4．4　课后达标检测（教师版）

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1．sin 95°＋cos 175°的值为(　　)
A．sin 5° B．cos 5°
C．0 D．2sin 5°
解析：选C.sin 95°＋cos 175°＝sin (90°＋5°)＋cos (180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0.故选C.
2．已知sin ＝，那么cos α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选C.sin ＝sin ＝cos α，故cos α＝.故选C.
3．如果角α的终边过点P，则cos α＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
解析：选A.cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－，sin ＝sin ＝sin ＝，
所以P，则点P在单位圆上，所以cos α＝－.故选A.
4．(多选)下列不等式成立的是(　　)
A．sin 156°＜0 B．cos (－281°)＞0
C．sin ＜0 D．sin ＞0
解析：选BCD.对于A，156°角为第二象限角，则sin 156°＞0，故A不正确；对于B，cos (－281°)＝cos 281°＝cos (180°＋101°)＝－cos 101°＝－cos (90°＋11°)＝sin 11°＞0，故B正确；对于C，sin ＝sin ＝－sin ＜0，故C正确；对于D，sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝sin ＞0，故D正确. 故选BCD.
5．(多选)已知角α的终边与单位圆相交于点P，则(　　)
A．cos α＝ B．sin ＝
C．sin (α＋π)＝ D．cos ＝
解析：选AC.根据三角函数的定义得，cos α＝，sin α＝－，故A正确；sin ＝cos α＝，故B错误；sin (α＋π)＝－sin α＝，故C正确；cos ＝sin α＝－，故D错误．故选AC.
6．(多选)cos ＝(　　)
A．sin B．sin
C．cos D．cos
解析：选BD.sin
＝sin ＝－sin ，故A错误；sin ＝sin ＝cos ，故B正确；cos
＝cos ＝－cos ，故C错误；cos ＝cos ＝cos ，故D正确．故选BD.
7．化简：sin (＋α)＋cos ＝________．
解析：sin ＋cos
＝sin ＋cos
＝cos －cos ＝0.
答案：0
8．已知角α和角β的顶点为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，若点P(－4，3)在角α的终边上，角α的终边绕原点按逆时针方向旋转后与角β的终边重合，则cos β＝________．
解析：因为角α终边上一点的坐标为(－4，3)，所以sin α＝，由已知可得β＝α＋，所以cos β＝cos ＝－sin α＝－，故cos β＝－.
答案：－
9．已知sin α＝，则·sin (α－π)·cos (2π－α)的值为________．
解析：原式＝·(－sin α)·cos (－α)＝·(－sin α)·cos α＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α＝－.
答案：－
10．证明：(1)＝cos θ；
(2)＝－cos α.
证明：(1)左边＝
＝＝cos θ＝右边，
所以原等式成立．
(2)左边＝
＝＝－cos α＝右边，
所以原等式成立．
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11．若Sn＝sin ＋sin ＋…＋sin (n∈N＋)，则S1，S2，…，S100中，正数的个数是(　　)
A．16 B．72 C．86 D．100
解析：选C.sin (n∈N＋)的值循环出现．sin >0，sin >0，sin >0，sin >0，sin >0，sin >0，sin ＝0，sin ＝－sin <0，sin ＝－sin <0，sin ＝－sin <0，sin ＝－sin <0，sin ＝－sin <0，sin ＝－sin <0，sin ＝0.易知S1>0，S2>0，…，S7>0，S8>0，S9>0，S10>0，S11>0，S12>0，S13＝0，S14＝0，在S1，S2，…，S14中有12个正数，故在S1，S2，S3，…，S100中有7×12＋2＝86个正数．故选C.
12．已知sin (α－3π)＝2cos (α－4π)，则＝________．
解析：因为sin (α－3π)＝2cos (α－4π)，
所以－sin (3π－α)＝2cos (4π－α)，
所以－sin (π－α)＝2cos (－α)，
所以sin α＝－2cos α且cos α≠0，
所以原式＝
＝＝＝－.
答案：－
13．已知函数f(x)＝，且f(m)＝2，则f(－m)的值是________．
解析：易得f(x)的定义域关于原点对称．
因为f(x)＝＝，
所以f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数，所以f(－m)＝f(m)＝2.
答案：2
14．已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(m，－m－1)，且cos α＝.
(1)求实数m的值；
(2)若m>0，求的值．
解：(1)根据三角函数的定义可得cos α＝＝，解得m＝0或m＝3或m＝－4.
(2)由(1)知m＝0或m＝3或m＝－4，因为m>0，所以m＝3，所以cos α＝，sin α＝－，由诱导公式，可得
＝＝－＝－.
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15．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，点P的坐标是________________________．
解析：如图所示，由题意知弧PB的长度为OB＝2.因为圆的半径为1，所以∠PAB＝2，∠DAP＝2－.
在△PAD中，DA＝AP cos∠DAP＝cos ＝sin 2，DP＝AP sin ∠DAP＝sin ＝－cos 2，所以OC＝OB－CB＝OB－DA＝2－sin 2，PC＝DP＋DC＝1－cos 2，所以点P的坐标为(2－sin 2，1－cos 2).
答案：(2－sin 2，1－cos 2)
16．已知f(α)＝ .
(1)若cos ＝，求f(α)的值；
(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
解：f(α)＝
＝＝.
(1)因为cos ＝，
所以cos ＝，
所以cos ＝，所以sin α＝－，
所以f(α)＝＝－5.
(2)当α＝－1 860°时，f(α)＝
＝＝
＝＝＝－.