4．3　诱导公式与对称（教师版）

4．3　诱导公式与对称
1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出正弦函数、余弦函数的诱导公式．　2.能够运用诱导公式，把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角正弦函数、余弦函数的化简、求值问题．
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INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
南京眼和辽宁的生命之环均利用对称完美地展现了自己的和谐之美．而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，正弦函数、余弦函数的定义表明了圆中某些线段之间的关系．圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形．
INCLUDEPICTURE "../../25bb15.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../25bb15.TIF" \* MERGEFORMAT
思考　你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与－α，π±α有什么样的对称关系？
提示：角α与角－α的终边关于x轴对称，角α与角π－α的终边关于y轴对称，角α与角π＋α的终边关于原点对称．
终边关系 角－α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π－α与角α的终边关于y轴对称
图示 INCLUDEPICTURE "../../25bb16.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../25bb16.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../25bb17.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../25bb17.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../25bb18.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../25bb18.TIF" \* MERGEFORMAT
公式 sin (－α)＝______，cos (－α)＝______ sin (α＋π)＝______，cos (α＋π)＝______，sin (α－π)＝______，cos (α－π)＝______ sin (π－α)＝______，cos (π－α)＝______
特点 公式两边的函数名称一致；将α看作锐角时，原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，即为等号右边的符号
[答案自填] －sin α　cos α　－sin α
－cos α　－sin α　－cos α　sin α
－cos α
角度1　给角求值
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例6)求下列三角函数值．
(1)cos 210°；
(2)sin ；
(3)sin ；
(4)cos (－1 920°).
【解】　(1)cos 210°＝cos (30°＋180°)
＝－cos 30°＝－.
(2)sin ＝sin
＝sin ＝sin
＝sin ＝.
(3)sin ＝－sin
＝－sin ＝－sin ＝sin ＝.
(4)cos (－1 920°)＝cos 1 920°＝cos (120°＋5×360°)＝cos 120°＝cos (180°－60°)＝－cos 60°＝－.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
INCLUDEPICTURE "../../25bb19.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../25bb19.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练1] 求下列各三角函数式的值．
(1)sin 1 320°；
(2)cos .
解：(1)方法一：sin 1 320°＝sin (3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin (180°＋60°)
＝－sin 60°＝－.
方法二：sin 1 320°＝sin (4×360°－120°)＝sin (－120°)＝－sin (180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)方法一：cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－.
方法二：cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－.
角度2　给值(式)求值问题、给值求角问题
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)若sin ＝，则sin ＝(　　)
A．　　　　　　　　　 B．－
C． D．－
(2)若cos ＝，则cos 的值是__________；
(3)若sin (2α－π)＝－，α∈，则α＝__________．
【解析】　(1)由题意得sin ＝
sin ＝－sin ＝－.故选D.
(2)方法一：cos ＝cos
＝－cos ＝－cos ＝－.
方法二：令－α＝t，则cos t＝，α＝－t.
所以cos ＝cos ＝cos (π－t)＝－cos t＝－.
(3)因为sin (2α－π)＝－，所以－sin 2α＝－，即sin 2α＝.
所以2α＝＋2kπ(k∈Z)，或2α＝＋2kπ(k∈Z)，
解得α＝＋kπ(k∈Z)，或α＝＋kπ(k∈Z).
又因为α∈，所以α＝.
【答案】　(1)D　(2)－　(3)
【变式探究】
(设问变式)在本例(2)条件下，求cos (α－)的值．
解：cos ＝cos (－α)＝cos ＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
解决给值(式)求值问题的策略
(1)解决给值(式)求值问题，首先要仔细观察已知式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
[跟踪训练2] (1)已知sin β＝，cos (α＋β)＝－1，则sin (α＋2β)的值为(　　)
A．1 B．－1 C． D．－
解析：选D.由cos (α＋β)＝－1，得α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k∈Z)，sin (α＋2β)＝sin (2kπ＋π＋β)＝sin (β＋π)＝－sin β＝－.故选D.
(2)已知sin (α＋π)＝－0.3，则sin (2π－α)＝________．
解析：因为sin (α＋π)＝－sin α＝－0.3，所以sin α＝0.3，所以sin (2π－α)＝－sin α＝－0.3.
答案：－0.3
(3)若cos ＝sin ，α∈，则α＝__________．
解析：由cos ＝sin 可得－cos ＝－，即cos ＝，所以＝＋2kπ(k∈Z)，或＝－＋2kπ(k∈Z)，
解得α＝＋4kπ(k∈Z)，或α＝－＋4kπ(k∈Z).
又因为α∈，所以α＝－.
答案：－
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　设k为整数，化简：
.
【解】　方法一：当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则
原式＝
＝
＝
＝－1；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，则
原式＝
＝
＝
＝－1.
综上可得，原式＝－1.
方法二：由(kπ＋α)＋(kπ－α)＝2kπ，
[(k－1)π－α]＋[(k＋1)π＋α]＝2kπ，
得sin (kπ－α)＝－sin (kπ＋α)，
cos [(k－1)π－α]＝cos [(k＋1)π＋α]＝－cos (kπ＋α).
又sin [(k＋1)π＋α]＝－sin (kπ＋α)，
故原式＝＝－1.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
利用诱导公式化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的．
(2)化简时一定要注意函数的符号有没有改变．
[跟踪训练3] (1)化简：＝__________；
解析：原式＝
＝＝1.
答案：1
(2)化简：＝__________．
解析：原式＝
＝＝1.
答案：1
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)已知函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)，且f(3)＝1，则f(2 024)的值为(　　)
A．－1　　　　　　　　 B．1
C．3 D．－3
(2)设函数f(x)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，x∈R.当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝(　　)
A． B．
C．0 D．－
【解析】　(1)因为f(3)＝a sin (3π＋α)＋b cos (3π＋β)＝－(asin α＋b cos β)＝1，所以a sin α＋b cos β＝－1.
所以f(2 024)＝a sin (2 024π＋α)＋b cos (2 024π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－1.故选A.
(2)因为f(x＋π)＝f(x)＋sin x，
所以f＝f＝f＋sin
＝f＋sin ＝f＋sin ＋sin
＝f＋sin ＋sin
＝f＋sin ＋sin ＋sin .
因为0≤x<π时，f(x)＝0，
所以f＝0＋sin ＋sin ＋sin
＝sin ＋sin ＋sin
＝sin －sin ＋sin ＝sin ＝.故选A.
【答案】　(1)A　(2)A
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
综合应用诱导公式解决求值或化简问题的思路是利用诱导公式将所求的角转化到已知区间上或转化为特殊角，然后由函数的结构特征推出所求函数值．
[跟踪训练4] 对于任意角α有sin (nπ＋α)＝(－1)nsin α(n∈Z)，具体推导过程如下：
当n＝2k(k∈Z)时，由诱导公式有
sin (nπ＋α)＝sin (2kπ＋α)＝sin α＝(－1)2ksin α(k∈Z)；
当n＝2k＋1(k∈Z)时，由诱导公式有
sin (nπ＋α)＝sin (2kπ＋π＋α)＝－sin α＝(－1)2k＋1sin α(k∈Z).
综上，对任意角α有sin (nπ＋α)＝(－1)nsin α(n∈Z).
根据以上推导过程你能推导下列各式的结果吗？
(1)cos (nπ＋α)＝________；
(2)sin (nπ－α)＝________；
(3)cos (nπ－α)＝________．
解析：(1)cos (nπ＋α)＝(－1)ncos α(n∈Z).
①当n＝2k(k∈Z)时，由诱导公式有
cos (nπ＋α)＝cos (2kπ＋α)＝cos α＝(－1)2kcos α(k∈Z)；
②当n＝2k＋1(k∈Z)时，由诱导公式有
cos (nπ＋α)＝cos (2kπ＋π＋α)＝－cos α＝(－1)2k＋1cos α(k∈Z).
综上，对任意角α有cos (nπ＋α)＝(－1)ncos α(n∈Z).
(2)sin (nπ－α)＝(－1)n－1sin α(n∈Z).
①当n＝2k(k∈Z)时，由诱导公式有
sin (nπ－α)＝sin (2kπ－α)＝－sin α＝(－1)2k－1sin α(k∈Z)；
②当n＝2k＋1(k∈Z)时，由诱导公式有
sin (nπ－α)＝sin (2kπ＋π－α)＝sin α＝(－1)2ksin α(k∈Z).
综上，对任意角α有sin (nπ－α)＝(－1)n－1sin α(n∈Z).
(3)cos (nπ－α)＝(－1)ncos α(n∈Z).
①当n＝2k(k∈Z)时，由诱导公式有
cos (nπ－α)＝cos (2kπ－α)＝cos α＝(－1)2kcos α(k∈Z)；
②当n＝2k＋1(k∈Z)时，由诱导公式有
cos (nπ－α)＝cos (2kπ＋π－α)＝－cos α＝(－1)2k＋1cos α(k∈Z).
综上，对任意角α有cos (nπ－α)＝(－1)ncos α(n∈Z).
答案：(1)(－1)ncos α(n∈Z)
(2)(－1)n－1sin α(n∈Z)　(3)(－1)ncos α(n∈Z)
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1．已知sin (α－π)＝－，α∈，则cos α＝(　　)
A．－ B． C．± D．－
解析：选A.因为sin (α－π)＝－sin α＝－，所以sin α＝，又因为α∈，所以α＝，所以cos α＝cos ＝cos ＝－cos ＝－.故选A.
2．(多选)如果α＋β＝180°，那么下列等式中不一定成立的是(　　)
A．cos α＝cos β B．cos α＝－cos β
C．sin α＝－sin β D．sin α＝cos β
解析：选ACD.因为α＋β＝180°，所以α＝180°－β.对于A，B，cos α＝cos (180°－β)＝－cos β，故A符合题意，B不符合题意；对于C，sin α＝sin (180°－β)＝sin β，故C符合题意；对于D，由于sin α＝sin β，显然sin α＝cos β不一定成立，故D符合题意．故选ACD.
3．(教材P22T1改编)计算cos 的值是____________．
解析：cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－.
答案：－
4．已知cos ＝，则cos ＝________．
解析：cos ＝cos ＝－cos ＝－cos ＝－.
答案：－
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：特殊关系角的终边对称性、三组诱导公式、给角求值、给值(式)求值问题、利用诱导公式化简．
2．须贯通：给角求值、给值(式)求值问题、利用诱导公式进行化简．
3．应注意：利用诱导公式进行化简求值时符号的确定．