5．1　正弦函数的图象与性质再认识（教师版）

§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5．1　正弦函数的图象与性质再认识
1.能用“五点(画图)法”画正弦函数在[0，2π]上的图象．　2.理解正弦曲线的意义．　3.掌握正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、单调区间和最值．
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当我们遇到一个新函数时，要直观、全面地了解其基本特性，自然是从它的图象入手，画出它的图象，观察图象的形状，看它的特殊点，并借助它的图象研究它的性质，今天我们就一起来进一步学习正弦函数的性质．
思考　应该从哪些方面研究正弦函数的性质？
提示：研究正弦函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、最值等．
根据正弦曲线的基本性质，描出(0，0)，，(π，0)，____________，____________这五个关键点后，函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象就基本
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确定了(如图).因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们________连接起来，就得到正弦函数的简图．这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”．
[答案自填] 　(2π，0)　顺次
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例2)用五点(画图)法画函数y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简图．
【解】　列表：
x 0 π 2π
y＝sin x 0 1 0 －1 0
y＝2sin x－1 －1 1 －1 －3 －1
于是得到y＝2sin x－1在区间[0，2π]上的五个关键点为(0，－1)，，(π，－1)，，(2π，－1).描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，得函数y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简图，如图．
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eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
“五点(画图)法”作形如y＝a sin x＋b，x∈[0，2π]的图象时，其步骤如下：
(1)列表：取x＝0，，π，，2π，求出对应的函数值．
(2)描点：将表中所对应的点(x，y)标在坐标平面内．
(3)连线：用光滑的曲线将所描的点顺次连接起来．在连线过程中要注意曲线的“凸性”．
[跟踪训练1] 用五点(画图)法画出函数y＝2－sin x，x∈[0，2π]的简图．
解：列表：
x 0 π 2π
y＝sin x 0 1 0 －1 0
y＝2－sin x 2 1 2 3 2
于是得到函数y＝2－sin x在[0，2π]上的五个关键点为(0，2)，，(π，2)，，(2π，2)，描点，并将它们用光滑的曲线顺次连接起来，得函数y＝2－sin x的简图，如图．
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角度1　定义域、 最值和值域
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)函数y＝的定义域为____________．
(2)求使函数y＝－2sin x＋1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域．
【解】　(1)为使函数有意义，需满足
即0由正弦函数的图象(如图1)或单位圆(如图2)，可得函数的定义域为{x或2kπ＋≤x<2kπ＋π，k∈Z}．
故填{x或2kπ＋≤x<2kπ＋π，k∈Z}．
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(2)当x∈时，ymax＝－2×(－1)＋1＝3；
当x∈时，ymin＝－2×1＋1＝－1，
所以函数y＝－2sin x＋1的值域为[－1，3].
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求正弦函数的值域一般有以下两种方法
(1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题．
(2)利用sin x的有界性求值域，如y＝a sin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.
[跟踪训练2] (1)已知函数f(x)＝2a sin x＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
解：因为－≤x≤，所以－≤sin x≤1.
若a>0，则
解得
若a<0，则
解得
当a＝0时，不符合题意．
故a＝12－6，b＝－23＋12或a＝－12＋6，b＝19－12.
(2)求使函数y＝－sin 2x＋sin x＋取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最值．
解：令t＝sin x，则－1≤t≤1，
y＝－t2＋t＋＝－＋2.
所以当t＝时，ymax＝2，此时sin x＝，即x∈.
当t＝－1时，ymin＝－，此时sin x＝－1，即x∈.
角度2　周期性与奇偶性
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　判断下列函数的奇偶性，并求函数的最小正周期．
(1)f(x)＝sin x(x∈R)；
(2)f(x)＝|sin x|.
【解】　(1)因为x∈R，所以定义域关于原点对称，因为f(－x)＝sin ＝－sin x＝－f(x)，所以f(x)＝sin x是奇函数．因为sin [(x＋4π)]＝sin (x＋2π)＝sin x，所以f(x)＝sin x的最小正周期是4π.
(2)作出f(x)＝|sin x|的图象，如图．
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由图象易知f(x)＝|sin x|是偶函数，最小正周期为π.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)求与正弦函数有关的周期的常用方法：①定义法；②公式法；③图象法．
(2)函数y＝sin x，x∈[a，b]为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sin x，x∈[0，2π]是非奇非偶函数．
[跟踪训练3] (1)f(x)＝x sin x是(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.奇函数，又是偶函数
解析：选B.因为x∈R，所以定义域关于原点对称，又f(－x)＝－x sin (－x)＝x sin x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．故选B.
(2)判断等式sin ＝sin 是否成立．如果成立，能否说明是函数y＝sin x的周期？
解：sin ＝sin ＝sin (π＋)＝－sin ，而sin ＝－sin ，所以上述等式成立，但不能说明是函数y＝sin x的周期，理由如下，若是函数y＝sin x的周期，则对任意的实数x，都有sin (x＋)＝sin x，但当x＝0时，sin ≠sin x，所以不是函数y＝sin x的周期．
角度3　单调性的应用
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)(对接教材例1)下列关系式中正确的是(　　)
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.cos 10°(2)y＝2－sin x的单调递减区间为________．
【解析】　(1)sin 168°＝sin (180°－168°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°，因为函数y＝sin x在0°≤x≤90°上单调递增，所以sin 11°(2)当－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，y＝2－sin x单调递减，故y＝2－sin x的单调递减区间为(k∈Z).
【答案】　(1)C　(2)[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)利用正弦函数的单调性比较大小的步骤：
①一定：利用诱导公式把角化到同一单调区间上．
②二比较：利用函数的单调性比较大小．
(2)对形如y＝a sin x＋b形式的函数．当a>0时，其单调性与y＝sin x的单调性相同；当a<0时，其单调性与y＝sin x的单调性相反．
[跟踪训练4] (1)函数值sin ，sin ，sin 按从大到小的顺序排列为___________________________．
解析：因为<<<<π，又函数y＝sin x在上单调递减，所以sin >sin >sin .
答案：sin >sin >sin
(2)若x∈[0，π]，则y＝1－3sin x的单调递减区间为________．
解析：若x∈[0，π]，因为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)∩[0，π]＝，所以当x∈[0，π]时，y＝1－3sin x的单调递减区间为.
答案：
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P33T1(3)改编)三角函数y＝2sin x在区间[－π，π]上的图象为(　　)
INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/BS2-27.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/BS2-27.TIF" \* MERGEFORMAT 　　　 INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/BS2-28.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/BS2-28.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/BS2-29.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/BS2-29.TIF" \* MERGEFORMAT 　　　 INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/BS2-30.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/BS2-30.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：选C.因为y＝2sin x为奇函数，所以y＝2sin x的图象关于原点对称，故排除A，D选项；三角函数y＝2sin x在区间[－π，π]上的最大值为y＝2sin ＝2，故排除B选项；易知C选项正确，故选C.
2．函数f(x)＝sin x＋1的零点是(　　)
A.＋2kπ(k∈Z) B．＋2kπ(k∈Z)
C.＋kπ(k∈Z) D．kπ(k∈Z)
解析：选B.令f(x)＝sin x＋1＝0，则sin x＝－1，所以x＝＋2kπ(k∈Z)，所以函数f(x)＝sin x＋1的零点是＋2kπ(k∈Z).故选B.
3．函数y＝的定义域为______________________．
解析：由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0，即sin x≥.由y＝sin x在[0，2π]上的图象(图略)可知，≤x≤，又x∈R，故y＝的定义域为[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z .
答案：，k∈Z
4．函数y＝a sin x＋1的最大值是2，则实数a的值为________．
解析：因为函数y＝a sin x＋1的最大值是2，所以a sin x的最大值为1，当a>0，sin x取最大值1时，a sin x取得最大值，则a＝1；当a<0，sin x取最小值－1时，a sin x取得最大值，则－a＝1，得a＝－1.综上，a＝±1.
答案：±1
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：正弦函数的图象、“五点(画图)法”作图、正弦函数的周期性与奇偶性、正弦函数的单调区间、比较三角函数值的大小、正弦函数的最值(值域)．
2．须贯通：正弦函数的单调性及其应用、求函数的最值(值域).
3．应注意：(1)单调区间漏写k∈Z；
(2)求值域时忽视sin x本身具有的范围．