6．1　第2课时　正弦定理（教师版）

第2课时　正弦定理
1.通过对任意三角形边长和角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法．　2.能运用正弦定理解决简单的解三角形问题．　3.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题．
INCLUDEPICTURE"新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长度，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小．
思考　你能借助这三个量，求出AB的长度吗？
提示：如图， 作BD⊥AC，垂足为D，根据三角形内角和定理计算∠BAC，易知BD＝AB·sin ∠BAC＝BC·sin ∠ACB，所以AB＝.
1．正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的_______________的比相等，即________＝________＝________．
2．正弦定理的变形
R为△ABC外接圆的半径．
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C(边角互化)．
(4)＝＝＝.
[答案自填] 正弦　　　
角度1　已知两角及一边解三角形
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
【解】　因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.由＝得a＝＝＝10.又a2＝b2＋c2－2bccos A，即(10)2＝b2＋102－10b，所以b＝5＋5(负值已舍去)．
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
已知两角及一边解三角形的方法
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理或余弦定理求出第三条边．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
[跟踪训练1] (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝，cos B＝，a＝10，则b＝________．
解析：因为cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝.又sin A＝，a＝10，所以由正弦定理得＝，故＝，解得b＝.
答案：
(2)在△ABC中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求b及△ABC外接圆的半径R.
解：已知B＝30°，C＝45°，c＝1，由正弦定理得＝＝2R，所以b＝＝＝，因为＝2R，所以R＝.
角度2　已知两边及其中一边的对角解三角形
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，求B，C.
【解】　因为＝，所以sin C＝＝＝，因为0°【变式探究】
(综合变式)若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？
解：因为＝，所以sin A＝＝＝.因为c＝>2＝a，所以C>A.所以A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个．
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
已知两边及其中一边的对角解三角形的步骤
INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/25RAB4.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/25RAB4.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../25RAB4.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练2] (1)在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，则A＝(　　)
A．60° B．120°
C．60°或120° D．30°
解析：选C.由题知a＝，b＝，B＝45°，在△ABC中，由正弦定理可得，＝，故＝，解得sin A＝，因为a＝>＝b，所以45°(2)在△ABC中，A＝，BC＝6，AB＝2，则C＝____________．
解析：由正弦定理得＝，所以＝，sin C＝＝，由于AB答案：
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　不解三角形，判断下列三角形解的个数：
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
(3)b＝72，c＝50，C＝135°.
【解】　方法一：(1)sin B＝sin 120°＝×<，所以三角形有一解．
(2)sin B＝sin 60°＝×＝，而<<1，所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°(3)sin B＝＝sin C>sin C＝.所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解．
方法二：(1)因为A＝120°为钝角，a＝5，b＝4，
所以a>b，结合图形可知三角形有一解．
(2)因为a＝9，b＝10，A＝60°，
所以bsin A＝10×sin 60°＝5<9＝a，
可知bsin A故三角形有两解．
(3)b＝72，c＝50，C＝135°，
因为C为钝角，ceq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
已知两边及其中一边的对角判断
三角形解的个数的方法
(1)应用三角形中“大边对大角”的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
类别 A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a＝b 无解 无解 一解
absin A 两解
a＝bsin A 一解
a[跟踪训练3] (1)在△ABC中，a＝12，b＝24，A＝45°，此三角形解的情况为(　　)
A．一个解 B．两个解
C．无解 D．无法确定
解析：选C.因为bsin 45°＝24×＝12，所以bsin A>a，所以不存在这样的三角形．故选C.
(2)根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解：
①a＝7，b＝5，A＝80°；
②a＝14，b＝16，A＝45°.
解：①因为a＝7，b＝5，A＝80°，所以a＞b，有一解，即三角形有一个解．
②因为bsin A＝16×＝8，a＝14，所以bsin A＜a＜b，有两解，即三角形有两个解．
INCLUDEPICTURE"例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sin C，试确定△ABC的形状．
【解】　由正弦定理得＝，
由2cos Asin B＝sin C，
得cos A＝＝.
又cos A＝，
所以＝，
即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
所以(a＋b)2－c2＝3ab，
所以4b2－c2＝3b2，所以b＝c.
综上，a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形．
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
判断三角形形状的两种途径
INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/TBXM3.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/TBXM3.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../TBXM3.TIF" \* MERGEFORMAT
[注意]　在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
[跟踪训练4] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin Bsin C＝sin2A，则△ABC是(　　)
A．等腰且非等边三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
解析：选C.根据正弦定理可知sin Bsin C＝sin2A bc＝a2，所以b2＋c2＝a2＋bc＝2bc (b－c)2＝0，所以b＝c，又因为bc＝a2，所以a＝b＝c，即△ABC是等边三角形．故选C.
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin＝，且asin B＝csin A，则该三角形的形状是(　　)
A．三边均不相等的三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
解析：选C.因为sin＝，∈，所以＝，即B＝，由asin B＝csin A，结合正弦定理得，2Rsin Asin B＝2Rsin Csin A，又sin A≠0，所以sin B＝sin C，则b＝c，因为有一个角是的等腰三角形是等边三角形，所以△ABC为等边三角形．故选C.
INCLUDEPICTURE"课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.根据正弦定理，得＝＝.故选A.
2．在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形
B．等腰且非等边三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
解析：选D.由3b＝2asin B及正弦定理得sin A＝.又角A是锐角，所以A＝60°.
又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C.故△ABC为等边三角形．故选D.
3．(教材P118T1改编)在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝，则c＝________．
解析：因为A＝105°，B＝45°，所以C＝180°－A－B＝30°，由正弦定理得c＝＝＝1.
答案：1
4．根据下列条件，判断三角形解的情况．
(1)a＝8，b＝16，A＝30°；
(2)b＝18，c＝20，B＝60°；
(3)a＝5，c＝6，A＝90°；
(4)a＝30，b＝25，A＝150°.
解：(1)因为＝，所以sin B＝＝＝1，所以B＝90°，故三角形只有一解．
(2)因为＝，所以sin C＝＝＝，且c>b，所以C>B，故三角形有两解．
(3)因为a＝5，c＝6，所以C>A，又A＝90°，故三角形无解．
(4)因为＝，所以sin B＝＝＝，又beq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：正弦定理及公式变形、利用正弦定理解三角形、利用正弦定理判断三角形解的情况及判断三角形的形状．
2．须贯通：在解三角形的过程中，正弦定理及公式变形实现边角互化，应用了转化与化归、数形结合的思想方法．
3．应注意：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论．