：选C.设三角形的三个内角的弧度数分别为4x，5x，6x，则有4x＋5x＋6x＝π，解得x＝，所以最大内角的弧度数为6x＝.故选C.
5．(多选)下列各组角终边相同的一组是(　　)
A．－30°，330° B．－120°，960°
C．π，－π D．π，－π
解析：选ABD.对于A，因为－30°＝－360°＋330°，所以－30°与330°终边相同，故A正确；对于B，－120°＝－360°＋240°，960°＝2×360°＋240°，所以－120°与960°的终边相同，故B正确；对于C，－π＝－2π＋π，即－π的终边与π的终边相同，π∈，π∈，所以π与π的终边不相同，即π与－π的终边不相同，故C错误；对于D，－π＝－2π＋π，所以π与－π的终边相同，故D正确．故选ABD.
6．(多选)孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬”．玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉佩如图1所示，其平面图形可以看成扇形的一部分(如图2)，已知AD∥BC，AD＝2AB＝2CD＝2BC＝4，则(　　)
A．∠ABC＝
B．弧AD的长为
C．该平面图形的周长为6＋
D．该平面图形的面积为－
解析：选ACD.如图，分别延长AB与DC交于点O，易得△AOD∽△BOC，得AO＝DO＝4，所以△AOD为等边三角形，∠BOC＝∠BAD＝，所以∠ABC＝，得＝AO·∠BOC＝，该平面图形的周长为6＋，面积为·AO－×2×＝－.故选ACD.
7．－135°化为弧度为________，化为角度为________．
解析：－135°＝－135×＝－；＝×＝660°.
答案：－　660°
8．已知弧长为π的弧所对的圆心角为20°，则这条弧所在圆的半径为________．
解析：由于20°＝，所以根据弧长公式得这条弧所在圆的半径为＝9.
答案：9
9.如图，分别以边长为3的正五边形ABCDE的顶点C，D为圆心，边长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为________．
解析：如图，连接CF，DF，由题得△CDF为等边三角形，所以∠DCF＝，又∠BCD＝＝，所以∠BCF＝∠BCD－∠DCF＝－＝，所以＝×3＝.
答案：
10．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
解：如题图1，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，
而75°＝75×＝，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
.
如题图2，因为30°＝，210°＝，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，
又终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，
从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" INCLUDEPICTURE "../能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT
11．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是(　　)
A．2π－ B．π－
C．2π－2 D．2π＋
解析：选C.由已知得＝＝＝，AB＝BC＝AC＝2，故一个扇形的面积为，
由已知可得，莱洛三角形的面积等于扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，
所以所求面积为3×－2××2×＝2π－2.故选C.
12．(多选)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是(　　)
A．＝
B．若＝，扇形的半径R＝3，则S1＝2π
C．若扇面为“美观扇面”，则θ＝(3－)π
D．若扇面为“美观扇面”，半径R＝20，则S1＝200(3－)π
解析：选ACD.对于A，S1，S2所在的扇形的圆心角分别为θ，2π－θ，设圆面的半径为r，所以＝＝，故A正确；对于B，若＝＝，则θ＝，又R＝3，则S1＝·θ·R2＝××9＝3π，故B错误；对于C，若＝＝，所以θ＝(3－)π，故C正确；对于D，由C知θ＝(3－)π，又R＝20，所以S1＝·θ·R2＝×(3－)π×400＝200(3－)π，故D正确，故选ACD.
13．已知扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为________．
解析：如图，设内切圆半径为r，则r＝，
所以S圆＝π×＝，S扇＝a2×＝，所以S圆∶S扇＝2∶3.
答案：2∶3
14．已知角α＝2 040°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解：(1)α＝2 040°＝2 040×＝，
又＝＋5×2π，所以α＝＋5×2π，
所以α与的终边相同，又π<<，
因此α是第三象限角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ，k∈Z，又γ∈[－5π，0)，所以当k＝－3时，γ＝－；当k＝－2时，γ＝－；
当k＝－1时，γ＝－.
所以在区间[－5π，0)上与α终边相同的角为－，－，－.
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "../素养拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
15.(多选)如图，A，B是单位圆上的两个点，点B的坐标为(1，0)，∠xOA＝60°，点A以1 rad/s的角速度、点B以2 rad/s的角速度均按逆时针方向开始在单位圆上运动，则(　　)
A．当运动1 s时，∠BOA的弧度数为＋3
B．当运动 s时，扇形AOB的弧长为
C．当运动 s时，扇形AOB的面积为
D．当运动 s时，点A，点B在单位圆上第一次重合
解析：选BC.当运动1 s时，点A按逆时针方向运动1 rad，点B按逆时针方向运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为－1，故A不正确；当运动 s时，∠BOA的弧度数为＋－2×＝，故扇形AOB的弧长为×1＝，故B正确；当运动 s时，∠BOA的弧度数为＋－2×＝，故扇形AOB的面积S＝××12＝，故C正确；设运动t s时，点A，点B在单位圆上第一次重合，则t＋＝2t，解得t＝s，故D不正确．故选BC.
16．如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角的绝对值为α(0<α<π).
(1)当α为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积；
(2)当α＝2时，求的中点E到弦BC的距离．
解：(1)延长BA，CD相交于点O，设内圆弧半径为r，则AB＝CD＝OA＝OD＝r，
所以＝rα，＝2rα，
所以rα＋2rα＋2r＝2l，则r＝，
所以S扇环＝S扇形OBC－S扇形OAD＝×2rα×2r－×rα×r＝αr2
＝≤＝，
当且仅当9α＝，即α＝(负值舍去)时，S扇环取得最大值，最大值为.
(2)连接OE，设OE交BC于点F，则由垂径定理得OE⊥BC，则的中点E到弦BC的距离为EF，
∠BOE＝∠BOC＝1，
由(1)知，r＝＝＝，
所以OF＝cos 1，所以EF＝OE－OF＝2r－cos 1＝(1－cos 1).
所以点E到弦BC的距离为(1－cos 1).