5．2　向量数量积的坐标表示　5．3　利用数量积计算长度与角度（教师版）

5．2　向量数量积的坐标表示
5．3　利用数量积计算长度与角度
1.能够推导出两个向量数量积的坐标表示，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算．　2.掌握向量垂直条件的坐标形式，并能灵活运用．　3.能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决有关长度、角度、垂直等问题．
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通过前面的学习，我们知道，已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，我们可以求出a＋b，a－b以及λa(λ≠0)的坐标．
思考　如何用a，b的坐标表示a·b.
提示：a·b＝x1x2＋y1y2.
条件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
坐标表示 a·b＝____________
文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的____________
[答案自填] x1x2＋y1y2　乘积的和
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·＝________．
(2)已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10，
①求向量a的坐标；
②若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
【解】　(1)以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AB＝，BC＝2，所以A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)．因为点E在边CD上，且＝2，所以E(，2)，所以＝(，2)，＝(－，2)，所以·＝－＋4＝.故填.
(2)①向量a与b同向，可设a＝λb＝(λ，2λ)，其中λ＞0.
因为a·b＝10，所以λ＋4λ＝10，
解得λ＝2，所以a＝(2，4)．
②(a·c)·b＝[2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0.
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)进行向量数量积的坐标运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．
[跟踪训练1] (1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　)
A．10 B．－10 C．3 D．－3
解析：选B.a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.故选B.
(2)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
解析：选C.由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，所以18＋3x＝30，解得x＝4.故选C.
(3)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，
因为＝2，所以F.
所以＝(2，1)，＝－(2，0)＝，
所以·＝(2，1)·＝2×＋1×2＝.
答案：
条件 结论
a＝(x，y) |a|＝____________
表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) |a|＝____________
[答案自填]
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)已知向量a＝(1，0)，b＝(2，2)，则|a－2b|＝(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)已知，均为单位向量，且＋2＝(1，1)，则||＝(　　)
A. B. C. D.
【解析】　(1)由题知向量a＝(1，0)，b＝(2，2)，所以a－2b＝(－3，－4)，所以|a－2b|＝5，故选D.
(2)因为＋2＝(1，1)，所以(＋2)2＝2，所以||2＋4||2＋4·＝2.因为向量，均为单位向量，所以1＋4＋4·＝2，所以·＝－，所以||＝|－|＝＝＝.
【答案】　(1)D　(2)C
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
[跟踪训练2] (1)已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
解析：选C.由题知||＝＝，||＝＝，||＝＝＝2，所以||＝||，且||2＋||2＝||2，因此△ABC为等腰直角三角形．
(2)已知向量a＝(x，y)，b＝(－1，2)，且a＋b＝(1，3)，则|a－2b|＝________．
解析：因为a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1，3)，则x＝2，y＝1，所以a＝(2，1)，则a－2b＝(4，－3)，故|a－2b|＝＝5.
答案：5
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2，
cos θ＝＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y))(|a||b|≠0)．
特别地，a⊥b ____________＝0.
[答案自填] x2x2＋y1y2
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例3)已知向量a＝(4，3)，b＝(－1，2)．
(1)求a与b夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
【解】　(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝＝5，|b|＝＝，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.
(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，(a－λb)⊥(2a＋b)，所以(a－λb)·(2a＋b)＝0，
所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
解得λ＝.
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)方法：由cos θ＝＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y))直接求出cos θ.
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
[跟踪训练3] (1)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋t b，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　)
A．－6 B．－5
C．5 D．6
解析：选C.由题意，得c＝a＋t b＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
(2)已知向量a＝(－1，1)，b＝(m，1)，若a⊥(2a－b)，则a与b夹角的余弦值为________．
解析：由题意得2a－b＝(－2－m，1)，因为a⊥(2a－b)，所以a·(2a－b)＝(－1)×(－2－m)＋1×1＝0，解得m＝－3，则b＝(－3，1)．设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝.
答案：
四　向量的坐标运算在平面几何中的应用
INCLUDEPICTURE"例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任意一点(不包含端点)，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
【证明】　方法一：设正方形ABCD的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，1)，
设P(x，x)，0所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)．
因为·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，
所以⊥，即DP⊥EF.
方法二：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
解题时，要根据题意选择恰当的方法：向量几何法和坐标法．在直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形、直角梯形等特殊图形中，建立平面直角坐标系，转化为坐标运算较为简单．
[跟踪训练4] (1)在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________．
解析：如图，以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(0，)，C(3，)，D(3，0)，＝(3，)，
设＝λ(0<λ<1)，则点E的坐标为(3λ，λ)，故＝(3λ，λ－)．
因为BE⊥AC，所以·＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，
所以E，故＝，
则||＝＝，即ED＝.
答案：
(2)如图，在四边形ABCD中，△ABC是边长为4的正三角形，设＝x＋y(x，y∈R)．
①若x＝y＝1，求；
②若·＝36，·＝40，求x，y.
解：①当x＝y＝1时，＝＋，由题意可得，
||2＝|＋|2＝||2＋||2＋2·＝2×42＋2×8＝48，
因此，＝4.
②因为·＝·＝x·＋y||2＝8x＋16y＝36，即2x＋4y＝9，
·＝·＝x||2＋y·＝16x＋8y＝40，即2x＋y＝5，
所以解得
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1．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|＝(　　)
A．1 B.
C．2 D．4
解析：选C.因为(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，所以n2＝3，所以|a|＝＝2.故选C.
2．(教材P111 T2改编)已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.因为|a|＝，|b|＝，a·b＝5，所以cos〈a，b〉＝＝＝.又〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为.故选B.
3．已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，m)，若(2a－b)⊥a，则m＝________．
解析：已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，m)，所以2a－b＝(－3，6－m)．由(2a－b)⊥a，得(2a－b)·a＝(－3，6－m)·(－1，3)＝21－3m＝0，所以m＝7.
答案：7
4．已知向量a＝(－2，λ)，b＝(1，1)，且a⊥b，则λ＝________，向量a－b在向量b上的投影向量为__________．
解析：由题意可得a·b＝－2＋λ＝0，解得λ＝2.a－b＝(－3，1)，则向量a－b在向量b上的投影向量为＝(－1，－1)．
答案：2　(－1，－1)
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：向量数量积的坐标表示、利用数量积计算长度与角度．
2．须贯通：应用平面向量数量积的坐标形式解决向量间的垂直、夹角及长度等几何问题．
3．应注意：(1)易混淆平面向量平行与垂直的坐标形式；
(2)在求平面向量的夹角时，不能忽略向量共线的特殊情况．