6.1 函数y=A sin (ωx+φ)的图象及变换(教师版)

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名称 6.1 函数y=A sin (ωx+φ)的图象及变换(教师版)
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文件大小 261.4KB
资源类型 试卷
版本资源 北师大版(2019)
科目 数学
更新时间 2026-02-27 00:00:00

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文档简介

§6 函数y=A sin (ωx+φ)的性质与图象
第1课时 函数y=A sin (ωx+φ)的图象及变换
1.理解函数y=A sin (ωx+φ)中ω,φ,A对图象的影响. 2.掌握y=sin x与y=A sin (ωx+φ)图象间的变换关系.
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思考 在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y=A sin (ωx+φ)的函数.如图1所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象.
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将测得的图象放大到如图2所示,可以看出它和正弦曲线相似,那么此类曲线能否由正弦曲线y=sin x经过不同的变换得到呢?
提示:曲线y=A sin (ωx+φ)可以由正弦曲线y=sin x经过伸缩变换、平移变换、振幅变换得到.
1.一般地,对于ω>0,有sin ωx=sin (ωx+2π)=sin ω.根据周期函数的定义,T=____________是函数y=sin ωx 的最小正周期.
2.函数y=sin ωx的图象是将函数y=sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的__________(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的____________倍(纵坐标不变)得到的.
3.频率:通常称周期的倒数=____________为频率.
[答案自填]    
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇 专题突破/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇 专题突破/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT  (对接教材例1)(1)将函数y=sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,则所得图象对应的函数为(  )
A.y=3sin x B.y=sin x
C.y=sin 3x D.y=sin x
(2)将函数y=sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)而得到的图象的解析式为________________.
【解析】 (1)由y=sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到y=sin 3x,故选C.
(2)将函数y=sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)而得到的图象的解析式为y=sin .
【答案】 (1)C (2)y=sin
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇 专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇 专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
对于函数y=sin x,若将图象上所有点的横坐标变为原来的ω倍,纵坐标不变,则得到函数y=sin 的图象,即横向伸缩是反比例伸缩变换.
[跟踪训练1] (1)函数y=sin x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到图象的解析式为y=sin ωx,则ω的值为(  )
A.2 B. C.4 D.
解析:选B.所求的解析式为y=sin x=sin ωx,所以ω=.故选B.
(2)把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到的图象的解析式是________.
答案:y=sin 2x
1.函数y=sin (x+φ)与函数y=sin x的周期相同,由x+φ=0,得x=-φ,即函数y=sin x图象上的点(0,0)平移到了点____________.
2.函数y=sin (x+φ)的图象,可以看作将函数y=sin x 图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度得到的.
3.函数y=sin (ωx+φ)与函数y=sin ωx有相同的周期,由ωx+φ=0,得x=-,即函数y=sin ωx图象上的点(0,0)平移到点________.函数y=sin (ωx+φ)的图象,可以看作将函数y=sin ωx图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移__________个单位长度得到的.
4.在函数y=sin (ωx+φ)中,φ决定了x=0时的函数值,通常称________为初相,________为相位.
[答案自填] (-φ,0) |φ| 
 φ ωx+φ
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇 专题突破/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇 专题突破/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT  函数y=sin 的图象可以看作是由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到的?
【解】 函数y=sin 的图象,可以看作是将函数y=sin x图象上的所有点向右平移个单位长度得到的.
【变式探究】
1.(条件变式)若将本例中y=sin 改为y=cos ,其他不变,又该怎样变换?
解:y=cos =sin =sin (x+),可以看作是把y=sin x图象上的所有点向左平移个单位长度得到的.
2.(综合变式)将本例改为:函数y=sin 的图象可由y=sin 2x的图象经过怎样变换得到?
解:y=sin =sin 2,可由y=sin 2x的图象向右平移个单位长度得到.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇 专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇 专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
对平移变换应先观察函数名是否相同,若函数名不同,则先化为同名函数.再观察x前的系数,当x前的系数不为1时,应提取系数确定平移的单位长度和方向,方向遵循左加右减,且从ωx→ωx+φ的平移量为个单位长度.
[跟踪训练2] (1)将函数y=sin 2x的图象沿x轴向右平移个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,则(  )
A.y=sin B.y=sin
C.y=sin D.y=sin
解析:选D.函数y=sin 2x的图象沿x轴向右平移个单位长度,得到y=sin 2,即y=sin 的图象,故选D.
(2)要得到y=sin 的图象,只要将y=sin x的图象(  )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析:选D.因为y=sin =sin .所以要得到函数y=sin 的图象,只需将函数y=sin x 的图象向右平移个单位长度.故选D.
三 A对y=A sin (ωx+φ)的图象的影响
1.y=A sin (ωx+φ)(A>0)的图象是将y=sin (ωx+φ)的图象上的每个点的__________伸长(当A>1时)或缩短(当02.A决定了函数y=A sin (ωx+φ)的值域以及函数的____________和____________,通常称A为振幅.
[答案自填] 纵坐标 A 最大值 最小值
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇 专题突破/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇 专题突破/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT  (对接教材例2)把函数y=f(x)的图象上的各点向右平移个单位长度,再把横坐标伸长到原来的2倍,再把纵坐标缩短到原来的,所得图象的解析式是y=2sin ,求f(x)的解析式.
【解】 y=2sin (x+)y=3sin (x+)y=
3sin (x+) y=3sin (x++)=3sin =3cos x.
所以f(x)=3cos x.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇 专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇 专题突破/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)已知变换途径及变换后的函数解析式,求变换前函数图象的解析式,宜采用逆变换的方法.
(2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况,求变换前后图象的解析式.要明确伸缩的方向及量,然后确定出A或ω即可.
[跟踪训练3] 将y=sin x的图象怎样变换可得到函数y=2sin +1的图象?
解:方法一:①把y=sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sin x的图象;
②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到y=2sin 2x的图象;
③将所得图象沿x轴向左平移个单位长度,得到y=2sin 2=2sin (2x+)的图象;
④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度,
得到y=2sin +1的图象.
方法二:①将y=sin x的图象沿x轴向左平移个单位长度,得到y=sin 的图象;
②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到y=sin 的图象;
③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sin 的图象;
④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度,
得到y=2sin +1的图象.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇 专题突破/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇 专题突破/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1. 简谐运动y=4sin 的初相是(  )
A.4 B.
C.- D.5x-
解析:选C.相位是5x-,当x=0时的相位为初相,即-.故选C.
2.已知函数f(x)=sin ,若将f(x)的图象向右平移个单位长度后,再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则(  )
A.g(x)=sin
B.g(x)=sin 4x
C.g(x)=sin x
D.g(x)=sin
解析:选D.将函数f(x)=sin 的图象向右平移个单位长度,可得函数y=sin =sin 的图象;
再把y=sin 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)=sin 的图象.
3.将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到的图象的函数解析式是____________.
解析:由题知y=sin x的图象向左平移个单位长度,可得y=sin (x+)的图象,再将图象向上平移2个单位长度可得y=sin (x+)+2的图象.
答案:y=sin (x+)+2
4.将函数y=sin 的图象向左平移φ(0≤φ≤)个单位长度后,得到函数y=cos 的图象,则φ=______.
解析:将函数y=sin (2x+)的图象向左平移φ(0≤φ≤)个单位长度得到y=sin [2(x+φ)+]=sin (2x+2φ+)的图象,y=cos (2x+) =sin (2x++),又0≤φ≤,所以2φ=,所以φ=.
答案:
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇 专题突破/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../1%20第一篇 专题突破/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1.已学习:三角函数图象的伸缩变换、平移变换、振幅变换.
2.须贯通:用三种变换方法得到函数图象.
3.应注意:先平移后伸缩和先伸缩后平移得到的结果不一样.