4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义（教师版）

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
1.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义．　2.会用三角函数定义解决相关问题．
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在初中，我们通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数，如图所示．
定义sin α＝，cos α＝，tan α＝.
思考1　定义中的三个三角函数，对于同样大的一个角来说，如果三角形的大小改变(相似变化)，其三角函数值是否改变？
提示：不变．
思考2　如图，如果一个锐角α的终边与单位圆⊙O的交点是P(x，y)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，你能否用点P的坐标表示sin α，cos α，tan α？这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？
提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝；能．
对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，故u是由角α唯一确定的，v也是由角α唯一确定的．过点P向x轴作垂线，垂足为M.在 Rt△OMP 中，OP＝1，OM＝u，MP＝v，有sin α＝＝＝v，cos α＝＝＝u.
由此可知，对于锐角α来说，点P的__________是该角的正弦值，点P的____________是该角的余弦值．
[答案自填] 纵坐标v　横坐标u
【即时练】
1．已知锐角α的终边与单位圆交于点P，则sin α＝________，cos α＝________．
解析：因为角α的终边与单位圆交于点P，所以sin α＝y＝，cos α＝x＝.
答案：　
2．当α＝时，则sin α＝____________，cos α＝____________．
解析：当α＝时，设α的终边与单位圆的交点P的坐标为(x，y)(x>0，y>0).根据直角三角形中锐角的对边是斜边的一半，可知y＝(如图)，又由勾股定理得x2＋＝1，解得x＝.所以点P的坐标为.因此sin ＝，cos ＝.
答案：　
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，则v＝sin α为锐角α的正弦函数，u＝cos α为锐角α的余弦函数．
1.如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的．把点P的纵坐标v叫作角α的____________，把点P的横坐标u叫作角α的____________．
于是，在弧度意义下，对于α∈R，称v＝______为任意角α的正弦函数，u＝________为任意角α的余弦函数．
2．设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则
sin α＝________，cos α＝________．其中r＝ .
[答案自填] 正弦值　余弦值　sin α　cos α
　
角度1　单位圆法求正弦函数值、余弦函数值
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例2)在单位圆中，已知α＝－π.
(1)画出角α；
(2)求出角α的终边与单位圆的交点P的坐标；
(3)求出角α的正弦函数值和余弦函数值．
【解】　(1)因为α＝－π＝－2π－，所以角α的终边与－的终边相同，如图，以原点O为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转π，与单位圆交于点P，则角α如图所示．
(2)因为α＝－π，所以点P在第四象限．
过点P作PM⊥x轴于点M，由(1)知，∠MOP＝－，则在Rt△MOP中，∠OMP＝，∠MOP＝，OP＝1，由直角三角形的边角关系，得OM＝，MP＝，所以点P的坐标为.
(3)根据正弦、余弦函数的定义，得sin ＝－，cos ＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
单位圆法求三角函数的步骤
(1)先求出角的终边与单位圆交点的坐标；
(2)再利用任意角的三角函数的定义求解．
[跟踪训练1] (1)在平面直角坐标系xOy中，已知sin α＝－，cos α＝，那么角α的终边与单位圆的交点的坐标为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A.因为sin α＝－，cos α＝，所以角α的终边与单位圆的交点的坐标为.故选A.
(2)已知角α的终边与单位圆交于点P，则sin α＝________．
解析：由题意得，＋y2＝1，所以y＝±，所以sin α＝y＝±.
答案：±
角度2　已知角的终边上一点求正弦函数值、余弦函数值
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，点P到坐标原点O的距离为r，则cos α＋sin α＋1的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
【解析】　根据题意，r＝OP＝＝5，所以sin α＝－，cos α＝，所以cos α＋sin α＋1＝＋(－)＋1＝.故选C.
【答案】　C
【变式探究】
1．(条件变式)将本例中“已知角α的终边经过点P(4，－3)”变为“设函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象过定点P，且点P在角α的终边上”，求cos α＋sin α＋1的值．
解：对于函数f(x)＝ax＋1＋1，令x＋1＝0，所以x＝－1，f(－1)＝2，故f(x)＝ax＋1＋1的图象过定点P(－1，2)，r＝OP＝＝，所以cos α＝－＝－，sin α＝＝，所以cos α＋sin α＋1＝－＋＋1＝.
2．(综合变式)将本例中“点P(4，－3)”变为“点P(4a，－3a)(a≠0)” 求sin α，cos α的值．
解：当a>0时，sin α＝＝－，cos α＝＝；
当a<0时，sin α＝＝，cos α＝＝－.
综上所述，当a>0时，sin α＝－，cos α＝；当a<0时，sin α＝，cos α＝－.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
已知角的终边上一点求正弦函数值、
余弦函数值的步骤
(1)在角α的终边上任选一点P(x，y)，求出点P到原点的距离r(r>0)；
(2)根据sin α＝，cos α＝，tan α＝，求出三角函数值．
[跟踪训练2] (1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(2，－2)，则cos θ＝(　　)
A． B． C．－ D．－
解析：选A.因为角θ的终边过点P(2，－2)，所以P到原点的距离r＝ ＝4，由三角函数的定义知cos θ＝＝.故选A.
(2)若函数f(x)＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点A，若点A在角α的终边OP上(O是坐标原点)，则sin α＝__________．
解析：由对数函数的性质易知函数f(x)＝loga(x－2)＋1过定点A(3，1)，点A在角α的终边OP上，所以r＝＝，由三角函数定义可得sin α＝＝＝，所以sin α＝.
答案：
角度3　已知角的终边所在直线求正弦函数值、余弦函数值
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．
【解】　由题意知，cos α≠0.设角α的终边上除原点外的任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.
当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，
＝＝＝，
所以10sin α＋＝10×＋3×＝－3＋3＝0；
当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，
sin α＝＝＝，
＝＝＝－，
所以10sin α＋＝10×＋3×(－)＝3－3＝0.
综上所述，10sin α＋＝0.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a，b)，则角α的正弦函数值与余弦函数值分别为sin α＝，cos α＝ .
[跟踪训练3] 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求2sin α＋cos α的值．
解：在直线3x＋4y＝0上任取一点P(4a，－3a)(a≠0)，则r＝＝5|a|.
当a＞0时，r＝5a，故sin α＝＝－，cos α＝＝，所以2sin α＋cos α＝2×＋＝－；
当a＜0时，r＝－5a，故sin α＝＝，cos α＝＝－，所以2sin α＋cos α＝2×＋＝.故2sin α＋cos α的值为或－.
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1．(教材P16T1改编)已知角α的终边经过点，则cos α的值为(　　)
A．－2 B． C．－ D．－
解析：选D.由题知点在单位圆上，根据三角函数的定义，角的终边与单位圆交点的横坐标为该角的余弦值，即cos α＝－.故选D.
2．已知点P(m，1)是角α终边上的一点，且sin α＝，则m的值为(　　)
A．2 B．－2
C．2或2 D．2或－2
解析：选D.因为点P(m，1)是角α终边上的一点，且sin α＝，所以sin α＝＝，解得m＝2或m＝－2.故选D.
3．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________．
解析：因为sin 30°＝，cos 30°＝，
所以角α的终边过点P(1，－)，
所以r＝OP＝＝2，
所以sin α＝－.
答案：－
4．已知角α的终边在直线y＝2x上，则sin α＋cos α＝________．
解析：在直线y＝2x上任取一点P(x，2x)(x≠0)，
则r＝＝|x|.
①若x>0，则r＝x，
从而sin α＝＝，cos α＝＝，
所以sin α＋cos α＝.
②若x<0，则r＝－x，
从而sin α＝＝－，cos α＝＝－，
所以sin α＋cos α＝－.
综上，sin α＋cos α＝±.
答案：±
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：任意角的正弦函数和余弦函数、利用角α的终边上除原点外的任意一点的坐标求三角函数值、已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值．
2．须贯通：任意角α的三角函数值，只与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．
3．应注意：正弦、余弦函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点的位置无关．