6．1　第3课时　课后达标 检测（教师版）

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1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．7.5
解析：选A.由余弦定理，得b·＋a·＝c2，故c＝1(c＝0舍去)，即△ABC的周长为5.故选A.
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则C＝(　　)
A. B. C. D.
解析：选C.因为3sin A＝5sin B，由正弦定理得3a＝5b，即b＝a，又b＋c＝2a, 所以c＝a，所以由余弦定理的推论，得cos C＝＝＝－，又C∈(0，π)，所以C＝.故选C.
3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知(b－c)sin B＋csin C＝asin A，bcos C＋ccos B＝2，则△ABC面积的最大值为(　　)
A．1 B.
C．2 D．2
解析：选B.因为(b－c)sin B＋csin C＝asin A，
所以b2－bc＋c2＝a2＝b2＋c2－2bccos A，所以cos A＝.又A∈(0，π)，所以A＝.
因为bcos C＋ccos B＝2，
所以b·＋c·＝2，
所以a＝2.
由a2＝b2＋c2－2bccos A，
得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc，
即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，取等号，
则S△ABC＝bcsin A＝bc≤，
所以△ABC面积的最大值为.
故选B.
4.如图，在平面四边形ABCD中，CD＝，∠ADC＝45°，∠ACD＝105°，B＝60°，△ABC的面积为，则AB＋BC＝(　　)
A．3 B．4
C．2＋ D．2
解析：选B.在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝30°，
由正弦定理有＝，即＝，解得AC＝2.由三角形的面积公式有S△ABC＝AB·BCsin B＝，
则AB·BC＝4.
在△ABC中，由余弦定理有
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，即4＝AB2＋BC2－4，故AB2＋BC2＝8.
则AB2＋BC2＋2AB·BC＝(AB＋BC)2＝16，解得AB＋BC＝4.故选B.
5．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选BD.由cos A＝以及6．(多选)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A＝60°，b＝2，c＝＋1，则下列说法正确的是(　　)
A．C＝75°或C＝105°
B．B＝45°
C．a＝
D．该三角形的面积为
解析：选BC.由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋4＋2－2×2×(＋1)×＝6，所以a＝，故C正确；由正弦定理得，sin B＝＝＝.又0°7．在△ABC中，B＝，且AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD＝________．
解析：在△ABC中，B＝，且AB＝1，BC＝4，所以BD＝2，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B＝1＋4－2×1×2×＝3，则AD＝.
答案：
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝2，sin Asin B＋sin Asin C＝sin Bsin C，则b＋c的最小值为________．
解析：因为sin Asin B＋sin Asin C＝sin Bsin C，由正弦定理得ab＋ac＝bc，
因为a＝2，所以2b＋2c＝bc，即＋＝1，
则b＋c＝(b＋c)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即c＝b＝4时等号成立，即b＋c的最小值为8.
答案：8
9．已知⊙O的半径为R，在它的内接△ABC中有2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B成立，则tan C＝________．
解析：由正弦定理，得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．因为2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B，所以(2R)2(sin2A－sin2C)＝2R(a－b)sin B，所以a2－c2＝(a－b)b，即a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝.因为0答案：1
10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝，A＝，
(1)求b的最大值；
(2)若△ABC的面积为，求证：△ABC是直角三角形．
解：(1)根据正弦定理＝，得＝，即b＝2sin B，
显然当B＝时，b有最大值2.
(2)证明：因为△ABC的面积为，
所以bcsin A＝，即bc＝2，①
由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos A，即3＝(b＋c)2－2bc－bc，则b＋c＝＝3，②
所以由①②可得或
当时，c2＝a2＋b2，所以△ABC是直角三角形；
当时，b2＝a2＋c2，所以△ABC是直角三角形．
综上所述，△ABC是直角三角形．
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11．(2024·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　)
A. B. C. D.
解析：选C.由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，因为B＝60°，所以sin Asin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝，又sin A>0，sin C>0，所以sin A＋sin C＝.
12．(多选)定义运算＝mn－pq.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足＝0，则下列结论正确的是(　　)
A．sin A＋sin C＝2sin B
B．A∶C＝1∶2
C．B的最大值为
D．若asin A＝4csin C，则△ABC为钝角三角形
解析：选ACD.由＝0，可得(a＋b＋c)－3(a＋c－b)＝0，整理可得a＋c＝2b，由正弦定理可得sin A＋sin C＝2sin B，故A正确；因为当A＝B＝C＝时，满足a＋c＝2b，但不满足A∶C＝1∶2，故B不正确；cos B＝＝＝≥＝＝(当且仅当a＝c时等号成立)，又0由asin A＝4csin C，可得a2＝4c2，即a＝2c，又a＋c＝2b，所以c＝b，a＝b，则a为最大边，
由余弦定理的推论得cos A＝＝＝－<0，又A∈(0，π)，所以A为钝角，△ABC为钝角三角形，故D正确．故选ACD.
13．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，B＝，若a2＋c2＝4ac，则＝________．
解析：因为＝＝4，B＝，所以b2＝5ac.则由正弦定理，得sin2B＝5sin Asin C＝，所以sin Asin C＝，所以＝＝＝.
答案：
14．在△ABC中，点D在边BC上，AB＝3，AC＝2.
(1)若AD是∠BAC的平分线，求BD∶DC；
(2)若AD是边BC上的中线，且AD＝，求BC的长．
解：(1)在△ABD和△ACD中，由题意及正弦定理，得＝，＝.
因为AD是∠BAC的平分线，
所以sin∠BAD＝sin∠DAC，
sin∠ADB＝sin(π－∠ADC)＝sin∠ADC，
所以BD∶DC＝3∶2.
(2)方法一：因为AD是边BC上的中线，
所以设BD＝CD＝x，x＞0，
因为cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，
cos∠ADB＝
＝，
cos∠ADC＝
＝，
所以＝0，
化简可得x2＝，
解得x＝或x＝－(舍去)，
所以BC＝2x＝2×＝.
方法二：由题意知，＝(＋)，两边平方得＝(9＋4＋2·)，即13＋2·＝7，
即2||·||cos∠BAC＝－6.
在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝9＋4－(－6)＝19.
所以BC＝.
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15．(多选)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，AB＝2，BC＝，·＝2，则下列结果正确的是(　　)
(参考数据：sin 15°＝)
A．∠ABC＝45°
B．AC＝
C．BD＝
D．△ADC的面积为
解析：选ACD.对于A，由·＝||·||·cos∠ABC＝2×cos∠ABC＝2，解得cos∠ABC＝，又∠ABC∈(0，π)，所以∠ABC＝45°，故A正确；对于B，在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝22＋()2－2×2××＝2，所以AC＝，故B错误；对于C，因为AC＝BC＝，AB＝2，所以∠ACB＝90°，∠CAB＝45°，所以∠DCA＝30°，∠DAC＝15°，∠ADC＝135°，在△ADC中，由正弦定理，＝，即＝，解得AD＝1，在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos∠DAB，即BD2＝1＋4－2×1×2×＝3，则BD＝，故C正确；对于D，在△ADC中，AD＝1，AC＝，∠DAC＝15°，所以S△ADC＝AD·ACsin 15°＝×1××＝，故D正确．故选ACD.
16.如图，在平面五边形ABCDE中，已知A＝120°，B＝90°，C＝120°，E＝90°，AB＝3，AE＝3.
(1)当BC＝时，求DC的长；
(2)当五边形ABCDE的面积S∈[6，9)时，求BC的取值范围．
解：(1)如图，连接EB，在△ABE中，A＝120°，AB＝AE＝3，
由余弦定理可得，BE2＝AE2＋AB2－2AE·AB·cos 120°＝9＋9－2×3×3×(－)＝27，所以BE＝3，
同时可得∠AEB＝∠ABE＝30°，
所以∠CBE＝∠DEB＝60°，所以∠BCD＋∠CBE＝180°，所以BE∥CD，
所以四边形BCDE为等腰梯形．过点C作CM⊥BE于点M，
所以BM＝BC·cos 60°＝，
所以DC＝BE－2BM＝3－2×＝.
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(2)S△BAE＝AB·AE·sin 120°＝×3×3×＝，又S∈[6，9)，
所以S梯形BCDE∈，
设BC的长为x(x>0)，所以BM＝BC·cos 60°＝x，CM＝BC·sin 60°＝x，
则S梯形BCDE＝(BE＋CD)·CM＝(3＋3－x)·x＝，则≤<，
化简整理得15≤6x－x2<27，解得≤x<3或3又DC＝BE－2BM＝3－x>0，所以x<3，所以BC的取值范围是[，3)．