4．2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（教师版）

4．2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
1.能利用三角函数的定义，理解正弦函数、余弦函数的基本性质．　2.初步运用正弦函数、余弦函数的基本性质解决相关问题．　3.掌握正弦函数值、余弦函数值在各个象限内的符号．
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思考　根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”．因此，单位圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，单位圆是研究三角函数性质的好工具．这节课，我们就利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质，试想应该从哪些方面进行研究呢？
提示：从正弦、余弦函数的定义域、最大(小)值、值域、周期性、单调性以及正弦函数值和余弦函数值的符号进行研究．
正弦函数、余弦函数的定义域均是R.
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　求下列函数的定义域：
(1)y＝ ；
(2)y＝lg ＋.
【解】　(1)要使解析式有意义，则必须2sin α－≥0，即sin α≥.
图中阴影部分就是满足条件的角α的取值范围，即{α≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)要使解析式有意义，则必须
即
则不等式组的解集如图(阴影部分)所示，即{α≤α＜2kπ＋，k∈Z}．
【变式探究】
(条件变式)将本例(1)函数改为y＝，求其定义域．
解：自变量x应满足－2sin x≥0，即sin x≤，
图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围，即{x≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．
[跟踪训练1] 求函数y＝的定义域．
解：要使有意义，则必须满足2sin x＋1≥0，即sin x≥－，
图中阴影部分即为所求，则x的取值范围是[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z.
1．当自变量α∈R时，0≤|sin α|≤1，0≤|cos α|≤1.
2．当α＝____________，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最大值____________；当α＝____________，k∈Z时，正弦函数取得最小值________．
3．当α＝________，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最大值________；当α＝__________，k∈Z时，余弦函数取得最小值________．
[答案自填] 2kπ＋　1　2kπ－　－1　2kπ　1　(2k＋1)π　－1
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例4)(1)求函数y＝cos x的值域．
(2)已知函数y＝a sin x＋1的最大值为3，求它的最小值．
【解】　(1)由单位圆，可知当－≤x≤时，cos x∈，
所以y＝cos x的值域为.
(2)当a＞0时，ymax＝a×1＋1＝3，解得a＝2，
所以当sin x＝－1时，ymin＝2×(－1)＋1＝－1；
当a<0时，ymax＝a×(－1)＋1＝3，解得a＝－2，
所以当sin x＝1时，ymin＝－2×1＋1＝－1.
综上，它的最小值为－1.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求正、余弦函数最值(值域)时的注意点
(1)求正、余弦函数的最值(值域)时应注意定义域，解题时可借助单位圆进行分析．
(2)求含有参数的最值(值域)时，应注意对参数分类讨论．
[跟踪训练2] (1)若cos α＝2m＋3，且α∈，则m的取值范围为(　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选C.因为α∈，所以结合单位圆可知cos α∈，即≤2m＋3≤1，解得－≤m≤－1.故选C.
(2)函数y＝2＋cos x，x∈的值域是________．
解析：由单位圆，可知当x∈(－，]时，cos x∈，所以2＋cos x∈，所以函数y＝2＋cos x，x∈的值域为.
答案：
sin (α＋2kπ)＝____________，cos (α＋2kπ)＝____________，其中k∈Z，α∈R，正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α均是周期函数，对任何k∈Z且k≠0，2kπ均是它们的周期，最小正周期为____________．
[答案自填] sin α　cos α　2π
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)sin ＝(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)cos (－1 380°)的值为(　　)
A．－ B． C．－ D．
【解析】　(1)sin ＝sin ＝sin ＝，故选A.
(2)cos (－1 380°)＝cos (－4×360°＋60°)＝cos 60°＝.故选B.
【答案】　(1)A　(2)B
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求正弦、余弦函数值的主体思路是“负化正，大化小”，可利用周期性先把要求角的正弦、余弦函数值转化为[0，2π)内的角的正弦、余弦函数值．要熟记特殊角(0°，30°，45°，60°，90°，120°等)的正弦、余弦函数值．
[跟踪训练3] (1)cos 的值为(　　)
A． B．－
C． D．
解析：选A.cos ＝cos ＝cos ＝.故选A.
(2)sin 405°－sin 450°－cos 765°＝________．
解析：sin 405°－sin 450°－cos 765°＝sin (360°＋45°)－sin (360°＋90°)－cos (720°＋45°)＝sin 45°－sin 90°－cos 45°＝－1－＝－1.
答案：－1
正弦函数v＝sin α在区间__________________________上单调递增，在区间__________________________上单调递减；余弦函数u＝cos α在区间______________________上单调递增，在区间__________________上单调递减．
[答案自填] (k∈Z)
(k∈Z)　[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)　[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例3)讨论函数u＝cos α在区间上的单调性．
【解】　在单位圆中画出角α的终边所在区域，
可得u＝cos α在区间上单调递增；在区间上单调递减．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能合并．
[跟踪训练4] (1)(多选)下列选项中不正确的是(　　)
A．函数y＝cos x在区间，上分别单调递减
B．函数y＝sin x在区间，上分别单调递增
C．函数y＝cos x在区间上单调递减
D．函数y＝sin x在区间上单调递增
解析：选ABC.因为函数y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，所以A不正确，C不正确．因为函数y＝sin x 的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，故B不正确，D正确．故选ABC.
(2)已知a＝sin ，b＝sin ，c＝sin ，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b解析：选C.c＝sin ＝sin ，
因为0<<<<，
且v＝sin α在上单调递增，
所以sin 　　　　象限三角函数　　　 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sin α ＋ ＋ － －
cos α ＋ － － ＋
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)已知＝－，且lg (cos α)有意义，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)设角α的终边不在坐标轴上，则函数y＝＋的值域为________．
【解析】　(1)由＝－可知sin α＜0.
由lg (cos α)有意义，可得cos α＞0，
所以角α是第四象限角．故选D.
(2)当α为第一象限角时，sin α＞0，cos α＞0，
所以＋＝1＋1＝2，
当α为第二象限角时，sin α＞0，cos α＜0，
所以＋＝1－1＝0，
当α为第三象限角时，sin α＜0，cos α＜0，
所以＋＝－1－1＝－2，
当α为第四象限角时，sin α＜0，cos α＞0，
所以＋＝－1＋1＝0，
综上，函数的值域为{－2，0，2}．
【答案】　(1)D　(2){－2，0，2}
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
正弦、余弦函数值的正负规律
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[跟踪训练5] (1)已知点P(cos 305°，sin 305°)，则点P所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.因为270°<305°<360°，所以305°角为第四象限角，所以cos 305°>0，sin 305°<0，所以点 P(cos 305°，sin 305°)在第四象限．故选D.
(2)若α是第二、三象限角，且cos α＝，则实数m的取值范围是________．
解析：因为α是第二、三象限角，所以－1答案：
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1．sin 的值为(　　)
A．－ B． C． D．－
解析：选C.sin ＝sin ＝sin ＝.故选C.
2．如果点M(sin θ，cos θ)位于第二象限，那么角θ是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选D.因为点M(sin θ，cos θ)位于第二象限，所以所以角θ为第四象限角．故选D.
3．(教材P19T1改编)函数y＝cos x，x∈的单调递减区间为________．
答案：[0，π]
4．(教材P20T4改编)函数y＝－2sin x＋1，x∈的值域为____________．
解析：由单位圆可知，当x∈时，sin x∈，所以y∈[－1，2]，所以y＝－2sin x＋1，x∈的值域为[－1，2].
答案：[－1，2]
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：正弦、余弦函数的定义域，正弦、余弦函数的值域与最值，正弦、余弦函数的周期性和单调性．
2．须贯通：正弦函数值和余弦函数值都具有周期性，说明角与正弦函数值和余弦函数值的对应关系是多角对一值的关系．
3．应注意：单调区间漏写k∈Z，特殊角函数值记忆错误造成三角不等式解集有误．