6.1　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换（教师版）

§6　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象
第1课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
1.理解函数y＝A sin (ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响．　2.掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系．
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思考　在物理中，简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数．如图1所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象．
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将测得的图象放大到如图2所示，可以看出它和正弦曲线相似，那么此类曲线能否由正弦曲线y＝sin x经过不同的变换得到呢？
提示：曲线y＝A sin (ωx＋φ)可以由正弦曲线y＝sin x经过伸缩变换、平移变换、振幅变换得到．
1．一般地，对于ω>0，有sin ωx＝sin (ωx＋2π)＝sin ω.根据周期函数的定义，T＝____________是函数y＝sin ωx 的最小正周期．
2．函数y＝sin ωx的图象是将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的__________(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的____________倍(纵坐标不变)得到的．
3．频率：通常称周期的倒数＝____________为频率．
[答案自填] 　　　
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例1)(1)将函数y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，则所得图象对应的函数为(　　)
A．y＝3sin x B．y＝sin x
C．y＝sin 3x D．y＝sin x
(2)将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)而得到的图象的解析式为________________．
【解析】　(1)由y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝sin 3x，故选C.
(2)将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)而得到的图象的解析式为y＝sin .
【答案】　(1)C　(2)y＝sin
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
对于函数y＝sin x，若将图象上所有点的横坐标变为原来的ω倍，纵坐标不变，则得到函数y＝sin 的图象，即横向伸缩是反比例伸缩变换．
[跟踪训练1] (1)函数y＝sin x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝sin ωx，则ω的值为(　　)
A．2 B． C．4 D．
解析：选B.所求的解析式为y＝sin x＝sin ωx，所以ω＝.故选B.
(2)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到的图象的解析式是________．
答案：y＝sin 2x
1．函数y＝sin (x＋φ)与函数y＝sin x的周期相同，由x＋φ＝0，得x＝－φ，即函数y＝sin x图象上的点(0，0)平移到了点____________．
2．函数y＝sin (x＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin x 图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度得到的．
3．函数y＝sin (ωx＋φ)与函数y＝sin ωx有相同的周期，由ωx＋φ＝0，得x＝－，即函数y＝sin ωx图象上的点(0，0)平移到点________．函数y＝sin (ωx＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin ωx图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移__________个单位长度得到的．
4．在函数y＝sin (ωx＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称________为初相，________为相位．
[答案自填] (－φ，0)　|φ|　
　φ　ωx＋φ
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　函数y＝sin 的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？
【解】　函数y＝sin 的图象，可以看作是将函数y＝sin x图象上的所有点向右平移个单位长度得到的．
【变式探究】
1．(条件变式)若将本例中y＝sin 改为y＝cos ，其他不变，又该怎样变换？
解：y＝cos ＝sin ＝sin (x＋)，可以看作是把y＝sin x图象上的所有点向左平移个单位长度得到的．
2．(综合变式)将本例改为：函数y＝sin 的图象可由y＝sin 2x的图象经过怎样变换得到？
解：y＝sin ＝sin 2，可由y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数．再观察x前的系数，当x前的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位长度和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度．
[跟踪训练2] (1)将函数y＝sin 2x的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选D.函数y＝sin 2x的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到y＝sin 2，即y＝sin 的图象，故选D.
(2)要得到y＝sin 的图象，只要将y＝sin x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选D.因为y＝sin ＝sin .所以要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin x 的图象向右平移个单位长度．故选D.
三　A对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响
1．y＝A sin (ωx＋φ)(A>0)的图象是将y＝sin (ωx＋φ)的图象上的每个点的__________伸长(当A>1时)或缩短(当02．A决定了函数y＝A sin (ωx＋φ)的值域以及函数的____________和____________，通常称A为振幅．
[答案自填] 纵坐标　A　最大值　最小值
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例2)把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的，所得图象的解析式是y＝2sin ，求f(x)的解析式．
【解】　y＝2sin (x＋)y＝3sin (x＋)y＝
3sin (x＋) y＝3sin (x＋＋)＝3sin ＝3cos x．
所以f(x)＝3cos x．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．
(2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可．
[跟踪训练3] 将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝2sin ＋1的图象？
解：方法一：①把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin x的图象；
②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到y＝2sin 2x的图象；
③将所得图象沿x轴向左平移个单位长度，得到y＝2sin 2＝2sin (2x＋)的图象；
④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度，
得到y＝2sin ＋1的图象．
方法二：①将y＝sin x的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到y＝sin 的图象；
②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到y＝sin 的图象；
③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin 的图象；
④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度，
得到y＝2sin ＋1的图象．
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1. 简谐运动y＝4sin 的初相是(　　)
A．4 B．
C．－ D．5x－
解析：选C.相位是5x－，当x＝0时的相位为初相，即－.故选C.
2．已知函数f(x)＝sin ，若将f(x)的图象向右平移个单位长度后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则(　　)
A．g(x)＝sin
B．g(x)＝sin 4x
C．g(x)＝sin x
D．g(x)＝sin
解析：选D.将函数f(x)＝sin 的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝sin ＝sin 的图象；
再把y＝sin 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)＝sin 的图象．
3．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的函数解析式是____________．
解析：由题知y＝sin x的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin (x＋)的图象，再将图象向上平移2个单位长度可得y＝sin (x＋)＋2的图象．
答案：y＝sin (x＋)＋2
4．将函数y＝sin 的图象向左平移φ(0≤φ≤)个单位长度后，得到函数y＝cos 的图象，则φ＝______．
解析：将函数y＝sin (2x＋)的图象向左平移φ(0≤φ≤)个单位长度得到y＝sin [2(x＋φ)＋]＝sin (2x＋2φ＋)的图象，y＝cos (2x＋) ＝sin (2x＋＋)，又0≤φ≤，所以2φ＝，所以φ＝.
答案：
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇　专题突破/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：三角函数图象的伸缩变换、平移变换、振幅变换．
2．须贯通：用三种变换方法得到函数图象．
3．应注意：先平移后伸缩和先伸缩后平移得到的结果不一样．