4．1　课后达标 检测（教师版）

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1．已知角α的终边与单位圆交于点，则sin α的值为(　　)
A． B．－ C． D．
解析：选B.由题知r＝1，所以sin α＝－，故选B.
2．若α的终边与－的终边垂直，且0<α<π，则cos α＝(　　)
A． B．－ C．－ D．
解析：选A.因为α的终边与－的终边垂直，且0<α<π，所以α＝－＝，则cos ＝.故选A.
3．已知点P是角α终边上一点，则sin α＝(　　)
A． B． C． D．
解析：选C.由点P是角α终边上一点，得sin α＝＝.故选C.
4．已知角α的顶点为原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(x，1)，且sin α＝，则x＝(　　)
A．－ B． C．± D．±
解析：选C.角α的始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(x，1)，则OP＝，由sin α＝，得＝，解得x＝±.故选C.
5．(多选)若sin α＝－，则下列各点是角α终边上的点的是　(　　)
A. B．
C． D．
解析：选CD.选项中的点均为平面直角坐标系中单位圆上的点，由三角函数的定义，知y＝sin α＝－.故选CD.
6．(多选)已知角α的终边经过点P(－2，m)，则下列结论正确的是(　　)
A．若sin α＝，则m＝1
B．若m＝1，则sin α＝
C．若cos α＝－，则m＝1
D．若m＝1，则cos α＝－
解析：选ABD.由sin α＝，得＝，解得m＝1(负值已舍去)，则A正确；由m＝1，得sin α＝＝，cos α＝＝－，则B，D正确；由cos α＝－，得＝－，解得m＝±1，则C错误．故选ABD.
7．若角α的终边过点(－3，4)，则cos α－sin α＝________．
解析：因为角α的终边过点(－3，4)，则由三角函数的定义可得sin α＝＝，cos α＝＝－.
所以cos α－sin α＝－.
答案：－
8．点P从单位圆上的点 (1，0)出发，沿顺时针方向运动π弧长，到达点Q，则点Q的坐标是________．
解析：因为点P从单位圆上的点(1，0)出发，沿顺时针方向运动π弧长，到达点Q，如图所示，则∠AOQ＝，OQ＝1，AQ＝OA＝，所以点Q.
答案：
9．已知角α的终边上一点P(－，y)，y≠0，且sin α＝y，则cos α的值是________．
解析：由sin α＝＝y，得y2＝5，所以cos α＝＝＝－.
答案：－
10．已知点M是单位圆上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，求cos α的值．
解：设点M(x1，y1)，由题意可知sin α＝－，即y1＝－，因为点M在单位圆上，
所以x＋y＝1，即x＋＝1，解得x1＝±，所以当x1＝时，cos α＝；
当x1＝－时，cos α＝－.综上，cos α＝±.
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11．已知角α终边上异于原点的一点P且PO＝r，则点P的坐标为(　　)
A．P(sin α，cos α) B．P(cos α，sin α)
C．P(r sin α，r cos α) D．P(r cos α，r sin α)
解析：选D.设P(x，y)，则sin α＝，所以y＝r sin α，又cos α＝，所以x＝r cos α，所以P(r cos α，r sin α).故选D.
12．已知点P是角α的终边上一点，则cos α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选B.依题意，点P的坐标为，则OP＝＝(O为坐标原点)，故cos α＝＝－.
13．已知角α终边上一点P(x，y)，我们知道sin α＝，小明在计算时错把x2＋y2写成了x2－y2，得到sin α＝，则正确的sin α＝________．
解析：依题意，得＝，
则＝且y>0，则x2＝3y2，
所以sin α＝＝＝＝.
答案：
14. 已知点P(x，y)为角α终边上一点．
(1)若角α是第二象限角，y＝，cos α＝－，求 x的值；
(2)若x＝y，求sin α＋2cos α的值．
解：(1)因为cos α＝＝－，x＜0，
解得x＝－(正值已舍去).
(2)若x＝y，则sin α＝cos α，故sin α＋2cos α＝3cos α＝3×＝±.
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15．(多选)已知 f(x)＝角α的终边经过点，则下列结论正确的是(　　)
A．f(cos α)＝－1 B．f(sin α)＝1
C．f(f(cos α))＝ D．f(f(sin α))＝2
解析：选AC.因为角α的终边经过点(1，2)，则sin α＝＝，cos α＝＝，
所以f(cos α)＝log3＝－1，f(sin α)＝log3＝log32－1≠1，故A正确，B错误；
f(f(cos α))＝f(－1)＝2－1＝，f(f(sin α))＝f＝≠2，故C正确，D错误．故选AC.
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1，0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求sin α 的值；
(2)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形)
解：(1)因为角α的终边与单位圆相交于B，且点B的横坐标为－，因为B在x轴上方，所以B.由三角函数的定义，可得sin α＝.
(2)弓形AB的面积S＝S扇形AOB－S△AOB.扇形的圆心角为α，所以S扇形AOB＝α×12＝.过点O作OH⊥AB于点H，则OH＝cos ×1＝cos ，AB＝2AH＝2sin ×1＝2sin ，所以S△AOB＝×2sin ×cos ＝sin cos .所以S＝S扇形AOB－S△AOB＝－sin ·cos .