6．1　第1课时　课后达标 检测（教师版）

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1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，c＝2，b＝1，则a＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B．7
C.　　　 D．3
解析：选C.已知A＝60°，c＝2，b＝1，由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝12＋22－1×2＝3，解得a＝.故选C.
2．在△ABC中，a＝4，b＝1，cos C＝，则△ABC的面积为(　　)
A. B．2
C. D．2
解析：选C.因为cos C＝，且03．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝bcos A，则△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.由余弦定理有c＝b·，整理得b2＝a2＋c2，故△ABC一定是直角三角形．故选C.
4．在△ABC中，B＝，AB＝4，△ABC的面积为3，则AC＝(　　)
A．4 B．2
C．2 D.
解析：选D.因为B＝，AB＝4，△ABC的面积为3，所以S△ABC＝AB·BCsin B＝×4×BC×sin＝3，所以BC＝3.由余弦定理得，
AC＝＝
＝.
故选D.
5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且bA．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
解析：选AD.由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 (b－2)(b－4)＝0，由b6．(多选)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且满足(a＋c－b)(a＋b＋c)＝ac，b＝，则(　　)
A．B＝
B．B＝
C．△ABC的面积最大值为
D．△ABC的面积最大值为
解析：选BC.因为(a＋c－b)(a＋b＋c)＝ac，所以b2＝a2＋c2＋ac，又由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，所以cos B＝－，又B∈(0，π)，所以B＝.因为b＝，所以3＝a2＋c2＋ac≥2ac＋ac，所以ac≤1，当且仅当a＝c＝1时取等号，所以S△ABC＝acsin B＝ac≤.故选BC.
7．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是________．
解析：cos B＝＝＝＋≥，当且仅当a＝c时取等号，因为0答案：
8．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为________．
解析：由余弦定理的推论，可得cos A＝＝＝，又0答案：　
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝60°，b＋c＝6，且△ABC的面积为2，则△ABC内切圆的半径为____________．
解析：因为△ABC的面积为2，所以bcsin A＝bc·＝2，所以bc＝8.
由余弦定理可知a＝＝＝＝2，
设△ABC内切圆的半径为r，则有(a＋b＋c)r＝2，即×(6＋2)r＝2，解得r＝－1.
答案：－1
10．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，求四边形ABCD的面积．
解：如图所示，连接BD，则四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△CDB＝AB·ADsin ∠BAD＋BC·CDsin ∠BCD.
因为∠BAD＋∠BCD＝180°，所以sin ∠BAD＝sin ∠BCD.所以S＝(AB·AD＋BC·CD)·sin ∠BAD＝(2×4＋6×4)sin ∠BAD＝16sin ∠BAD.
在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos ∠BAD＝22＋42－2×2×4cos ∠BAD＝20－16cos ∠BAD，
在△CDB中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos ∠BCD＝62＋42－2×6×4cos ∠BCD＝52－48cos ∠BCD，
所以20－16cos ∠BAD＝52－48cos ∠BCD，因为cos ∠BCD＝－cos ∠BAD，所以64cos ∠BAD＝－32，所以cos ∠BAD＝－，因为0°<∠BAD<180°，所以∠BAD＝120°，所以S＝16sin 120°＝8.
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11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若(a－b－c)(a－b＋c)＋ab＝0且sin A＝，则B＝(　　)
A. B. C. D.
解析：选A.由(a－b－c)(a－b＋c)＋ab＝0，可得a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理的推论得cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝.因为sin A＝，A∈，所以A＝.故B＝.故选A.
12．(多选)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足B＝，a＋c＝b，则＝(　　)
A．2 B．3 C. D.
解析：选AC.因为B＝，a＋c＝b，所以(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝3b2，①
由余弦定理可得，a2＋c2－2accos＝b2，②
联立①②，可得2a2－5ac＋2c2＝0，即2()2－5·＋2＝0，解得＝2或＝.故选AC.
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·＝________．
解析：依题意得，a＝5，b＝6，c＝7.所以·＝||||cos(π－B)＝－accos B．由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，所以－accos B＝(b2－a2－c2)＝×(62－52－72)＝－19，所以·＝－19.
答案：－19
14．已知钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，则k的取值范围是____________．
解析：因为c>b>a>0，且△ABC为钝角三角形，所以C为钝角，所以cos C＝＝＝<0，
所以k2－4k－12<0，解得0k＋4，所以k>2.
所以2答案：(2，6)
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15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝1.
(1)求证：A＝B；
(2)求边长c的值；
(3)若|＋|＝，求△ABC的面积．
解：(1)证明：因为·＝·，
所以bccos A＝accos B，即bcos A＝acos B，
由余弦定理得b·
＝a·，则a2＝b2，
即a＝b，所以A＝B.
(2)因为·＝1，
所以bccos A＝1，由余弦定理得
bc·＝1，即b2＋c2－a2＝2，
由(1)得，a＝b，所以c2＝2，则c＝.
(3)因为|＋|＝，
所以||2＋||2＋2·＝6，即c2＋b2＋2＝6，
所以c2＋b2＝4，因为c2＝2，
所以b2＝2，即b＝，则a＝b＝c＝.
所以△ABC为等边三角形，
所以S△ABC＝absin C＝×××＝.
16．在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝b，C＝？
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理的推论得＝，又a＝b，于是＝，由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理的推论得＝，又a＝b，于是＝，由此可得b＝c，
所以B＝C＝，A＝.
由②csin A＝3，解得c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理的推论得＝，又a＝b，
于是＝，由此可得b＝c.
由③c＝b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．