5．2　余弦函数的图象与性质再认识（教师版）

5．2　余弦函数的图象与性质再认识
目标) 1.能用“五点(画图)法”画余弦函数在[0，2π]上的图象．　2.理解余弦曲线的意义．　3.掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的最小正周期、单调区间和最值．
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思考1　利用“五点(画图)法”作正弦函数在区间上的图象，“五点”中的横坐标分别是什么？
提示：0，，π，，2π.
思考2　借助诱导公式cos x＝sin 及正弦函数图象的“五点(画图)法”，你能得到作余弦函数在上图象的“五个点”吗？
提示：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
思考3　函数y＝f(x＋a)(a>0)的图象可以由函数y＝f(x)的图象怎样平移而得到？
提示：将函数y＝f(x)的图象沿着x轴向左平移a个单位长度而得到．
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象称作余弦曲线．根据余弦曲线的基本性质，描出(0，1)，，______，__________，__________这五个点后，函数y＝cos x在区间x∈[0，2π]的图象就基本确定了(如图).因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到余弦函数的简图．这种作余弦曲线的方法也称为“五点(画图)法”．
[答案自填] (π，－1)　　(2π，1)
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例4)用“五点(画图)法”画出y＝1－cos x，x∈[0，2π]的图象．
【解】　列表：
x 0 π 2π
y＝cos x 1 0 －1 0 1
y＝1－cos x 0 1 2 1 0
于是得到函数y＝1－cos x在区间[0，2π]上的五个关键点为(0，0)，，(π，2)，，(2π，0)，描点，并将它们用光滑的曲线顺次连接起来，其图象如图．
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eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
利用“五点(画图)法”作图时需要注意以下三点：
(1)应用的前提条件是精确度要求不高．
(2)利用光滑的曲线连接时，一般最高(低)点的附近要平滑，不要出现“拐角”的现象．
(3)“五点(画图)法”作出的余弦函数一个周期上的图象是余弦曲线的一部分．
[跟踪训练1] 用“五点(画图)法”画出y＝1＋2cos x，x∈[0，2π]的图象．
解：列表：
x 0 π 2π
y＝cos x 1 0 －1 0 1
y＝1＋2cos x 3 1 －1 1 3
于是得到函数y＝1＋2cos x在区间[0，2π]上的五个关键点为(0，3)，，(π，－1)，，(2π，3)，描点，并将它们用光滑的曲线顺次连接起来，其图象如图．
INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/1-60.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/1-60.tif" \* MERGEFORMAT
角度1　定义域、最大(小)值和值域
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)求f(x)＝的定义域．
(2)求下列函数的值域．
①y＝－cos2x＋cosx；
②y＝.
【解】　(1)要使函数有意义，则2cos x－1≥0，所以cos x≥，所以－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数f(x)的定义域为(k∈Z).
(2)①y＝－＋.
因为－1≤cos x≤1，
所以当cos x＝时，ymax＝；
当cos x＝－1时，ymin＝－2.
所以函数y＝－cos2x＋cosx的值域是.
②y＝＝－1.
因为－1≤cos x≤1，所以1≤2＋cos x≤3，
所以≤≤1，
所以≤≤4，
所以≤－1≤3，即≤y≤3.
所以函数y＝的值域为.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求值域或最大值、最小值问题的依据
(1)cos x的有界性．
(2)cos x的单调性．
(3)化为cos x＝f(y)，利用|f(y)|≤1来确定．
(4)通过换元转化为二次函数．
[跟踪训练2] (1)函数y＝cos x(x∈)的最大值是(　　)
A．1 B．0
C．－1 D.
解析：选B.由余弦函数性质易知，当x∈时，cos x∈[－1，0]，则函数y＝cos x(x∈)的最大值为0.故选B.
(2)已知函数y＝4cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是(　　)
A．4 B．4－2
C．6 D．4＋2
解析：选C.在单位圆中，易知函数y＝4cos x在区间上单调递减，当x＝时，y＝4cos ＝4×＝2，即函数的最大值b＝2，当x＝π时，y＝4cos π＝－4，即函数的最小值a＝－4，则b－a＝2－(－4)＝6.故选C.
角度2　周期性与奇偶性
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)y＝sin 是(　　)
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
(2)函数y＝的最小正周期为(　　)
A．2π B．π C． D．4π
【解析】　(1)因为y＝sin ＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数．故选D.
(2)作出函数y＝的图象(图略)，由图象知，该函数的最小正周期为2π.故选A.
【答案】　(1)D　(2)A
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
余弦函数y＝cos x的图象关于y轴对称，是偶函数，最小正周期是2π.
[跟踪训练3] (1)下列关于函数f(x)＝的说法正确的是(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：选A.函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数．故选A.
(2)函数f(x)＝3－cos (2x－1)的最小正周期是__________．
解析：因为f(x)＝3－cos (2x－1)＝3－cos (2x－1＋2π)＝3－cos [2(x＋π)－1]＝f(x＋π)，所以函数f(x)＝3－cos (2x－1)的最小正周期是π.
答案：π
角度3　单调性的应用
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)若a＝sin 47°，b＝cos 37°，c＝cos 47°，则a，b，c大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．b>a>c D．c>b>a
(2)函数y＝2cos x－1的单调递减区间是____________．
【解析】　(1)由题意得sin 47°＝sin (90°－43°)＝cos 43°，因为y＝cos x在0°≤x≤90°上单调递减，所以cos 37°>cos 43°>cos 47°，即b>a>c.故选C.
(2)因为y＝cos x的单调递减区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，所以函数y＝2cos x－1的单调递减区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z).
【答案】　(1)C　(2)[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数图象并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题方法与正弦函数的对应性质解题方法一致．
(2)单调性是对一个函数的某个区间而言的，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小．
[跟踪训练4] (1)(多选)下列不等式中成立的是(　　)
A．sin 1sin
C.cos >cos 2 D．cos (－70°)>sin 18°
解析：选AD.对于A，因为0<1<<，y＝sin x在(0，)上单调递增，所以sin 1<π，y＝cos x在(，π)上单调递减，所以cos sin 18°，故D正确．故选AD.
(2)若y＝sin x与y＝cos x都单调递减，则x的取值范围是____________．
解析：因为y＝sin x与y＝cos x的单调减区间分别为，k∈Z和[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，所以 ∩[2kπ，2kπ＋π]＝，k∈Z.
答案：，k∈Z
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1．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为(　　)
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解析：选D.由题意得
y＝显然只有D合适．故选D.
2．(教材P38T1(3)改编)函数y＝－cos x，当x∈[0，2π]时，函数(　　)
A．在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减
B.在，上单调递增，在上单调递减
C.在[π，2π]上单调递增，在[0，π]上单调递减
D．在上单调递增，在，上单调递减
解析：选A.函数y＝－cos x的单调递减区间是[π＋2kπ，2π＋2kπ](k∈Z)，单调递增区间是[2kπ，π＋2kπ](k∈Z).因为x∈[0，2π]，所以y＝－cos x在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减．
3．函数y＝的值域是________．
解析：因为－1≤cos x≤1，且1－cos x≠0，
所以0<1－cos x≤2，所以y＝≥，即函数y＝的值域为.
答案：
4．(教材P38T4改编)写出一个同时满足以下条件的函数______________________．
①是周期函数；
②最大值为3，最小值为－1；
③在[0，1]上单调．
解析：因为f(x)＝2cos x＋1的周期为2π，满足条件①；
又cos x∈[－1，1]，所以2cos x＋1∈[－1，3]，满足条件②；
因为函数y＝cos x在区间[0，1]上单调递减，所以f(x)＝2cos x＋1在区间[0，1]上单调递减，故满足条件③.故函数f(x)＝2cos x＋1符合题意．
答案：f(x)＝2cos x＋1(答案不唯一)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：五点(画图)法、余弦函数的性质、余弦函数单调性的应用．
2．须贯通：五点(画图)法画余弦函数的图象以及余弦函数性质的应用．
3．应注意：(1)单调区间漏写k∈Z；
(2)求值域时，忽视cos x本身具有的范围．