6．1　第2课时　课后达标 检测（教师版）

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1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝60°，B＝45°，b＝2，则a的值为(　　)
A. B．2 C．2 D．4
解析：选C.由正弦定理＝得a＝＝＝2.
2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选B.由题意可知，＝b＝，则sin B＝1，
又B∈(0，π)，故B＝，所以△ABC是直角三角形．故选B.
3．在△ABC中，AC＝2，∠ABC＝135°，则△ABC外接圆的面积为(　　)
A．12π B．8π C．16π D．4π
解析：选D.设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可得＝2R，即2R＝＝＝4，所以R＝2，所以△ABC外接圆的面积S＝πR2＝4π.故选D.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“AA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由A5．(多选)在△ABC中，若a＝2bsin A，则B＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选AC.依题意，因为a＝2bsin A，由正弦定理，得sin A＝2sin Bsin A，所以sin A·(2sin B－)＝0，因为06．(多选)已知三角形有一个角是60°，组成这个角的两边长分别为8和5，则(　　)
A．三角形的另一边长为6
B．三角形的周长为20
C．三角形内切圆的面积为3π
D．三角形外接圆的周长为π
解析：选BC.由余弦定理可得三角形的另一边长为＝7，则周长为8＋5＋7＝20，故A错误，B正确；设这个三角形的内切圆半径为r，则(8＋7＋5)r＝×8×5×sin 60°，解得r＝，则内切圆的面积为πr2＝3π，故C正确；设这个三角形外接圆的半径为R，则2R＝，则外接圆的周长为2πR＝π，故D错误．故选BC.
7．在△ABC中，若b＝6，c＝6，C＝30°，则a＝________．
解析：由正弦定理，得＝，
故sin B＝＝＝.
因为b>c，所以B>C＝30°，
所以B＝60°或120°.
当B＝60°时，A＝90°，a＝＝＝12.
当B＝120°时，A＝30°，a＝c＝6.
所以a＝6或a＝12.
答案：6或12
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝60°，a＝，则＝_________.
解析：因为A＝60°，a＝，所以＝＝＝2，
所以b＝2sin B，c＝2sin C，所以＝＝2.
答案：2
9．在△ABC中，C＝120°，c＝a，则a与b的大小关系是a________b．(填“>”“<”或“＝”)
解析：由正弦定理＝，得＝，整理得sin A＝＞＝sin 30°，所以A>30°.因为C＝120°，所以A＋B＝60°，所以B＜30°，所以A>B，即a＞b.
答案：＞
10．已知△ABC的周长为＋1，且sin A＋sin B＝sin C.
(1)求边AB的长；
(2)若△ABC的面积为sin C，求角C的度数．
解：(1)由题意及正弦定理得
AB＋BC＋AC＝＋1，
BC＋AC＝AB，解得AB＝1.
(2)由△ABC的面积BC·AC·sin C＝sin C，得BC·AC＝，由余弦定理的推论得cos C＝＝
＝，
由于0°INCLUDEPICTURE"能力提升.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B<，c＝bsin C，则cos(A－C)的取值范围是(　　)
A．(－，1] B．(－，]
C．(0，] D．(0，1]
解析：选A.因为在△ABC中，c＝bsin C，所以sin C＝sin Bsin C，因为sin C≠0，所以sin B＝.因为012．(多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝45°，c＝8，若解该三角形有且只有一解，则b的值可能为(　　)
A．6 B．4 C．5 D．8
解析：选BD.如图，当b≥8时，以A为圆心，b为半径的圆与射线BC(不含点B)有且只有一个交点，故此时三角形有唯一解；
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当b＝csin 45°＝4时，△ABC为直角三角形且C＝90°，此时三角形有唯一解；
当0当413．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csin C－bsin B＝asin A，则△ABC的形状为________三角形．
解析：根据正弦定理得c2－b2＝a2，则c2＝a2＋b2，所以△ABC为直角三角形．
答案：直角
14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足＝－.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝4，b＝4，求△ABC的面积．
解：(1)由题设及正弦定理可得＝－.因为B∈(0，π)，C∈(0，π)，
所以sin B≠0，sin C≠0，即2cos A＝－1，cos A＝－.因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由正弦定理＝，得sin B＝＝＝.
因为B∈，所以B＝，即C＝π－(A＋B)＝π－＝，所以S△ABC＝absin C＝×4×4×＝4.
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15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知＝，cos A＝－，则＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.因为＝，所以由正弦定理得＝，即a2＝4b2，故a＝2b，
cos A＝＝＝·－·＝－，设＝t(t>0)，则t－·＝－，解得t＝或t＝－2(舍去)．故选A.
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b－a)(sin B＋sin A)＝c(sin B－sin C)．
(1)求A；
(2)在①a＝2，②B＝，③c＝b这三个条件中，选出两个使△ABC唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题．若________，________，求△ABC的面积．
解：(1)因为(b－a)(sin B＋sin A)
＝c(sin B－sin C)，
所以由正弦定理得(b－a)(b＋a)＝c(b－c)，
即b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝＝，
因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)方案一：选条件①和②.
由正弦定理得b＝＝2.
由余弦定理，得(2)2＝22＋c2－2×2ccos ，
即c2－2 c－4＝0，
解得c＝＋(负值已舍去)．
所以△ABC的面积为acsin B＝×2×(＋)×＝＋1.
方案二：选条件①和③.
由余弦定理得4＝b2＋3b2－3b2，
则b2＝4，所以b＝2(负值已舍去)．
所以c＝2，所以△ABC的面积为bcsin A＝×2×2×＝.
方案三：选条件②和③.
由正弦定理得＝，所以a＝b，又＝b2＋3b2－2×b×b×cos ，得b＝0，故三角形不存在，不满足题意．