6．2　课后达标 检测（教师版）

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1．已知力F的大小|F|＝10 N，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14 m，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　)
A．7 J B．10 J C．14 J D．70 J
解析：选D.F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70(J)．故选D.
2．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下来，鹰在地面上影子的速度是50 m/s，则鹰的飞行速度为(　　)
A. m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
解析：选C.如图所示，由题意知||＝50，所以||＝＝.故选C.
3．在Rt△ABC中，A＝90°，AB＝2，AC＝3，＝2，＝，CN与BM交于点P，则cos∠BPN＝(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：选D.建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，N(0，1)，C(3，0)，M(2，0)，
得＝(－3，1)，＝(－2，2)，
所以cos∠BPN＝＝＝.故选D.
4.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重约为(参考数据：重力加速度的大小为g＝10 N/kg，≈1.732)(　　)
A．63 kg B．69 kg
C．75 kg D．81 kg
解析：选B.设两只胳膊的拉力分别为F1，F2，学生的体重为m kg，
则mg＝|F1＋F2|＝＝
＝400≈692.8，可得m≈69 kg.故选B.
5．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　)
A．10 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s
解析：选B.由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图．所以|v|＝＝＝2(m/s)．
6．(多选)已知点O为△ABC外接圆的圆心，||＝6，∠OAC＝30°，则(　　)
A．OC＝ B．OC＝2
C.·＝6 D.·＝－6
解析：选BD.令OC＝2t，则由勾股定理易得(2t)2＝t2＋()2，所以t＝－ (舍去)或t＝，所以OC＝2，所以·＝||·||cos∠AOC＝2×2×cos(180°－60°)＝－6.故选BD.
7．已知两个力F1与F2的夹角为直角，且已知它们的合力F与F2的夹角为，|F|＝10 N，则F2的大小为________N.
解析：因为F1与F2的夹角为直角，它们的合力为F，所以〈F1，F2〉＝，F＝F1＋F2，
所以F1·F2＝0，F·F2＝(F1＋F2)·F2＝F＝|F2|2，因为F与F2的夹角为，所以cos〈F，F2〉＝＝，又|F|＝10 N，
所以|F2|＝5 N.
答案：5
8.两个半径分别为r1，r2的圆M，N，公共弦AB长为3，如图所示，则·＋·＝________．
解析：连接圆心MN与公共弦相交于点C(图略)，则C为公共弦AB的中点，且MN⊥AB，故·＝||||·cos∠MAC＝||||＝||2＝，·＝||||cos∠NAC＝||||＝||2＝，故·＋·＝9.
答案：9
9.如图，已知＝(2，0)，＝(1，)，将绕着B点按逆时针方向旋转60°，且模伸长到模的2倍，得到向量.则四边形AOBC的面积为________．
解析：因为＝(1，)，所以tan∠BOA＝＝，又0°<∠BOA<90°，所以∠BOA＝60°，因为||＝＝2，||＝2，
所以△BOA为等边三角形，所以S△BOA＝×2×2×sin 60°＝，
对于△ABC，||＝2||＝4，∠ABC＝60°，所以S△ABC＝×2×4×sin 60°＝2，
所以四边形AOBC的面积为S△BOA＋S△ABC＝＋2＝3.
答案：3
10.如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上除A，C两点外的任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
证明：方法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，
所以·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°
＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.
所以⊥，即DP⊥EF.
方法二：如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
设正方形ABCD的边长为1，AP＝λ(0<λ<)，
则D(0，1)，
P，E，F.
所以＝，＝.所以·＝λ－λ2＋λ2－λ＝0，所以⊥，即DP⊥EF.
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11．在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M形成的图形必通过△ABC的(　　)
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
解析：选C.设线段BC中点为D，则＋＝2.因为2－2＝2·，所以(＋)·(－)＝2·，所以·(＋－2)＝0，所以·2＝0，所以MD⊥BC且平分BC，所以动点M形成的图形必通过△ABC的外心．故选C.
12．已知△ABC是以C为直角顶点且斜边长为2的等腰直角三角形，P为△ABC所在平面内一点，则·(＋)的最小值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选B.如图以C为原点CB，CA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设点P(x，y)，因为△ABC是斜边长为2的等腰直角三角形，
所以A(0，)，B(，0)，
所以＝(－x，－y)，＝(－x，－y)，＝(－x，－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，故·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2－x＋2y2－2y＝2＋2－≥－，所以·(＋)的最小值为－.
13．一质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2的夹角为120°，且F1，F2的大小都为6 N，则F3的大小为________N.
解析：设三个力F1，F2，F3分别对应的向量为a，b，c，则由题知a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)，所以|c|＝|－(a＋b)|＝，又 |a|＝6，|b|＝6，a·b＝|a||b|cos 120°＝6×6×(－)＝－18，所以|c|＝＝6，所以F3的大小为6 N.
答案：6
14．帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．
解：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知，风的方向为北偏东30°，速度大小为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度大小为|v2|＝20 km/h，设帆船行驶的速度为v km/h，则v＝v1＋v2.
由题意，可得v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10，10)，v2＝(20，0)，
则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10，10)＋(20，0)＝(30，10)，
所以|v|＝＝20(km/h)．
因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，且为锐角)，所以α＝30°.
所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 km/h.
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15．已知O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则S1·＋S2·＋S3·＝0.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是△ABC的垂心，且＋2＋3＝0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝(　　)
A．1∶2∶3 B．1∶2∶4
C．2∶3∶4 D．2∶3∶6
解析：选A.如图，O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC，因此＝＝＝＝.同理得，＝.于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝S1∶S2∶S3.因为＋2＋3＝0，所以由“奔驰定理”，得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3，所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝1∶2∶3.
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)在△ABC中，若A(1，1)，B(3，5)，C(2，6)，求△ABC的重心G的坐标；
(2)如图所示，在非等腰的锐角三角形ABC中，已知点H是△ABC的垂心，点O是△ABC的外心．若点M是BC的中点，求证：OM綊AH.
解：(1)若记坐标原点为O，由点G是△ABC的重心，有＋＋＝0，从而(－)＋(－)＋(－)＝0，
整理得＝(＋＋)＝(2，4)，所以△ABC的重心G的坐标为(2，4)．
(2)证明：因为AH⊥BC，OM⊥BC，有AH∥OM，因为＝(＋)，设＝λ(＋)，由BH⊥AC可得·＝0，所以(－)·＝0，所以[λ(＋)－(－)]·(－)＝0.
因为2＝2，从而(λ－1)(·－·＋2－·)＝0，
即(λ－1)[·(－)＋(－)·]＝0，所以(λ－1)·＝0，
易知·＝0不成立，故λ－1＝0，即λ＝1，
此时＝＋＝2，即OM綊AH.