5．2　课后达标 检测（教师版）

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1．函数y＝1＋cos x的图象(　　)
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线x＝对称
解析：选B.y＝1＋cos x的图象是由y＝cos x的图象向上平移1个单位长度得到的，根据余弦函数的性质可得y＝1＋cos x的图象关于y轴对称．故选B.
2．设M和m分别表示函数y＝cos x－1的最大值和最小值，则M＋m＝(　　)
A． B．－ C．－ D．－2
解析：选D.因为－1≤cos x≤1，所以－≤cos x－1≤－，所以M＝－，m＝－，所以M＋m＝－2.故选D.
3．函数y＝－x cos x的部分图象是下图中的(　　)
INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/1-62.tif" \* MERGEFORMAT
解析：选D.因为函数y＝－x cos x是奇函数，图象关于原点对称，所以排除选项A，C；当x∈时，y＝－x cos x<0，所以排除选项B.故选D.
4．已知奇函数f(x)在R上单调递增，若存在x∈R，使得不等式f(cos x)＋f(m－3)>0成立，则实数m的取值范围为(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
解析：选A.因为f(x)为在定义域R上单调递增的奇函数，存在x∈R，使得f(cos x)＋f(m－3)>0成立，即f(cos x)>－f(m－3)成立，即f(cos x)>f(3－m)成立，所以存在x∈R，使得3－m3－cos x成立，因为－1≤cos x≤1，所以2≤3－cos x≤4，所以m>2，即m∈(2，＋∞).故选A.
5．(多选)已知函数f(x)＝sin ，则f(x＋)(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．图象关于点(π，0)成中心对称
D．图象关于点成中心对称
解析：选BD.因为f＝sin ＝sin ＝cos x，故函数f为偶函数，因为函数f的对称中心坐标为(k∈Z)，所以函数f的图象关于点成中心对称．故选BD.
6.(多选)已知函数f(x)＝|2cos x|，则(　　)
A．函数f(x)的最小正周期T＝2π
B．函数f(x)在(，3π)上单调递增
C．函数f(x)在(－，)上的值域为(0，)
D．函数f(x)的图象关于直线x＝2 025π对称
解析：选BD. 因为f(x)＝|2cos x|＝2|cos x|，作出函数的大致图象，如图，可知函数f(x)的最小正周期T＝π，故A错误；
INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/24F-4.TIF" \* MERGEFORMAT
由图象可知函数的单调递增区间为[kπ－，kπ](k∈Z)，故函数f(x)在(，3π)上单调递增，故B正确；当x∈(－，)时，cos x∈(－，1]，f(x)∈[0，2]，故C错误；
因为f(2 025π)＝2|cos (2 025π)|＝2，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2 025π对称，故D正确．故选BD.
7．比较大小：cos ________cos .(填“>”“<”或“＝”)
解析：因为cos ＝cos ＝cos ，cos ＝cos ＝cos ，
而0＜＜＜，y＝cos x在上单调递减，所以cos ＞cos ，即cos ＞cos .
答案：＞
8．函数y＝lg (2sin x－1)＋的定义域是__________________．
解析：由题意，得
即
解得
所以2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z.
答案：(k∈Z)
9．方程x2＝cos x的实数解有________个．
解析：作出函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，
INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/25bb31.TIF" \* MERGEFORMAT
由图象，可知原方程有2个实数解．
答案：2
10．已知函数f(x)＝
(1)作出该函数的图象；
(2)若f(x)＝，求x的值．
解：(1)作出函数f(x)＝的图象，如图1所示．
INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/AD7.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/AD8.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)因为f(x)＝，所以在图1基础上再作直线y＝的图象，如图2所示．
则当－π≤x<0时，由图象知x＝－.当0≤x≤π时，x＝或x＝.综上，可知x的值为－，或.
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11．(多选)对于函数f(x)＝下列四个命题正确的是(　　)
A.该函数是以π为最小正周期的周期函数
B．当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1
C．该函数的图象关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称
D．当且仅当2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤
解析：选CD.画出f(x)在[0，2π]上的图象如图所示．
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由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π，
当x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝π＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故A，B错误．
由图象知，函数图象关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称，当且仅当2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤，故C，D正确．
12．(多选)已知函数f(x)＝sin (cos x)，则下列关于该函数性质说法正确的有(　　)
A．f(x)的一个周期是2π
B．f(x)的值域是[－1，1]
C．f(x)的图象关于点(π，0)对称
D．f(x)在区间(0，π)上单调递减
解析：选AD.对于A，因为f(x＋2π)＝sin [cos (x＋2π)]＝sin (cos x)＝f(x)，所以2π是函数f(x)的周期，故A正确； 对于B，因为－1≤cos x≤1，[－1，1] ，
所以sin (－1)≤sin (cos x)≤sin 1 f(x)∈[－sin 1，sin 1]，故B不正确；
对于C，因为f(π)＝sin (cos π)＝sin (－1)＝－sin 1≠0，所以f(x)的图象不关于点(π，0)对称，故C不正确；
对于D，因为x∈(0，π)，所以函数y＝cos x单调递减，因此有－1≤cos x≤1，而[－1，1] ，y＝sin x在上单调递增，所以f(x)在区间(0，π)上单调递减，故D正确．故选AD.
13．已知f(x)＝cos x，g(x)＝f2(x)＋f(－x)，x∈，则g(x)的值域是__________．
解析：因为f(x)＝cos x，所以g(x)＝cos 2x＋cos (－x)＝cos 2x＋cos x，
令cos x＝t，因为x∈，所以t∈[0，1]，所以h(t)＝t2＋t，t∈[0，1]，
它的对称轴为直线t＝－，开口向上．所以h(t)在[0，1]上为增函数，所以h(t)∈[0，1＋].即g(x)的值域为[0，1＋].
答案：[0，1＋]
14．已知函数f(x)＝－2cos x＋3.
(1)完成下面表格，并用“五点(画图)法”作函数f(x)在[0，2π]上的简图；
x 0 π 2π
f(x)
INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/P43TA.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)求不等式 f(x)≥2 的解集．
解：(1)补充完整的表格如下：
x 0 π 2π
f(x) 1 3 5 3 1
描点、连线得函数f(x)＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象如图所示．
INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/P43TB.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)当 x∈[0，2π]时，令f(x)＝2，得－2cos x＋3＝2，即cos x＝，从而x＝或x＝.
所以结合(1)中的图象可知，当 x∈[0，2π]时， f(x)≥2的解集是，
又因为函数f(x)的最小正周期为2π，
所以不等式f(x)≥2的解集为
.
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15．已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，若△ABC的内角A满足f(cos A)≤0，则角A的取值范围是__________________．
解析：当00，f(cos A)≤0＝f，因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以cos A≤，所以≤A<.
当当A＝时，cos A＝0，由f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(0)＝0，即f(cos A)＝0，满足题意．综上所述，角A的取值范围是∪.
答案：∪
16．已知函数f(x)＝－1－2a－2a cos x＋2cos2x的最小值为g(a)(a∈R).
(1)求g(a)；
(2)若g(a)＝，求a及此时f(x)的最大值．
解：(1)因为f(x)＝－1－2a－2a cos x＋2cos2x＝2(cosx－)2－－2a－1，且－1≤cos x≤1，所以若－1≤≤1，即－2≤a≤2，当cos x＝时，f(x)min＝g(a)＝－－2a－1；若>1，即a>2，当cos x＝1时，f(x)min＝g(a)＝1－4a；若<－1，即a<－2，当cos x＝－1时，f(x)min＝g(a)＝1.
综上所述，g(a)＝
(2)因为g(a)＝≠1，所以a≥－2，若a>2，
则有1－4a＝，解得a＝，与a>2矛盾；若－2≤a≤2，则有－－2a－1＝，即a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3(舍去)，
所以g(a)＝时，a＝－1，即f(x)＝2(cos x＋)2＋，因为－1≤cos x≤1，
所以当cos x＝1时，f(x)取得最大值5.