5．1　课后达标 检测（教师版）

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1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影数量为，则a·b的值为(　　)
A．3 B. C．2 D.
解析：选B.由题意得，a在b方向上的投影数量为＝，因为|b|＝3，所以a·b＝.故选B.
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
解析：选A.|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式相减得4a·b＝4，所以a·b＝1.故选A.
3．已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)
A．a＋2b B．2a＋b
C．a－2b D．2a－b
解析：选D.由题意得|a|＝|b|＝1，a，b的夹角θ＝60°，故a·b＝|a||b|cos θ＝.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×＋1＝2≠0；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0.故选D.
4．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC一定为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
解析：选A.因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，又因为－＝，所以(－)·(＋)＝0，即||2－||2＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形．故选A.
5.(多选)如图，I，J分别为CD，CE的中点，四边形ABCD，BCEF，GHIJ均为正方形，则(　　)
A.·＝0
B.在方向上的投影向量为
C.·>0
D.在方向上的投影向量为2
解析：选ABD.对于A，由图可知∠ACB＝∠FCB＝，则∠ACF＝，所以·＝0，A正确；
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对于B，如图，设M，N分别为AB，HG的中点，连接IM，CN，在方向上的投影向量为＝，B正确；
对于C，因为与的夹角为，所以·<0，C错误；
对于D，在方向上的投影向量为＝2，D正确．故选ABD.
6．(多选)设向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝1，则(　　)
A．a与b的夹角为60°
B．|a|2＋|b|2＝1
C．(a＋2b)·(2a＋b)＝2
D．a⊥b
解析：选BCD.对于AD，因为|a＋b|＝|a－b|，故(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，故a·b＝0，故a与b的夹角为90°，故A错误，D正确；对于B，因为|a＋b|＝1，故a2＋2a·b＋b2＝1，又因为a·b＝0，故|a|2＋|b|2＝1，故B正确；对于C，(a＋2b)·(2a＋b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝2(a2＋b2)＝2，故C正确．故选BCD.
7．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b上的投影向量为________．
解析：向量a在向量b上的投影向量是|a|·cos〈a，b〉＝2×cos 120°×＝－b.
答案：－b
8．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，|a＋b|＝，则a与b的夹角为________．
解析：因为|a|＝2，|b|＝，|a＋b|＝，所以a2＋b2＋2a·b＝2，所以a·b＝－2，设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，因为0≤θ≤π，所以θ＝.
答案：
9．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．
解析：若b＝0，满足题意；若b≠0，因为b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，所以|b|＝|a|cos θ＝cos θ>0(θ为a与b的夹角)，所以θ∈，所以0<|b|≤1.综上，0≤|b|≤1.
答案：[0，1]
10．已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)若c＝t a＋b，且a⊥c，求t的值及|c|.
解：(1)由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝7，即1－2×1×2×cos θ＋4＝7，所以cos θ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.
(2)因为a⊥c，所以a·(ta＋b)＝0，
所以ta2＋a·b＝0，所以t＋1×2×＝0，所以t＝1，所以c＝a＋b，c2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×＋4＝3.
所以|c|＝.
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11．(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列选项正确的是(　　)
A．|a＋b|＝1 B．a⊥b
C．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－1
解析：选CD.由题知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B错误；
因为(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，所以|a＋b|＝，故A错误；
因为(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0，所以(4a＋b)⊥b，故C正确；
因为a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D正确．故选CD.
12．(多选)若向量a，b满足|a|＝|b|＝2，|a＋b|＝2，则(　　)
A．a·b＝－2
B．a与b的夹角为
C．a⊥(a－2b)
D．a－b在b方向上的投影向量为b
解析：选BC.因为|a|＝|b|＝2，所以|a＋b|＝＝＝＝2，则a·b＝2，故A不正确；
又cos〈a，b〉＝＝＝，0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝，即a与b的夹角为，故B正确；
又a·(a－2b)＝a2－2a·b＝4－2×2＝0，所以a⊥(a－2b)，故C正确；又a－b在b方向上的投影向量为(|a－b|cos〈a－b，b〉)＝＝b＝－b，故D不正确．故选BC.
13．设点P是△ABC的中线AM上一个动点，·(＋)的最小值是－，则中线AM的长是________．
解析：设＝λ(0≤λ≤1)，因为AM是△ABC中边BC上的中线，即＋＝2，如图所示，所以·(＋)＝－·2＝－2λ·＝－2λ·(1－λ)＝2(λ2－λ)||2，当λ＝时，取得最小值为－||2＝－，解得||＝.
答案：
14．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
解：(1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之间夹角均为120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，
所以(a－b)⊥c.
(2)因为|ka＋b＋c|>1，
所以(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1.
因为a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－，
所以k2－2k>0，解得k<0或k>2，
即k的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
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15.已知正六边形ABCDEF的边长为1，点M满足＝(＋)，则||＝________；若点P是其内部一点(包含边界)，则·的最大值是________．
解析：由题可知||＝||＝1，
〈，〉＝，
所以2＝(＋)2
＝(2＋2·＋2)
＝(1－2×＋1)＝，
所以||＝.
设向量，的夹角为θ，P在直线AB上的射影为P′，要使·最大，则θ∈，因为·＝||·||cos θ＝||||，如图可知当P在C处时，·最大，
此时||＝||＝，θ＝，
·＝×1×＝.
答案：　
16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CB＝2CA＝2.点D，E分别是线段AB，BC上的点，满足＝λ，＝λ，λ∈(0，1)．
(1)求·的取值范围；
(2)是否存在实数λ，使得⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CB＝2CA＝2.所以B＝30°，BA＝，·＝×2×cos 30°＝3，
·＝(＋)·＝(＋λ)·＝·＋λ2＝－·＋λ2＝－3＋4λ，因为λ∈(0，1)，所以·∈(－3，1)．
(2)存在.·＝(＋)·(－)＝(＋λ)·(λ－)
＝λ2－· ＋λ2·－λ·
＝3λ－0＋λ2×2××cos 150°－λ×2×1×cos 60°
＝3λ－3λ2－λ＝2λ－3λ2.
令2λ－3λ2＝0，解得λ＝或λ＝0(舍去)．
所以存在实数λ＝，使得⊥.