6．1　第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形（教师版）

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
1.能灵活选择恰当的三角形的面积公式解决有关面积的问题．　2.能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题．
INCLUDEPICTURE"新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
我们前两节课学习了余弦定理和正弦定理，这节课我们继续利用这两个定理解决多边形中的计算问题、平面几何中的证明问题以及正、余弦定理的综合应用．
思考　利用余弦定理和正弦定理可以求解哪些类型的三角形问题？
提示：可以求解以下四类三角形问题：①已知两边和夹角；②已知三边；③已知两角和一边；④已知两边和其中一边的对角．
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例7)在四边形ABCD中，A＝45°，∠ABC＝105°，C＝60°，BC＝1，CD＝2.求：
(1)∠CBD的大小；
(2)AB的值．
【解】　(1)在△BCD中，BC＝1，CD＝2，由余弦定理，得BD＝
＝＝.
则BC2＋BD2＝CD2，
所以∠CBD＝90°.
(2)因为∠ABC＝105°，∠CBD＝90°，
所以∠ABD＝105°－90°＝15°，
所以∠ADB＝180°－A－∠ABD＝120°，
在△ABD中，由正弦定理得＝，
所以AB＝＝＝.
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求解有关多边形的计算问题的思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦定理、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
[跟踪训练1] 如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，AC＝，∠BAD＝60°，DE⊥AB，求梯形的高．
解：因为∠BAD＝60°，AB∥CD，所以∠ADC＝120°.在△ACD中，AC＝，CD＝2，∠ADC＝120°，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC，即()2＝AD2＋22－4ADcos 120°，整理得AD2＋2AD－15＝0，所以AD＝3或AD＝－5(舍去)．所以DE＝ADsin 60°＝，所以梯形的高为.
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　在△ABC中，2B＝A＋C，b＝1，求证：1【证明】　因为A＋B＋C＝180°，又2B＝A＋C，所以B＝60°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得1＝a2＋c2－ac，即(a＋c)2－1＝3ac≤，所以0b＝1，故1eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
三角形中不等关系的证明有两种策略
(1)利用正弦定理将边转化为角的正弦，利用三角函数值域的有界性即可得出．
(2)应用余弦定理，借助于基本不等式和三角形三边关系，便可得到．
[跟踪训练2] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记作a，b，c.若a＝sin B，b＝sin C，且c＝λa(λ∈R＋)，求证：B≤.
证明：由题可得＝，由正弦定理得＝，即b2＝ac.由于c＝λa(λ∈R＋)，且由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝ac，将c＝λa代入，则有(λ2＋1)a2－2λa2cos B＝λa2，化简可得(λ2＋1)－2λcos B＝λ，即cos B＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即λ＝1时，取等号．因为B∈(0，π)，y＝cos x在(0，π)上单调递减，所以B≤.
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　在△ABC中，D为BC上一点，DA＝CD，BA＝7，BC＝8.
(1)若B＝60°，求△ABC外接圆的半径R；
(2)若sin∠BAD＝，∠BAD为锐角，求△ABC的面积．(注：sin2α＋cos2α＝1)
【解】　(1)由余弦定理AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos B＝72＋82－2×7×8cos 60°＝57，解得AC＝.又＝2R，解得R＝＝＝，所以△ABC外接圆的半径R为.
(2)因为sin∠BAD＝，∠BAD为锐角，
则cos∠BAD＝＝.
设BD＝x，则CD＝8－x，DA＝8－x，
在△ABD中，
由余弦定理得BD2＝BA2＋DA2－2BA·DAcos∠BAD，即x2＝72＋(8－x)2－2×7×(8－x)×，解得x＝3，
所以BD＝3，DA＝5.
由正弦定理＝，得＝，解得sin B＝，所以S△ABC＝BA·BC·sin B＝×7×8×＝10，
即△ABC的面积为10.
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
利用正弦定理、余弦定理求解综合问题
(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识联系在一起，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，寻找三角形中的边角关系．
(2)抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．
[跟踪训练3] 已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量m＝(cos A，cos B)，n＝(b－2c，a)，且m⊥n.
(1)求角A；
(2)若a＝2，
①求的值；
②求△ABC周长的取值范围．
解：(1)因为m⊥n，所以m·n＝0，所以(b－2c)cos A＋acos B＝0，即bcos A＋acos B＝2ccos A，由余弦定理得b·＋a·＝2ccos A，
即c＝2ccos A，因为c≠0，所以cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)①由正弦定理得＝＝
＝＝，
所以＝.
②由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，即4＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
所以bc＝.
又b＋c≥2，当且仅当b＝c时，等号成立，
所以(b＋c)2≥4·，
即(b＋c)2≤16，所以0又b＋c>a＝2，
所以2故4即△ABC周长的取值范围为(4，6]．
INCLUDEPICTURE"课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：选A.由sin C＝2sin B可得c＝2b，由余弦定理的推论得cos A＝＝＝，又0°2．已知a，b，c分别表示△ABC中内角A，B，C所对的边长，若A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则的值为(　　)
A. B．2
C. D.
解析：选A.因为A＝60°，b＝1，S△ABC＝，所以＝×1·csin 60°，所以c＝4.由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos A，所以a2＝1＋16－4＝13，a＝，所以由正弦定理得＝＝＝.故选A.
3．在△ABC中，A，B，C三个内角所对的边分别为a，b，c，且a2＋c2＝b2＋ac，若b＝4，则△ABC的面积的最大值为________．
解析：由余弦定理的推论可知，cos B＝＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.由余弦定理及基本不等式可知，b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，所以ac≤b2＝16，当且仅当a＝c＝4时取等号，所以△ABC的面积为S＝acsin B≤×16×＝4.所以△ABC的面积的最大值为4.
答案：4
4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角．证明：B－A＝.
证明：由a＝btan A及正弦定理，得＝＝，所以sin B＝cos A，因为在△ABC中B为钝角，所以A为锐角，所以sin B＝sin，所以＋A∈，则B＝＋A，即B－A＝.
eq \a\vs4\al(INCLUDEPICTURE"课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新建文件夹/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：多边形中的计算问题、平面几何中的证明问题、正、余弦定理的综合应用．
2．须贯通：结合条件能顺利选择三角形的面积公式、正确选择正弦或余弦定理结合三角形实现边与角的互化，应用转化与化归、数形结合的思想方法．
3．应注意：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形．